6.1 Bølger, lyd og seismikk

En bølge er en forstyrrelse som brer seg gjennom et medium (eller gjennom rommet) og flytter energi — men ikke materie.

Bølgelengden $\lambda$ er avstanden mellom to punkter som svinger i takt, for eksempel mellom to nabotopper. Enheten er meter.

Amplituden er det største utsvinget fra likevektsstillingen. Den bestemmer hvor mye energi bølgen fører med seg, men påvirker ikke farten.

Perioden $T$ er tida for én svingning, og de to er omvendte av hverandre:

$$T = \frac{1}{f}$$

Advarsel om symbolet: i dette delkapitlet betyr $T$ periode i sekunder. I Del 4 (termofysikk) betyr $T$ temperatur i kelvin. Se symbollisten nederst.

$$v = f\lambda$$

Dette er navet i hele kapitlet. Sammenhengen er ren logikk: passerer $f$ bølgetopper per sekund, og er avstanden mellom toppene $\lambda$, har bølgefronten flyttet seg $f\lambda$ meter i løpet av sekundet.

Det viktige poenget: farten bestemmes av mediet (luft, vann, stål, berggrunn), mens frekvensen bestemmes av kilden. Går en bølge over i et nytt medium, endres farten — og da må bølgelengden endres, siden frekvensen er den samme.

I en longitudinal bølge svinger partiklene langs utbredelsesretningen — fram og tilbake i samme retning som bølgen går. Bølgen består av fortetninger og fortynninger.

Eksempler: lyd i luft, vann og faste stoffer, og P-bølgene i seismikk (P for primær, fordi de kommer først).

Longitudinale bølger går gjennom både faste stoffer, væsker og gasser, fordi alle stoffer motsetter seg å bli klemt sammen.

I en transversal bølge svinger partiklene på tvers av utbredelsesretningen.

Eksempler: bølger på en streng eller på vann, alle elektromagnetiske bølger (lys, radio, røntgen), og S-bølgene i seismikk (S for sekundær).

Transversale bølger i et materiale krever at mediet kan motstå skjærkrefter. Det kan faste stoffer, men ikke væsker og gasser — og derfor går S-bølger ikke gjennom jordas flytende ytre kjerne. Dette er hovedbeviset for at kjernen er flytende: seismografer på motsatt side av jorda registrerer P-bølger, men ingen S-bølger. Området kalles S-bølgeskyggen.

Ved et jordskjelv sendes flere bølgetyper ut samtidig fra samme sted:

- P-bølger er longitudinale og går raskest, typisk $6\ \text{km/s}$ i jordskorpa. De kommer først til seismografen.
- S-bølger er transversale og går saktere, typisk $3{,}5\ \text{km/s}$. De kommer etterpå.

Fordi de starter samtidig men går med ulik fart, øker tidsforskjellen mellom ankomstene med avstanden til skjelvet. Måler du tidsforskjellen, kan du regne ut hvor langt unna skjelvet var — og med tre stasjoner finner du stedet.

To kilder sies å være i fase når de svinger i takt — de sender ut topp samtidig. Alle eksamensoppgavene i denne sjangeren har kilder i fase.

$$\Delta l = |l_2 - l_1|$$

Det er denne forskjellen som avgjør alt: går den ene bølgen en halv bølgelengde lenger enn den andre, kommer den ut av takt og bølgene sletter hverandre.

$$\Delta l = n\lambda, \qquad n = 0, 1, 2, \ldots$$

Da kommer bølgene inn i takt, toppene faller sammen, og lyden blir kraftig.

$$\Delta l = \left(n + \tfrac12\right)\lambda, \qquad n = 0, 1, 2, \ldots$$

Da kommer den ene bølgen i motfase med den andre: topp møter bunn, og lyden blir svak eller forsvinner helt.

Arbeidsmetoden på eksamen: regn ut $\Delta l$, del på $\lambda$, og se på tallet. Blir det et helt tall, er det forsterkning. Blir det et helt tall pluss en halv, er det utslettelse.

$$I = \frac{P}{A}$$

Enheten er watt per kvadratmeter ($\text{W/m}^2$). Intensiteten er et mål på hvor mye energi bølgen fører per sekund gjennom en flate.

$$I = \frac{P}{4\pi r^2} \quad\Longrightarrow\quad I \propto \frac{1}{r^2}$$

Konsekvensen du må huske: dobler du avstanden, blir intensiteten fire ganger mindre — ikke halvparten. Firedobler du avstanden, blir den seksten ganger mindre.

Dette er den samme kvadratloven som i Coulombs lov, og den samme fella: lineær tenkning i en kvadratlov.

$$L = 10\log\left(\frac{I}{I_0}\right)$$

der $\log$ er tierlogaritmen og $I_0 = 1{,}0\cdot10^{-12}\ \text{W/m}^2$ er høreterskelen — den svakeste lyden et normalt øre kan oppfatte ved 1000 Hz.

Skal du gå den andre veien, fra dB til intensitet, snur du logaritmen:

$$I = I_0\cdot10^{L/10}$$

Enheten desibel er egentlig dimensjonsløs: den forteller hvor mange tierpotenser over høreterskelen lyden ligger, ganget med 10.

En stående bølge oppstår når en bølge reflekteres og møter seg selv, slik at mønsteret ser ut til å stå stille. Punkter som ikke svinger i det hele tatt, kalles knutepunkter; punkter med maksimalt utsving kalles buker.

På en streng festet i begge ender må endene være knutepunkter. Det begrenser hvilke bølgelengder som er mulige — strengen kan bare svinge i bestemte mønstre.

$$\lambda_n = \frac{2L}{n}, \qquad n = 1, 2, 3, \ldots$$

og de tilhørende frekvensene, med bølgefarten $v$ i strengen:

$$f_n = \frac{v}{\lambda_n} = n\cdot\frac{v}{2L} = n f_1$$

- $n = 1$ gir grunntonen $f_1$, med $\lambda_1 = 2L$ (én buk i midten).
- $n = 2$ gir 2. harmoniske $2f_1$, $n = 3$ gir $3f_1$, og så videre.

Frekvensene er altså hele multipler av grunntonen: $f_1, 2f_1, 3f_1, \ldots$ Det er blandingen av dem som gir instrumenter sin klang.

$$\frac{\sin\alpha_2}{\sin\alpha_1} = \frac{v_2}{v_1}$$

der $\alpha_1$ og $v_1$ hører til det laget bølgen kommer fra.

Tolkningen: går bølgen inn i et lag med høyere fart, blir vinkelen større — strålen knekker bort fra normalen. Går den inn i et lag med lavere fart, knekker den mot normalen.

Dette er den samme loven som brukes i optikk (der skrives den med brytningsindekser i kap. 6.2), men i seismikk er det fartene som er oppgitt.

$$d\sin\theta = n\lambda, \qquad n = 0, 1, 2, \ldots$$

der $d$ er avstanden mellom nabospaltene (gitterkonstanten) og $\theta$ er vinkelen fra sentralretningen.

Betingelsen er den samme som for to kilder: ganglengdeforskjellen mellom nabospaltene skal være et helt antall bølgelengder. Fordi det er mange spalter, blir de forsterkede retningene svært skarpe.

Begge sprer hvitt lys i farger, men mekanismene er forskjellige — og dette er en gjenganger som kvalitativt spørsmål:

- Gitter: interferens. Retningen til den forsterkede strålen er gitt av $d\sin\theta = n\lambda$. Ulike bølgelengder får ulik vinkel fordi $\lambda$ står i betingelsen. Ingen brytning er involvert.
- Regnbue (og prisme): dispersjon. Brytningsindeksen $n$ i et materiale avhenger litt av bølgelengden, så ulike farger brytes ulikt mye i Snells lov. Her er det brytning, ikke interferens.

Skriv aldri «lyset brytes i gitteret». Det er interferens. Og skriv aldri «regnbuen skyldes interferens». Det er dispersjon.

Bølgefarten avhenger av mediet, ikke av kilden. Noen typiske verdier (tabellstoff):

To bølger er i fase når toppene faller sammen — da forsterker de hverandre. De er i motfase når topp møter bunn — da sletter de hverandre.

En ganglengdeforskjell på $\lambda/2$ svarer nøyaktig til motfase. Det er derfor det halve bølgelengdeleddet i $(n+\tfrac12)\lambda$ er det som avgjør utslettelsen; de hele bølgelengdene endrer ingenting.

Ved $I = I_0$ er $L = 10\log 1 = 0\ \text{dB}$. Null desibel betyr altså ikke «ingen lyd», men «på høreterskelen». Verdien hentes fra formelarket.

Tre regler som sparer tid på eksamen:

- Dobbelt så stor intensitet: $+10\log 2 = +3{,}0\ \text{dB}$.
- Dobbelt så stor avstand fra en punktkilde: $-10\log 4 = -6{,}0\ \text{dB}$.
- Ti ganger så stor intensitet: $+10\ \text{dB}$.

Merk at to like høyttalere gir $+3\ \text{dB}$, ikke dobbelt så mange desibel — det oppleves som en ganske beskjeden økning.

Et knutepunkt er et punkt i en stående bølge som ikke svinger i det hele tatt. En buk er et punkt med maksimalt utsving.

På en streng festet i begge ender er endene alltid knutepunkter. I den $n$-te harmoniske er det $n$ buker og $n+1$ knutepunkter (endene medregnet), og avstanden mellom to nabo-knutepunkter er $\lambda/2$.

Forklaringen er at S-bølger er transversale og krever et medium som motstår skjærkrefter. Jordas ytre kjerne er flytende og gjør ikke det. Skyggens utstrekning er brukt til å bestemme hvor kjernen begynner.

$$\sin\alpha_c = \frac{v_1}{v_2} \qquad (\text{krever } v_1 < v_2)$$

Ved større innfallsvinkler går bølgen ikke ned i det nedre laget. Bølger som løper langs grensen og kommer opp igjen, brukes til å bestemme dybden til laggrenser — det er grunnprinsippet i refraksjonsseismikk.

Betingelsen må skrives ut: finnes bare når farten øker nedover.

I glass og vann brytes blått lys litt mer enn rødt, fordi $n$ er litt større for kort bølgelengde. Det er dette som gir prismefarger og regnbue. Dispersjon er en brytningseffekt, i motsetning til gitterets fargespredning, som er interferens.

Lys, radiobølger, mikrobølger, infrarød stråling, ultrafiolett, røntgen og gammastråling er alle elektromagnetiske bølger. De er transversale, og de trenger ikke noe medium — de går gjennom vakuum.

I vakuum har de alle samme fart, $c = 3{,}00\cdot10^{8}\ \text{m/s}$ (formelarket), og skiller seg bare i frekvens og bølgelengde gjennom $c = f\lambda$.

Fire steg som løser hver oppgave i denne sjangeren:

1. finn bølgelengden fra $\lambda = v/f$;
2. finn ganglengdeforskjellen $\Delta l = |l_2 - l_1|$;
3. regn ut forholdet $\Delta l/\lambda$;
4. klassifiser: helt tall gir forsterkning, helt tall pluss en halv gir utslettelse — og skriv begrunnelsen i én setning.

Blir forholdet noe midt imellom, for eksempel $2{,}3$, er svaret «delvis forsterkning» — lyden er verken maksimal eller borte.