9.3 Modellering med reelle datasett

Velge modell, tilpasse til data, vurdere gyldighet.

60 min

8 oppgaver

ModelleringDatasettRegresjonModellvalidering

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 8 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

9.1Eksponentiell vekst og nedgang 9.2Eksponentialfunksjoner og grafer

Modellering med reelle datasett

Matematisk modellering handlar om å bruka matematikk til å forstå virkelige situasjonar. Når du modellar, oversett du eit praktisk problem til eit matematisk uttrykk — ein modell — som du kan bruka til å gjera berekning, sjå mønster og laga prognosar.

I dette kapitlet skal du lære:
- Korleis du samlar inn og organiserer reelle data
- Korleis du veljar mellom lineær og eksponentiell modell
- Korleis du tilpassar ein modell til dataa
- Korleis du vurderar om modellen er gyldig
- Korleis du presenterar resultata dine

Viktig: Ingen modell er perfekt. Modellen er ei foreinkling av røynda. Det avgjerande er å forstå kva modellen kan fortella oss, og kva for begrensingar ho har.

Matematisk modell

a

✏️Eksempel: Lineær eller eksponentiell?

Her er data for to ulike situasjonar. Avgjer om kvar situasjon passar best til ein lineær eller eksponentiell modell.

Situasjon A — Tal på abonnentar på ei netnavis:

Månad	0	1	2	3	4	5
Abonnentar	200	260	338	439	571	742

Situasjon B — Vannstand i ei dam (cm over normal):

Dag	0	1	2	3	4	5
Vannstand	48	40	33	25	18	10

Løysing:

Situasjon A:
Låt oss sjekka den prosentvise auken mellom kvar månad:
- Månad 0→1: $(260-200)/200 = 30$ %
- Månad 1→2: $(338-260)/260 = 30$ %
- Månad 2→3: $(439-338)/338 \approx 30$ %
- Månad 3→4: $(571-439)/439 \approx 30$ %

Auken er ca. 30 % kvar månad. → Eksponentiell modell med $b = 1{,}30$ .

Modell: $f(x) = 200 \cdot 1{,}30^x$

Situasjon B:
Låt oss sjekka den absolutte endringa:
- Dag 0→1: $40-48 = -8$ cm
- Dag 1→2: $33-40 = -7$ cm
- Dag 2→3: $25-33 = -8$ cm
- Dag 3→4: $18-25 = -7$ cm

Endringa er ca. $-7{,}5$ cm per dag. → Lineær modell.

Modell: $g(x) = 48 - 7{,}6x$

📝Oppgave 1

Avgjer om kvar situasjon best kan modellerast med ein lineær eller eksponentiell modell. Grunngi svaret.

Ein sparekonto med 2,5 % årleg rente.

Ein taxi som kostar 50 kr i startpris pluss 15 kr per km.

Ein bakteriekultur som doblar seg kvar 3. time.

Ein svømmeklubb som får 12 nye medlemmer kvar månad.

📝Oppgave 2

Tabellen viser folketalet i ein norsk kommune dei siste åra:

År	2018	2019	2020	2021	2022	2023
Folketal	8 200	8 364	8 531	8 702	8 876	9 054

Rekn ut den årlige endringa i tal på innbyggarar og i prosent. Er mønsteret lineært eller eksponentielt?

Set opp ein eksponentiell modell $f(x) = a \cdot b^x$ der $x = 0$ svarar til 2018.

Bruk modellen til å estimera folketalet i 2028.

Korleis tilpassa ein modell til datapunkta

Når du har bestem at ein eksponentiell modell passar, må du finna dei rette verdiane av $a$ og $b$ .

Metode 1: Bruka to datapunkt (for hand)
1. Velj to datapunkt, til dømes det første og det siste
2. Set inn i $f(x) = a \cdot b^x$ og løys likningane
3. Sjekk at modellen passar rimelegvis godt til dei andre punkta

Metode 2: Bruka gjennomsnittleg prosentvis endring
1. Rekn ut den prosentvise endringa mellom kvar påfølgjande par av datapunkt
2. Finn gjennomsnittet av desse prosentane
3. Bruk gjennomsnittet som grunnlag for $b$

Metode 3: Bruka digitale verkty (regresjon)
GeoGebra og reknark har innebygde funksjonar for å finna den beste eksponentielle modellen (regresjonsanalyse). Skriv inn datapunkta, velj «eksponentiell regresjon», og verktyet finn $a$ og $b$ automatisk.

Tips: I GeoGebra kan du bruka kommandoen FitExp(liste) for eksponentiell regresjon.

✏️Eksempel: Tilpassa modell til batteridata

Du måler batterinivået på ei mobiltelefon kvar time:

Tid (timar)	0	1	2	3	4	5	6
Batteri (%)	100	88	78	69	60	53	47

Finn ein eksponentiell modell som skildrar batterinedgangen.

Løysing:

Steg 1: Sjekk om eksponentiell modell passar
Prosentvis endring per time:
- $88/100 = 0{,}88$
- $78/88 \approx 0{,}886$
- $69/78 \approx 0{,}885$
- $60/69 \approx 0{,}870$
- $53/60 \approx 0{,}883$
- $47/53 \approx 0{,}887$

Forholdstalet (vekstfaktoren) er omtrent 0,88 kvar time. ✓ Eksponentiell modell passar.

Steg 2: Bestem $a$ og $b$
Startverdi: $a = 100$
Gjennomsnittleg vekstfaktor: $b \approx (0{,}88 + 0{,}886 + 0{,}885 + 0{,}870 + 0{,}883 + 0{,}887) / 6 \approx 0{,}882$

Modell: $f(x) = 100 \cdot 0{,}882^x$

Steg 3: Sjekk modellen
- $f(3) = 100 \cdot 0{,}882^3 \approx 68{,}6$ (målt: 69 ✓)
- $f(6) = 100 \cdot 0{,}882^6 \approx 47{,}1$ (målt: 47 ✓)

Svar: $f(x) = 100 \cdot 0{,}882^x$ er ein god modell for batterinedgangen. Batteriet fell med ca. 11,8 % per time.

📝Oppgave 3

Du lagar ein kopp te og måler temperaturen kvar 5. minutt:

Minutt	0	5	10	15	20	25	30
Temperatur (°C)	85	68	55	46	39	34	30

Romtemperaturen er 21 °C.

Forklar korleis ein modell på forma $T(x) = a \cdot b^x + 21$ er meir realistisk enn $T(x) = a \cdot b^x$ .

Finn $a$ ved å bruka at $T(0) = 85$ .

Bruk datapunktet $T(5) = 68$ til å finna $b$ .

Sjekk modellen mot dei andre datapunkta. Kor godt passar ho?

Løs oppgaven Tren

Er modellen god nok?

Ein modell er aldri perfekt. Ho er ei forenkling av verkelegheita. Men vi kan vurdere kor god ho er:

Sjekkliste for å vurdere ein modell:

1. Passar modellen til dataa?
- Samanlikn modellverdiar med dei faktiske dataa
- Små avvik er normalt, store avvik tyder på feil modellval

2. Gir modellen meining for alle $x$ -verdiar?
- Gir modellen meining for $x = 0$ ?
- Kva skjer for svært store eller negative $x$ -verdiar?
- Er det realistisk at mønsteret held fram?

3. Kva grenser har modellen?
- Kan du stole på prognosar langt inn i framtida?
- Er det faktorar som modellen ikkje tek omsyn til?

4. Er det riktig modelltype?
- Har du prøvd både lineær og eksponentiell?
- Passar dataa betre til ein annan type modell?

Ekstrapolering vs. interpolering:
- Interpolering = bruke modellen mellom datapunkta (vanlegvis trygt)
- Ekstrapolering = bruke modellen utanfor datapunkta (kan vere upåliteleg)

Forsiktig med ekstrapolering!

Når du bruker ein modell til å seie noko om framtida (ekstrapolering), bør du alltid spørje deg:

- Er det realistisk at mønsteret held fram?
- Kva kan endre seg?
- Kor langt fram er det trygt å estimere?

Døme: Ein modell som viser at antal brukarar av ein app veks eksponentielt, kan ikkje halde fram for alltid. Til slutt vil veksten avta (markedet er metta, konkurrentar dukkar opp osv.). Ein eksponentiell modell er ofte god for korte tidsperiodar, men urealistisk for svært lang tid.

✏️Døme: Vurdere ein smittemodell

Under eit sykdomsutbrot vart det registrert følgjande antal smittade per dag:

Dag	1	2	3	4	5	6	7
Nye smittade	10	15	22	34	50	74	112

Ein elev lagar modellen

f(x) = 6{,}7 \cdot 1{,}49^x

. Vurder modellen.

Løysing:

Steg 1: Sjekk tilpassinga

Dag	Faktisk	Modell	Avvik
1	10	$6{,}7 \cdot 1{,}49^1 \approx 10{,}0$	0
2	15	$6{,}7 \cdot 1{,}49^2 \approx 14{,}9$	$-0{,}1$
3	22	$6{,}7 \cdot 1{,}49^3 \approx 22{,}2$	$+0{,}2$
4	34	$6{,}7 \cdot 1{,}49^4 \approx 33{,}0$	$-1{,}0$
5	50	$6{,}7 \cdot 1{,}49^5 \approx 49{,}2$	$-0{,}8$
6	74	$6{,}7 \cdot 1{,}49^6 \approx 73{,}3$	$-0{,}7$
7	112	$6{,}7 \cdot 1{,}49^7 \approx 109{,}2$	$-2{,}8$

Avvika er relativt små — modellen passar godt til dataa. ✓
Steg 2: Vurder realistiske grenser
- Modellen gir

f(14) \approx 1\,783

f(21) \approx 29\,180

smittade per dag
- Med eit begrenset befolkingstal (t.d. 30 000 i ei kommune) er dette urealistisk
- I røynda vil smitjeveksten avta etter kvart (immunitet, tiltak, færre igjen å smitte)
Konklusjon: Modellen er god for dei første dagane av utbrotet, men påliteleiket minkar jo lenger fram vi ser. For kortsiktige prognosar (1–3 dagar) er ho nyttig. For lengre periodar treng vi ein meir avansert modell.

📝Oppgave 4

Ein elev har laga to modellar for befolkingstalet i ei bygd:

- Lineær modell: $f(x) = 2\,400 - 35x$ (der $x = 0$ er 2020)
- Eksponentiell modell: $g(x) = 2\,400 \cdot 0{,}985^x$

Faktiske data:

År	2020	2021	2022	2023	2024
Befolkingstal	2 400	2 362	2 328	2 291	2 254

Rekn ut modellverdiane og avvika for begge modellane.

Kva gir dei to modellane for 2030 ( $x = 10$ )?

Kva gir dei to modellane for 2060 ( $x = 40$ )? Kva modell er mest realistisk på lang sikt?

Slik presenterer du ein modelleringsfråga

Når du løyser ein modelleringsfråga, bør du vise tydeleg kva du gjer. Her er ein god struktur:

1. Beskriv problemet
- Kva vil du undersøkje?
- Kor kjem dataa frå?

2. Vis dataa
- Tabell med målingar
- Plott datapunkta i eit koordinatsystem

3. Vel og grunngi modell
- Lineær eller eksponentiell?
- Vis berekninga for den prosentvis/absolutt endringa

4. Bestem modellen
- Finn $a$ og $b$ (og evt. $c$ )
- Skriv opp funksjonsuttrykket

5. Vurder modellen
- Samanlikn modellverdiar med faktiske data
- Drøft grenser

6. Bruk modellen
- Gjer prognosar eller berekninga
- Svar på det opprinnelege spørsmålet

7. Konklusjon
- Oppsummerar funninga dine
- Kommenter usikkerheit og grenser

✏️Døme: Modellering av pris på brukt elbil

Nybilprisen på ein populær elbil i Noreg er 450 000 kr. Bruktbilprisar henta frå finn.no:

Alder (år)	0	1	2	3	4	5
Pris (kr)	450 000	382 000	326 000	278 000	237 000	202 000

Finn ein eksponentiell modell og vurder ho.

Løysing:

Steg 1: Sjekk om eksponentiell modell passar
Bereikna forholdstalet mellom kvart år:
- $382\,000 / 450\,000 = 0{,}849$
- $326\,000 / 382\,000 = 0{,}853$
- $278\,000 / 326\,000 = 0{,}853$
- $237\,000 / 278\,000 = 0{,}853$
- $202\,000 / 237\,000 = 0{,}852$

Forholdstalet er svært stabilt rundt $0{,}852$ . ✓ Eksponentiell modell passar godt.

Steg 2: Bestem modellen
- $a = 450\,000$
- $b \approx (0{,}849 + 0{,}853 + 0{,}853 + 0{,}853 + 0{,}852) / 5 \approx 0{,}852$

$f(x) = 450\,000 \cdot 0{,}852^x$

Steg 3: Sjekk modellen
- $f(3) = 450\,000 \cdot 0{,}852^3 \approx 450\,000 \cdot 0{,}618 \approx 278\,100$ (faktisk: 278 000 ✓)
- $f(5) = 450\,000 \cdot 0{,}852^5 \approx 450\,000 \cdot 0{,}449 \approx 202\,050$ (faktisk: 202 000 ✓)

Steg 4: Prognosar
- Etter 8 år: $f(8) = 450\,000 \cdot 0{,}852^8 \approx 450\,000 \cdot 0{,}279 \approx 125\,550$ kr
- Etter 10 år: $f(10) = 450\,000 \cdot 0{,}852^{10} \approx 450\,000 \cdot 0{,}203 \approx 91\,350$ kr

Steg 5: Vurdere grenser
- Modellen gir aldri $0$ kr, noko som er urealistisk for svært gamle bilar (dei blir til slutt vraket)
- Elbilteknologi utviklar seg raskt, noko som kan påverke verdifallet
- Modellen er basert på gjennomsnittlege prisar; individuelle bilar kan avvike

Svar: Prisen fell med ca. 14,8 % per år. Modellen $f(x) = 450\,000 \cdot 0{,}852^x$ passar godt for dei første 5–8 åra, men bør brukast med varsomheit for eldre bilar.

📝Oppgave 5

Tabellen viser korleis antal fylgjarar på ein ny Instagram-konto veks:

Veke	0	1	2	3	4	5	6
Fylgjarar	50	68	92	125	170	231	314

Vis at ein eksponentiell modell passar betre enn ein lineær modell.

Finn den eksponentielle modellen.

Kor mange fylgjarar gir modellen etter 10 veker?

Diskuter: Er det realistisk at denne veksten held fram i 1 år (52 veker)?

📝Oppgave 6

Du vil undersøkje korleis ein kopp kaffe kjølast ned. Du måler temperaturen kvar 2. minutt:

Minutt	0	2	4	6	8	10	12	14
°C	82	72	64	57	52	48	44	42

Romtemperaturen er 20 °C.

Trekk frå romtemperaturen frå kvar måling og set opp ein ny tabell for «overtemperaturen».

Finn ein eksponensiell modell for overtemperaturen.

Skriv opp den fullstendige modellen $T(x) = a \cdot b^x + 20$ .

Etter kor mange minutt er kaffen under 30 °C?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave F1

Finn feilen! Sara har målingar av antal bakteriar i eit eksperiment:

Tid (timar)	0	1	2	3	4
Antal	200	260	338	439	571

Ho ser at antalet aukar med ca. 60 for kvar steg i starten, og lagar ein lineær modell:

f(x) = 200 + 60x

«Etter 10 timar er det $200 + 60 \cdot 10 = 800$ bakteriar,» skriv Sara.

Finn feilen og skriv ein betre modell.

📝Oppgave S1

Sant eller usant?

Ein matematisk modell gir alltid eksakte svar som stemmer heilt med verkeligheten.

📝Oppgave D1

Drøftingsoppgåve: Du har laga ein modell som viser at prisen på ein bestemt type elektronikk halvast kvar tredje år. I dag kostar produktet 8 000 kr. Ifølgje modellen vil det koste ca. 125 kr om 18 år.

a) Er det rimelig å stola på denne modellen så langt fram i tid? Grunngi svaret.

b) Kva er skilnaden på interpolering og ekstrapolering, og kvifor er det eine tryggare enn det andre?

c) Gje eit døme på ein situasjon der ekstrapolering kan gje direkte farleg eller villedande resultat.

Oppsummering

I dette kapitlet har du lært:

- Matematisk modellering er prosessen med å bruka matematikk til å forstå reelle situasjonar
- Velja modell: Sjekk om endringa er eit fast beløp (lineær) eller ein fast prosent (eksponensiell)
- Tilpassa modell: Bruk datapunkt, gjennomsnittleg endring, eller digitale verktøy (regresjon)
- Vurdera modell: Sjekk om modellen passar dataa, og drøft avgrensingar
- Interpolering (mellom datapunkt) er tryggare enn ekstrapolering (utanfor datapunkt)
- Presentera: Vis data, val av modell, utrekningar, vurdering og konklusjon

Modelleringsprosessen

Steg	Kva gjer du?
1. Samla data	Mål eller finn pålitelege tal
2. Visualisera	Plott datapunkta
3. Velja modell	Lineær eller eksponensiell?
4. Tilpassa	Bestem $a$ , $b$ , evt. $c$
5. Vurdera	Kor godt passar modellen?
6. Bruka	Gjer prognosar eller utrekningar
7. Presentera	Vis og forklår resultata

📝Oppgave 7

Tabellen viser korleis prisen på ein bestemt type solcellepanel har utvikla seg (pris per watt):

År	2010	2012	2014	2016	2018	2020	2022
Kr/W	28	18	12	8,0	5,2	3,5	2,3

x = 0

svara til 2010 og

x

auka med 1 for kvar 2. år (altså

x = 1

for 2012 osv.).

Vis at ein eksponensiell modell er passande.

Finn modellen $f(x) = a \cdot b^x$ .

Kva pris gir modellen i 2026 ( $x = 8$ )?

Drøft: Er det realistisk at prisen held fram med å falla i same takt? Kva faktorar kan endra utviklinga?

📝Oppgave 8

UndersøkelsesoppgaveDenne oppgaven krever at du undersøker kilder utenfor læreboka

Prosjektoppgåve: Velj eitt av temaet under og gjennomfør ei fullstendig modelleringsoppgåve. Presenter resultata med tabell, graf, modell og vurdering.

Tema A: Strømbatteriet — Mål kor raskt batteriet på mobilen eller ein nettbrett tappast seg. Bruk ein app eller manuell måling kvar halftime.

Tema B: Befolkningsvekst — Finn befolkningstalet for ein norsk kommune eller ein by frå SSB. Undersøk om utviklinga er lineær eller eksponensiell.

Tema C: Prisutvikling — Finn historiske prisar for ei vare (t.d. straum, bensin, melk) frå SSB og lag ein modell.

Tema D: Avkjøling — Mål korleis temperaturen i ein kopp vatn endrar seg over tid (bruk termometer).

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 6 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.