9.1 Eksponentiell vekst og nedgang

Sammenhengen mellom prosentvis endring, vekstfaktor og eksponentialfunksjoner.

55 min

8 oppgaver

Eksponentiell vekstEksponentiell nedgangVekstfaktorHalveringstid

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 8 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

6.2Vekstfaktor

Brukes videre i

9.2Eksponentialfunksjoner og grafer 9.3Modellering med reelle datasett

Eksponentiell vekst og nedgang

Har du nokon gong høyrt uttalet «det veks eksponentielt»? Kanskje i samanheng med korleis eit virus spreier seg, eller korleis renter kan få ein sparekonto til å vekse. Eksponentiell vekst er noko heilt anna enn den lineære veksten du er van med frå tidlegare.

Tenk deg at du legg 1 000 kr i banken med 5 % rente kvart år. Etter eitt år har du 1 050 kr. Men etter to år har du ikkje 1 100 kr — du har 1 102,50 kr, fordi renta det andre året blir rekna ut frå det nye beløpet på 1 050 kr. Denne effekten, der veksten i seg sjølv veks, er kjernen i eksponentiell vekst.

I dette kapitlet skal du lære:
- Kva som kjenneteiknar eksponentiell vekst og nedgang
- Korleis vekstfaktor heng saman med prosentvis endring
- Korleis vi skriv eksponentialfunksjonar på forma $f(x) = a \cdot b^x$
- Å bruke eksponentialfunksjonar i praktiske situasjonar

Føresetnad: Du bør kjenne til vekstfaktor frå kapittel 6.2. Viss du treng repetisjon, kan du gå tilbake dit først.

Vekstfaktor

p

✏️Døme: Frå prosent til vekstfaktor

Ein by i Noreg har 12 000 innbyggarar. Folketalet aukar med 3 % kvart år. Kor mange innbyggarar har byen etter 1, 2 og 3 år?

Løysing:

Vekstfaktor: $b = 1 + 0{,}03 = 1{,}03$

Startverdi: $a = 12\,000$

Etter 1 år: $12\,000 \cdot 1{,}03 = 12\,360$

Etter 2 år: $12\,360 \cdot 1{,}03 = 12\,730{,}8 \approx 12\,731$

Etter 3 år: $12\,730{,}8 \cdot 1{,}03 = 13\,112{,}7 \approx 13\,113$

Vi kan også skrive det slik:
- Etter 1 år: $12\,000 \cdot 1{,}03^1 = 12\,360$
- Etter 2 år: $12\,000 \cdot 1{,}03^2 = 12\,730{,}8$
- Etter 3 år: $12\,000 \cdot 1{,}03^3 \approx 13\,113$

Svar: Etter 3 år har byen ca. 13 113 innbyggarar.

📝Oppgave 1

Finn vekstfaktoren for kvar av desse endringane.

6 % auke

20 % nedgang

2{,}5 % auke

12 % nedgang

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 2

Ein bil kostar 350 000 kr ny. Kvart år fell verdien med 15 %. Kor mykje er bilen verd etter 1, 2 og 3 år?

Eksponentialfunksjon

f(x) = a \cdot b^x

✏️Døme: Bakterievekst

Ein bakteriekultur startar med 500 bakteriar. Antalet bakteriar dobler seg kvar time. Skriv opp ein eksponentialfunksjon $f(x)$ der $x$ er antall timar, og finn kor mange bakteriar det er etter 6 timar.

Løysing:

Startverdien er $a = 500$ bakteriar.

Dobling betyr 100 % auke, altså vekstfaktor $b = 2$ .

Funksjonen blir:
$f(x) = 500 \cdot 2^x$

Etter 6 timar:
$f(6) = 500 \cdot 2^6 = 500 \cdot 64 = 32\,000$

Svar: Etter 6 timar er det 32 000 bakteriar i kulturen.

📝Oppgave 3

Du set 10 000 kr i banken med 4 % årleg rente (renters rente).

Skriv opp ein eksponentialfunksjon $f(x)$ der $x$ er antall år.

Kor mykje pengar har du etter 10 år?

Kor mykje renter har du tjent totalt etter 10 år?

📝Oppgave 4

Radioaktivt jod-131 har ei halveringsfrist på 8 dagar. Det betyr at halvparten av stoffet brytast ned kvar 8. dag. Du startar med 200 mg jod-131.

Kor mykje jod-131 er igjen etter 8, 16, 24 og 32 dagar?

Skriv opp ein eksponentialfunksjon $f(x)$ der $x$ er antal halveringsperodar.

Etter kor mange halveringsperodar er det mindre enn 1 mg igjen?

Løs oppgaven Tren

Bestemme $a$ og $b$ i $f(x) = a \cdot b^x$

Ofte får du opplysningar om ein situasjon og må sjølv finne eksponentialfunksjonen. Her er strategien:

Finne $a$ (startverdien):
Startverdien er verdien når $x = 0$ . Dersom du veit kva storleiken er ved start, har du $a$ direkte.

Finne $b$ (vekstfaktoren):
- Hvis du kjenner den prosentuelle endringen per periode, brukar du formelen for vekstfaktor.
- Hvis du har to datapunkt, til dømes $f(x_1) = y_1$ og $f(x_2) = y_2$ , kan du setje opp likninga:

$\frac{y_2}{y_1} = b^{x_2 - x_1}$

og dermed finne $b$ .

✏️Døme: Finne eksponentialfunksjonen

Ein forskar måler bakteriar i ei kultur. Etter 2 timar er det 1 800 bakteriar, og etter 5 timar er det 14 400 bakteriar. Finn eksponentialfunksjonen $f(x) = a \cdot b^x$ der $x$ er tid i timar.

Løysing:

Vi har $f(2) = 1\,800$ og $f(5) = 14\,400$ .

Steg 1: Finn $b$

$\frac{f(5)}{f(2)} = \frac{a \cdot b^5}{a \cdot b^2} = b^3 = \frac{14\,400}{1\,800} = 8$

$b^3 = 8 \quad \Rightarrow \quad b = \sqrt[3]{8} = 2$

Steg 2: Finn $a$

Vi brukar $f(2) = a \cdot 2^2 = 4a = 1\,800$ :

$a = \frac{1\,800}{4} = 450$

Svar: Eksponentialfunksjonen er $f(x) = 450 \cdot 2^x$ .

Vi kan kontrollere: $f(5) = 450 \cdot 2^5 = 450 \cdot 32 = 14\,400$ ✓

📝Oppgave 5

Ein investering var verdt 50 000 kr ved starten og 72 800 kr etter 4 år. Gå ut frå at verdien følgjer ein eksponentialfunksjon.

Finn vekstfaktoren $b$ .

Kva er den årlige prosentuelle auka?

Kor mykje er investeringa verdt etter 10 år?

📝Oppgave 6

Prisen på ein mobiltelefon fell i verdi. Da ho var ny, kosta ho 12 990 kr. Etter 2 år er ho verdt 7 150 kr.

Finn vekstfaktoren $b$ og den årlige prosentuelle nedgangen.

Skriv opp eksponentialfunksjonen $f(x)$ der $x$ er antal år.

Etter kor mange år er telefonen verdt under 1 000 kr?

📝Oppgave F1

Finn feilen! Nora skal finne verdien av ein investering på 50 000 kr etter 4 år med 5 % årleg rente. Ho skriv:

$f(4) = 50\,000 \cdot 0{,}05^4 = 50\,000 \cdot 0{,}00000625 = 0{,}3125 \text{ kr}$

Finn feilen og skriv riktig utrekning.

📝Oppgave S1

Sant eller usant?

Ein vekstfaktor på $0{,}8$ tyder at noko veks med $80\,\%$ .

📝Oppgave D1

Drøftingsoppgåve: I naturen og i samfunnet finst det mange døme på eksponentiell vekst: bakteriar som delar seg, renter på ein sparekonto, befolkningsvekst og spreiing av virus. Men kan noko vekse eksponentielt for alltid? Diskuter kva som skjer på lang sikt, og gje døme på faktorar som avgrensar eksponentiell vekst i praksis.

Samandrag

I dette kapitlet har du lært:

- Eksponentiell vekst oppstår når ein størrelse aukar med same prosentdel kvar periode
- Eksponentiell nedgang oppstår når ein størrelse minskar med same prosentdel kvar periode
- Vekstfaktor: $b = 1 + p/100$ for vekst, $b = 1 - p/100$ for nedgang
- Eksponentialfunksjonen $f(x) = a \cdot b^x$ der $a$ er startverdi og $b$ er vekstfaktor
- $b > 1$ betyr vekst, $0 < b < 1$ betyr nedgang
- Vi kan finne $a$ og $b$ frå opplysningar om to datapunkt

Nøkkelbegrep

Begrep	Forklaring
Vekstfaktor	Talet vi gongar med for kvar periode
Eksponentiell vekst	Vekst der auken er prosentvis lik per periode ( $b > 1$ )
Eksponentiell nedgang	Nedgang der nedgangen er prosentvis lik per periode ( $0 < b < 1$ )
Startverdi ( $a$ )	Verdien når $x = 0$
Halveringstid	Tida det tek før størrelsen er halvert
Rentes rente	Rente som blir reikna ut frå kapitalen pluss tidligere opptent rente

📝Oppgave 7

Befolkningstalet i Tromsø var ca. 77 000 i 2020. Dei siste åra har befolkningstalet auka med ca. 1,2 % per år. a) Skriv opp ein eksponentialfunksjon der $x$ er antal år etter 2020. b) Kva slags befolkningstal gir modellen i 2030? c) I kva år passerer befolkningstalet 90 000 etter modellen?

📝Oppgave 8

Du har to sparealternativ: Alternativ A gir 3,5 % rente med rentes rente. Alternativ B gir 4 200 kr i rente kvar år (enkel rente). Du set inn 100 000 kr.

Skriv opp ein funksjon for kvart av dei to alternativa.

Rekn ut verdien av begge alternativa etter 5, 10, 15 og 20 år. Set opp ein tabell.

Etter omlag kor mange år blir alternativ A betre enn alternativ B?

Forklar korleis eksponentiell vekst alltid vil slå lineær vekst over lang nok tid.

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 6 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

9.1 Eksponentiell vekst og nedgang

Eksponentiell vekst og nedgang

Bestemme aaa og bbb i f(x)=a⋅bxf(x) = a \cdot b^xf(x)=a⋅bx

Samandrag

Nøkkelbegrep

Bestemme $a$ og $b$ i $f(x) = a \cdot b^x$