2.4 Ulikskapar | Matematikk 10. klasse

Løyse første- og andregradsulikskapar.

50 min

12 oppgaver

UlikskaparFørstegradsulikskapAndregradsulikskapForteiknslinje

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 12 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

2.2Andregradslikninger

Ulikskapar er matematiske utsagn som skildrar at ein storleik er større eller mindre enn ein annan. Vi skal lære å løysa ulikskapar og uttrykkja løysingane.

Ulikskapar

<

✏️Døme 1: Førstegradsulikskapar

Løys ulikskapa:
a) $3x - 7 > 8$
b) $-2x + 5 \leq 11$

a)
$3x - 7 > 8$
$3x > 15$
$x > 5$

b)
$-2x + 5 \leq 11$
$-2x \leq 6$
$x \geq -3$ (snur tegnet!)

📝Oppgave 2.4.1

Løys ulikskapa.

Løys $4x + 3 > 19$

Løys $5 - 2x \geq 13$

Løys $3(x - 2) < 2(x + 1)$

Løys $\displaystyle \frac{x - 1}{3} \leq 2$

Løs oppgaven

✏️Døme 2: Doble ulikskapar

Løys ulikskapa $-3 < 2x + 1 \leq 7$

Trekkjer frå 1 frå alle ledd:
$-4 < 2x \leq 6$

Deler på 2:
$-2 < x \leq 3$

Løysingmengda er alle $x$ slik at $-2 < x \leq 3$ .

📝Oppgave 2.4.2

Løys dei doble ulikskapa.

Løys $1 < 3x - 2 < 10$

Løys $-5 \leq 2x + 3 \leq 9$

Løys $\displaystyle 0 < \frac{x + 1}{2} \leq 4$

Løys $-2 < 1 - x < 5$

Løs oppgaven

Forteiknskjema

For å løysa andregradsulikskapar bruker vi forteiknskjema : 1. Finn nullpunkta til uttrykket 2. Tegn ei tallinje med nullpunkta 3. Bestem forteiknet i kvar intervall 4. Les av løysinga

✏️Døme 3: Andregradsulikskapar

Løys ulikskapa $x^2 - 4x - 5 > 0$

Faktoriserer: $(x - 5)(x + 1) > 0$

Nullpunkt: $x = 5$ og $x = -1$

Forteiknskjema:
- For $x < -1$ : $(-)(-) = +$ (positiv)
- For $-1 < x < 5$ : $(+)(-) = -$ (negativ)
- For $x > 5$ : $(+)(+) = +$ (positiv)

Løysing: $x < -1$ eller $x > 5$

📝Oppgave 2.4.3

Løys andregradsulikkhetene.

Løys $x^2 - 9 > 0$

Løys $x^2 - 2x - 8 \leq 0$

Løys $x^2 + 4x + 3 < 0$

Løys $x^2 - 6x + 9 \geq 0$

Løs oppgaven

✏️Døme 4: Praktisk bruk

Ein ball blir kasta opp. Høgda (i meter) etter $t$ sekund er $h(t) = -5t^2 + 20t$ . Når er ballen høgare enn 15 meter?

-5t^2 + 20t > 15

-5t^2 + 20t - 15 > 0

t^2 - 4t + 3 < 0

(deler på -5, snur teiknet)

(t - 1)(t - 3) < 0

$1 < t < 3$

Ballen er høgare enn 15 meter mellom 1 og 3 sekund.

📝Oppgave 2.4.4

Løys praktiske problem med ulikskapar.

Arealet av eit rektangel med breidd $x$ og lengd $(x + 4)$ skal vere minst 45 cm^2. Finn moglege verdiar for $x$ .

Ein ball blir kasta med høgd $h(t) = -4t^2 + 24t$ . Når er ballen over 32 meter?

Ein produsent har forteneste $P(x) = -2x^2 + 100x - 800$ kr ved sal av $x$ einingar. For kva $x$ er fortenesta positiv?

Løs oppgaven

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Førstegradsulikskapar: Løyse ulikskapar med $<$ , $>$ , $\leq$ og $\geq$ på same måte som likningar
- Snu ulikskaptegnet: Når du gangar eller deler med eit negativt tal, må ulikskaptegnet snuast
- Doble ulikskapar: Løyse ulikskapar på forma $a < bx + c < d$ ved å gjere same operasjon på alle tre ledd
- Andregradsulikskapar: Bruke faktorisering og fortegnsskjema for å finne løysinga
- Praktiske bruk: Bruke ulikskapar til å løyse problem med areal, høgder og forteneste

Nøkkelbegrep

Begrep	Forklaring
Ulikskap	Matematisk utsegn med $<$ , $>$ , $\leq$ eller $\geq$
Løysingmengd	Alle verdiar av $x$ som gjer ulikskapen sann
Dobbel ulikskap	Ulikskap med tre ledd, t.d. $a < x < b$
Fortegnsskjema	Verktøy for å bestemme fortegnet til eit uttrykk i ulike intervall
Snu ulikskaptegnet	Nødvendig når ein gangar/deler med negativt tal

Viktige formlar

- Førstegradsulikskap:

\displaystyle ax + b > 0 \Rightarrow x > -\frac{b}{a}

(for

a > 0

)
- Andregradsulikskap: Faktoriser, finn nullpunkt, bruk fortegnsskjema
- Hugs: Gangar/deler med negativt tal

\Rightarrow

snu teiknet

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 4 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.