2.5 Drill: konsumentoppgaven

Sjangerdrill på oppgave 1: fra oppgitt nyttefunksjon til fullført A-besvarelse — oppsett, Lagrange, tolkning, Cobb-Douglas, normalitet, Slutsky og diskusjonshale.

90 min

12 oppgaver

Drillkonsumentoppgaven

Din fremgang i kapitlet

0 / 12 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

2.4Kompensasjonsanalyse: prissubsidie mot kontantstøtte

Brukes videre i

2.PPrøver til del 2: Konsumentteori: optimering, etterspørsel og Slutsky 8.1Den aktualiserte diskusjonsoppgaven: fra nyhetsbilde til modell

Dette kapitlet er hele eksamensoppgave 1, drillet fra start til slutt. Det samler de fire sjangrene du har møtt i Del 2:

- A — nyttemaksimering med tolkningskrav: 6 av 7 ordinære sett (V2018, V2019, V2020, V2023, V2024, V2025), altså 86 %, og 3 av 4 utsatt-sett.
- B — figurforklaring av (ikke-)optimal tilpasning: V2023 (navngitte punkter) og V2025 (studenten konstruerte moteksempelet selv).
- C — Cobb-Douglas-etterspørsel med normalitet: alle tre siste ordinære sett, V2023, V2024 og V2025.
- D — Slutsky-dekomponering: samme seks sett som sjanger A, altså 86 %, og 3 av 4 utsatt.

Til sammen bar denne oppgaven 30–45 % av poengene hvert av de tre siste årene. Fra 2025 avsluttes den gjerne med et aktualisert, åpent diskusjonsspørsmål uten fasit — sjanger M — der sensor premierer strukturert teoribruk framfor synsing.

Kapitlet er lagt opp i tre deler. Del 1 er løsningsoppskriften i åtte steg. Del 2 er en komplett eksamensoppgave regnet gjennom, med notater om hva som gir uttelling i hvert steg. Del 3 er tolv oppgaver som roterer sjangeren systematisk.

Tidsanslaget på 90 minutter er lesetid; regner du selv med penn, bør du sette av halvannen gang så lang tid. Del kapitlet over to økter om du vil — det er markert et naturlig pausepunkt mellom Del 2 og Del 3.

Prioritet: dette må sitte.

Forkunnskaper. Dette kapitlet forutsetter hele Del 2:

- kap. 2.1 — oppsett, Lagrange, tilpasningsbetingelsen og tolkningen.
- kap. 2.2 — Cobb-Douglas-etterspørselen og normalitet ved derivasjon.
- kap. 2.3 — Slutsky-dekomponering, kompensasjon og fortegnsanalysen.
- kap. 2.4 — prissubsidie mot kontantstøtte.

Sist du var her — de fire formlene alt i dette kapitlet står på:

$\frac{u'_1}{u'_2} = \frac{p_1}{p_2} \qquad \text{(tilpasningsbetingelsen)}$

$c_1 = \frac{a\,m}{p_1}, \qquad c_2 = \frac{(1-a)\,m}{p_2} \qquad \text{(Cobb-Douglas-etterspørselen)}$

$\frac{\partial c_1}{\partial m} = \frac{a}{p_1} > 0 \qquad \text{(normalitet, vist ved derivasjon)}$

$m^s = m + (p_1' - p_1)\,c_1^0 \qquad \text{(Slutsky-kompensasjonen)}$

Sitter disse, kan du gjøre hele kapitlet. Er du usikker på én av dem, ta en runde i det aktuelle kapitlet først — drillen er verdiløs hvis grunnlaget vakler.

Du har verktøyene. Nå skal de bli refleks.

Forskjellen mellom en middels og en god besvarelse på oppgave 1 er sjelden at studenten ikke kan stoffet. Den er at hun bruker for lang tid på å finne ut hvor hun skal begynne, glemmer ett av de faste kravene underveis, eller stopper ett steg før sensor gir det siste poenget.

Løsningen er en oppskrift du følger uten å tenke. Sensorveiledningene er remarkabelt konsistente om hva som gir uttelling, og kravene er de samme år etter år. Da kan du lære dem som en huskeliste.

Slik bruker du kapitlet: les Del 1 én gang og lær rekkefølgen. Gå gjennom eksamenscaset i Del 2 med penn i hånd og dekk til løsningen mens du prøver selv. Regn deretter så mange av de tolv oppgavene i Del 3 som du har tid til — de er ordnet slik at hver enkelt trener et bestemt ledd, og de fire siste er hele kjeder på eksamensnivå.

Del 1 — Løsningsoppskriften i åtte steg (~15 min)

Åtte steg dekker alt eksamen har spurt om i denne oppgaven. Ikke alle spørsmål krever alle steg, men rekkefølgen er alltid den samme.

Steg 1: Sett opp problemet formelt

\max_{c_1,\,c_2}\ u(c_1,c_2) \quad \text{gitt} \quad p_1c_1 + p_2c_2 = m

Steg 2: Løs med Lagrange og kombiner

\mathcal{L} = u(c_1,c_2) - \lambda(p_1c_1 + p_2c_2 - m)

Steg 3: Tolk betingelsen i enheter

Skriv ut tolkningen, hver gang: > Venstresiden er konsumentens marginale betalingsvilje for vare 1 målt i enheter av vare 2 — hvor mye vare 2 hun frivillig ville gitt fra seg for én enhet mer av vare 1. Høyresiden er hva markedet krever av vare 2 for det samme byttet. I optimum er de like; ellers finnes et bytte som gjør henne bedre stilt uten å sprenge budsjettet. Hva sensor ser etter: enhetene, og hvorfor likhet betyr at ingen byttegevinst gjenstår. Å gjenta «marginal substitusjonsbrøk er lik prisforholdet» med ord teller ikke som tolkning. Har oppgaven konkrete tall, sett dem inn: «hun er villig til å gi 0,5 lunsjer for én kaffe, og markedet krever nøyaktig det samme.»

Steg 4: Utled etterspørselsfunksjonene

c_1 = \frac{a\,m}{p_1}, \qquad c_2 = \frac{(1-a)\,m}{p_2}

Steg 5: Vis normalitet ved derivasjon

\frac{\partial c_1}{\partial m} = \frac{a}{p_1} > 0

Steg 6: Dekomponer prisendringen

A

Steg 7: Svar på figurspørsmålet

A

Steg 8: Svar på diskusjonshalen

Fra 2025 avsluttes oppgaven ofte med et åpent spørsmål uten fasit — hvem rammes hardest, bør staten gripe inn, hva skjer på lengre sikt. Bruk tre knagger fra oppgaven du nettopp har løst: a) Budsjettandelen: hvor stor del av inntekten godet utgjør. Er den stor, er inntektsvirkningen av en prisøkning stor. b) Substituerbarheten: hvor lett godet kan erstattes. Er den lav, kan konsumenten ikke tilpasse seg, og prisøkningen svir. c) Normaliteten: hvordan forbruket henger sammen med inntekt. Hva sensor ser etter: strukturert teoribruk, og en konklusjon som lander. Bruk modellens begreper på det konkrete caset, og si hva du mener — men si også hvilken opplysning som ville endret svaret.

Oppskriften på én linje per steg:

Steg	Handling	Faren
1	Målfunksjon + budsjett med likhet, begrunnet	Å begynne å regne uten å sette opp
2	Lagrange, deriver, del betingelsene	Å stoppe før $\lambda$ er eliminert
3	Tolk i enheter, si hvorfor likhet er optimum	Å gjenta formelen med ord
4	Utled etterspørselen, kontroller utgiften	Å bruke $a$ når eksponentene ikke summerer til 1
5	Deriver mhp. $m$ , skriv fortegnet	Å påstå normalitet uten derivasjon
6	$A$ , kompensasjon, $B$ , $C$ ; tolk begge effekter	Å legge forbeholdet på feil effekt
7	Figur med navn, helninger og piler + mekanisme i ord	Å levere figur uten tolkning
8	Budsjettandel, substituerbarhet, normalitet — og en konklusjon	Å svare på noe annet enn det spurte

📝Oppgave 1

(Innsteg — ren gjengivelse av oppskriften.)

a) Sett opp de åtte stegene i riktig rekkefølge, med én linje per steg.
b) Hvilke to av stegene tapes oftest, og hvorfor?

Del 2 — Gjennomregnet eksamenscase (~25 min)

Under står en komplett oppgave av samme type som i V2023–V2025, med hele besvarelsen og notater om hva som gir uttelling i hvert ledd. Dekk til løsningen og prøv selv først.

✏️Eksamenscase: treningsabonnement og alt annet konsum

En student bruker hele månedsbudsjettet på treningsøkter (

c_1

, kjøpt som klippekort til

p_1 = 50

kroner per økt) og alt annet konsum (

c_2

, til

p_2 = 10

kroner per enhet). Budsjettet er

m = 5\,000

kroner. Nyttefunksjonen er

$u(c_1, c_2) = c_1^{0{,}4}\,c_2^{0{,}6}$

a) Sett opp og løs studentens maksimeringsproblem med Lagrange, og tolk tilpasningsbetingelsen i økonomiske enheter.
b) Utled begge etterspørselsfunksjonene, og regn ut tilpasningen.
c) Er treningsøkter et normalt gode? Vis ved derivasjon.
d) Treningssenteret dobler prisen per økt til 100 kroner. Dekomponer virkningen på antall økter i substitusjons- og inntektseffekt, og beskriv figuren.
e) Drøft kort hvem en slik prisøkning rammer hardest.

a) Oppsett, løsning og tolkning

Problemet formelt:

$\max_{c_1,\,c_2}\ c_1^{0{,}4}c_2^{0{,}6} \quad \text{gitt} \quad 50c_1 + 10c_2 = 5\,000$

Budsjettbetingelsen holder med likhet fordi preferansene er monotone: har studenten kroner til overs, kan hun kjøpe mer av minst én vare og få høyere nytte.

Lagrange:

$\mathcal{L} = c_1^{0{,}4}c_2^{0{,}6} - \lambda\left(50c_1 + 10c_2 - 5\,000\right)$

Marginalnyttene:

$u'_1 = 0{,}4\,c_1^{-0{,}6}c_2^{0{,}6}, \qquad u'_2 = 0{,}6\,c_1^{0{,}4}c_2^{-0{,}4}$

Førsteordensbetingelsene er $u'_1 = 50\lambda$ og $u'_2 = 10\lambda$ . Deler vi den første på den andre, elimineres $\lambda$ :

$\frac{u'_1}{u'_2} = \frac{0{,}4}{0{,}6}\cdot\frac{c_2}{c_1} = \frac{2}{3}\cdot\frac{c_2}{c_1} = \frac{50}{10} = 5$

Tolkning i enheter. Venstresiden er studentens marginale betalingsvilje for én ekstra treningsøkt, målt i enheter av annet konsum: hvor mange enheter annet forbruk hun frivillig ville gitt fra seg for én økt til. Høyresiden er hva markedet krever — en økt koster 50 kroner og en enhet annet konsum 10, altså 5 enheter annet konsum per økt. I optimum er de like. Verdsatte hun den siste økta høyere enn 5 enheter, kunne hun kuttet 5 enheter annet forbruk, kjøpt en økt mer, og kommet på en høyere indifferenskurve uten å sprenge budsjettet — altså var hun ikke i optimum.

> Sensornotat. Her ligger tre uttellingspunkter: det formelle oppsettet med begrunnet likhet, den fullførte utledningen der $\lambda$ er eliminert, og tolkningen med enheter og byttegevinst-argument. En figur i stedet for utledningen gir ikke full uttelling — V2025-veiledningen sier det rett ut. Skriver du bare «marginal substitusjonsbrøk er lik prisforholdet», mister du tolkningspoenget.

b) Etterspørselsfunksjonene og tilpasningen

Fra $\displaystyle \frac{2}{3}\cdot\frac{c_2}{c_1} = \frac{p_1}{p_2}$ får vi ved kryssmultiplikasjon $2p_2c_2 = 3p_1c_1$ , altså $\displaystyle p_2c_2 = \frac{3}{2}p_1c_1$ . Innsatt i budsjettet:

$p_1c_1\left(1 + \tfrac{3}{2}\right) = \tfrac{5}{2}\,p_1c_1 = m \quad \Longrightarrow \quad p_1c_1 = \tfrac{2}{5}m$

Så

$c_1 = \frac{0{,}4\,m}{p_1}, \qquad c_2 = \frac{0{,}6\,m}{p_2}$

Med tallene:

$c_1 = \frac{0{,}4\cdot 5\,000}{50} = 40 \text{ økter}, \qquad c_2 = \frac{0{,}6\cdot 5\,000}{10} = 300 \text{ enheter}$

Kontroller. Budsjettet: $50\cdot 40 + 10\cdot 300 = 2\,000 + 3\,000 = 5\,000$ ✓. Budsjettandelen: $p_1c_1 = 2\,000 = 0{,}4\cdot 5\,000$ ✓. Tilpasningsbetingelsen: $\displaystyle \frac{2}{3}\cdot\frac{300}{40} = \frac{2}{3}\cdot 7{,}5 = 5$ ✓.

Studenten bruker altså 40 % av budsjettet på trening — nøyaktig eksponenten.

> Sensornotat. Kontrollene er ikke pynt: de er synlige for sensor og fanger regnefeil. Legg til budsjettandels-tolkningen når oppgaven ber om økonomisk forklaring — bare formelen er ikke svar på «forklar».

c) Normalitet

Deriver etterspørselen med hensyn på inntekten, med prisen holdt fast:

$\frac{\partial c_1}{\partial m} = \frac{0{,}4}{p_1} = \frac{0{,}4}{50} = 0{,}008 > 0$

Både telleren $0{,}4$ og prisen $p_1$ er positive, så den deriverte er strengt positiv for alle tillatte parameterverdier. Treningsøkter er derfor et normalt gode.

Tolket i enheter: hver ekstra tusenlapp i månedsbudsjett gir $0{,}008\cdot 1\,000 = 8$ flere økter.

> Sensornotat. Tre linjer, og de må være der. Verbal påstand gir bare delvis uttelling — dokumentert i to veiledninger. Å si at fortegnet gjelder i hele parameterrommet, er et lite ekstra som viser at du forstår hva en fortegnspåstand er.

d) Slutsky-dekomponering

Punkt $A$ (gamle priser, opprinnelig inntekt): $A = (40, 300)$ , fra b).

Kompensasjonen. Hva koster den gamle kurven til de nye prisene?

$100\cdot 40 + 10\cdot 300 = 4\,000 + 3\,000 = 7\,000$

Studenten trenger altså 2 000 kroner ekstra, som er $(100 - 50)\cdot 40$ . Den kompenserte inntekten er $m^s = 7\,000$ .

Punkt $B$ (nye priser, kompensert inntekt):

$c_1^B = \frac{0{,}4\cdot 7\,000}{100} = 28, \qquad c_2^B = \frac{0{,}6\cdot 7\,000}{10} = 420$

Kontroll: $100\cdot 28 + 10\cdot 420 = 2\,800 + 4\,200 = 7\,000$ ✓.

Punkt $C$ (nye priser, opprinnelig inntekt):

$c_1^C = \frac{0{,}4\cdot 5\,000}{100} = 20, \qquad c_2^C = 300$

Kontroll: $100\cdot 20 + 10\cdot 300 = 5\,000$ ✓.

Effektene:

$\text{SE} = 28 - 40 = -12 \text{ økter}, \qquad \text{IE} = 20 - 28 = -8 \text{ økter}$

$\text{TE} = -20 \text{ økter} \quad (\text{kontroll: } 20 - 40 = -20 \ ✓)$

Tolkning. Av det samlede fallet på 20 økter skyldes 12 at trening er blitt relativt dyrere: selv med full kompensasjon for kjøpekraften vrir studenten seg mot annet forbruk, som stiger fra 300 til 420 enheter i punkt $B$ . Fortegnet på denne effekten er sikkert uansett hva slags gode trening er — det følger av avslørte preferanser, siden den gamle kurven fortsatt var overkommelig i $B$ , men ikke ble valgt.

De resterende 8 øktene skyldes at hun ikke får de 2 000 kronene: realinntekten er lavere, og siden trening er et normalt gode — vist ved derivasjon i c) — kutter hun ytterligere. Her, og bare her, brukes normalitetsforutsetningen.

Merk at substitusjonsleddet utgjør $12/20 = 0{,}6 = 1 - a$ av totaleffekten og inntektsleddet $0{,}4 = a$ , altså budsjettandelen. Det er den generelle Cobb-Douglas-egenskapen.

Figur i ord. Treningsøkter $c_1$ vannrett, alt annet konsum $c_2$ loddrett.

- Den opprinnelige budsjettlinjen går fra $(0, 500)$ til $(100, 0)$ med helning $-5$ , og tangerer en indifferenskurve i $A = (40, 300)$ .
- Den nye budsjettlinjen har samme skjæringspunkt $(0, 500)$ på den loddrette aksen, men treffer den vannrette aksen ved $(50, 0)$ — helning $-10$ — og tangerer en lavere indifferenskurve i $C = (20, 300)$ .
- Den kompenserte linjen er stiplet, parallell med den nye (helning $-10$ ), men skjøvet utover slik at den går gjennom $A$ ; den treffer aksene ved $(0, 700)$ og $(70, 0)$ og tangerer i $B = (28, 420)$ — på en høyere indifferenskurve enn den gjennom $A$ , siden Slutsky-kompensasjonen gir råd til den gamle kurven og litt til.

Stiplede hjelpelinjer trekkes fra $A$ , $B$ og $C$ ned til $c_1$ -aksen ved 40, 28 og 20. Pilen fra 40 til 28 merkes «substitusjonseffekt», pilen fra 28 til 20 merkes «inntektseffekt». Klammen mellom skjæringspunktene 500 og 700 på den loddrette aksen merkes «kompensasjonen på 2 000 kroner».

> Sensornotat. Fire ting gir uttelling her: riktig kompensasjonsbeløp, riktige tre punkter, tolkning av hver effekt, og at normalitetsforbeholdet står på inntektseffekten. Den vanligste feilen er å legge den kompenserte linjen gjennom $C$ i stedet for $A$ ; den nest vanligste er å levere figuren uten tolkning.

e) Diskusjonshalen

Prisøkningen rammer hardest de husholdningene der trening utgjør en stor budsjettandel og der substituerbarheten er lav.

Budsjettandelen er avgjørende fordi inntektsleddet i dekomponeringen skaleres med den: her er andelen 0,4, og inntektseffekten utgjør nøyaktig 40 % av totalvirkningen. For en student som bruker 40 % av budsjettet på trening, er en dobling av prisen et reelt kjøpekraftstap på 40 % av budsjettet — hun må gi opp halvparten av øktene. For noen som bruker 5 %, er virkningen liten uansett.

Substituerbarheten avgjør hvor billig tilpasningen er. Har man tilgang på gratis alternativer — løping, uteapparater, et rimeligere senter — er substitusjonseffekten stor og velferdstapet lite: man bytter, og mister lite. Er treningen knyttet til en bestemt fasilitet eller til rehabilitering, er alternativene få, og prisøkningen må tas i form av redusert annet forbruk.

De to hensynene peker samme vei for lavinntektsgrupper: de har typisk høyere budsjettandel på faste utgifter og færre alternativer å bytte til.

Konklusjonen lander slik: prisøkningen er mest byrdefull for lavinntektshusholdninger med høy budsjettandel og få alternativer, og velferdstapet er større enn mengdefallet på 20 økter antyder — for tilpasningen skjer ved at hun gir opp noe hun verdsatte. Opplysningen som ville endret vurderingen, er om det finnes nære, rimelige alternativer: er svaret ja, blir tapet lite selv ved stor budsjettandel.

> Sensornotat. Her er det ingen fasit, og sensor premierer strukturert teoribruk. Bruk begreper fra oppgaven du nettopp løste — budsjettandel, substitusjonseffekt, normalitet — på det konkrete caset, og land en konklusjon. Generell synsing om at «prisøkninger er dumt for fattige» gir lite. Å si hvilken opplysning som ville endret svaret, er et pluss: det viser at du kjenner modellens grenser.

Eksamen er fire timer, altså 240 minutter, og de tre oppgavene har oppgitte prosentvekter — V2025-settet var 35/35/30. Deloppgavene innad i en oppgave teller omtrent likt, noe flere veiledninger sier eksplisitt.

Er oppgave 1 vektet 35 %, tilsvarer det $0{,}35\cdot 240 = 84$ minutter. Med fem deloppgaver som teller likt, blir det omtrent 17 minutter per deloppgave.

Bruk det som en hard grense. Caset over er skrevet ut i full lengde for at du skal se hva som kreves — på eksamen holder det med utledningen, kontrollene og tolkningen i kortere form. Kommer du over 20 minutter på en deloppgave, gå videre og kom tilbake: den neste deloppgaven er verdt like mye som den du sitter fast i.

Sett av 10 minutter til slutt for diskusjonshalen. Den er ofte den siste deloppgaven, den teller like mye som utledningene, og den er den som oftest står ubesvart.

— naturlig pausepunkt. Har du lest hit, har du hele oppskriften. Del 3 er ren regning, og den kan tas i en egen økt. —

Del 3 — Tolv oppgaver som roterer sjangeren (~50 min)

Oppgave 2–4 trener hvert sitt ledd. Oppgave 5–7 trener dekomponering og figur. Oppgave 8–12 er hele kjeder på eksamensnivå. Alle tall og case er nye.

📝Oppgave 2

(Steg 4 og 5 isolert.) En student har nyttefunksjonen

$u = 0{,}35\ln c_1 + 0{,}65\ln c_2$

der $c_1$ er kaffe målt i hundregramsposer ( $p_1 = 7$ kroner per pose) og $c_2$ er alt annet ( $p_2 = 20$ kroner per enhet). Inntekten er $m = 2\,800$ kroner.

a) Skriv opp etterspørselsfunksjonene og regn ut tilpasningen.
b) Vis ved derivasjon at kaffe er et normalt gode.

📝Oppgave 3

(Steg 1–4 i kjede. Log-formen.) En husholdning har

$u = 0{,}25\ln c_1 + 0{,}75\ln c_2$

der $c_1$ er streamingabonnementer ( $p_1 = 15$ kroner per enhet) og $c_2$ er kinobilletter ( $p_2 = 20$ kroner). Inntekten er $m = 1\,200$ kroner.

a) Sett opp maksimeringsproblemet formelt og begrunn likheten.
b) Utled etterspørselsfunksjonene med Lagrange. Vis alle steg.
c) Regn ut tilpasningen og kontroller den på to måter.
d) Tolk tilpasningsbetingelsen i enheter.

📝Oppgave 4

(Steg 4 med fellen.) En konsument har nyttefunksjonen

$u = c_1^{3}\,c_2$

Prisene er $p_1 = 12$ og $p_2 = 8$ kroner, og inntekten er $m = 960$ kroner.

a) Hva er budsjettandelen for vare 1? Begrunn.
b) Regn ut tilpasningen.
c) Hvorfor ville det vært galt å bruke $c_1 = 3m/p_1$ direkte? Vis hva som går feil.

📝Oppgave 5

(Steg 6 — prisøkning.) En husholdning har $u = c_1^{0{,}6}c_2^{0{,}4}$ , der $c_1$ er barnehagetimer ( $p_1 = 30$ kroner) og $c_2$ er alt annet ( $p_2 = 20$ kroner). Inntekten er $m = 2\,000$ kroner. Prisen per barnehagetime stiger til 40 kroner.

a) Finn punktene $A$ , $B$ og $C$ , og vis kompensasjonsbeløpet.
b) Regn ut substitusjons- og inntektseffekten, og kontroller mot totaleffekten.
c) Tolk hver effekt, og si hvilken forutsetning hvert fortegn hviler på.

📝Oppgave 6

(Steg 6 — prisfall. Merk fortegnsskiftet i kompensasjonen.) En pendler har $u = c_1^{1/3}c_2^{2/3}$ , der $c_1$ er drivstoff (liter, $p_1 = 30$ kroner) og $c_2$ er alt annet ( $p_2 = 10$ kroner). Inntekten er $m = 2\,700$ kroner. En avgiftslettelse senker drivstoffprisen til 20 kroner.

a) Finn $A$ , $B$ og $C$ , og vis kompensasjonsbeløpet.
b) Regn ut de to effektene.
c) Forklar hvorfor kompensasjonsbeløpet er negativt, og hva det betyr geometrisk.

📝Oppgave 7

(Steg 7 — figurspørsmålet.) En konsument har budsjettlinjen

6c_1 + 3c_2 = 180

og konvekse, monotone preferanser. Tre punkter vurderes:

$P = (10, 40) \ \text{med MSB} = 5, \qquad Q = (25, 10) \ \text{med MSB} = 0{,}8, \qquad R = (15, 30) \ \text{med MSB} = 2$

a) Kontroller at alle tre ligger på budsjettlinjen.
b) Avgjør for hvert punkt om konsumenten er i optimum, og si hva hun bør gjøre.
c) Beskriv figuren du ville tegnet.

📝Oppgave 8

(Full kjede på eksamensnivå — steg 1–8. Slik ble oppgave 1 bygget i V2023–V2025.)

En husholdning har nyttefunksjonen

$u(c_1, c_2) = c_1^{0{,}4}\,c_2^{0{,}6}$

der $c_1$ er enkeltbilletter på kollektivtransport ( $p_1 = 20$ kroner) og $c_2$ er alt annet konsum ( $p_2 = 10$ kroner). Inntekten er $m = 2\,500$ kroner. Billettprisen settes opp til 25 kroner.

a) Sett opp og løs maksimeringsproblemet, og tolk tilpasningsbetingelsen i enheter.
b) Utled etterspørselsfunksjonene og regn ut tilpasningen før prisøkningen.
c) Er kollektivbilletter et normalt gode? Vis ved derivasjon.
d) Dekomponer virkningen av prisøkningen i substitusjons- og inntektseffekt, og beskriv figuren.
e) Drøft kort hvem prisøkningen rammer hardest, og hva som ville endret vurderingen din.

📝Oppgave 9

(Kvasi-lineær variant — testet i V2023. Cobb-Douglas-formelen gjelder ikke her.)

En konsument har nyttefunksjonen

$u(c_1, c_2) = 6\sqrt{c_1} + c_2$

der $p_1 = 3$ og $p_2 = 2$ kroner, og inntekten er $m = 100$ kroner.

a) Sett opp problemet og utled tilpasningsbetingelsen. Hva er spesielt med den?
b) Regn ut tilpasningen.
c) Inntekten øker til 140 kroner. Hva skjer med $c_1$ og $c_2$ ? Er vare 1 et normalt gode?
d) Prisen på vare 2 dobles til 4 kroner, med $m = 100$ . Regn ut den nye tilpasningen, og forklar hvorfor $c_1$ endres her mens den ikke gjorde det i c).

📝Oppgave 10

(Kompensasjonsanalyse-hale — obligtemaet som kom på eksamen i V2024.)

En husholdning har $u = c_1^{0{,}5}c_2^{0{,}5}$ , der $c_1$ er fritidsaktiviteter for barn ( $p_1 = 36$ kroner per time) og $c_2$ er alt annet ( $p_2 = 4$ kroner). Inntekten er $m = 288$ kroner. Kommunen vurderer en subsidie som senker prisen til 4 kroner per time, eller en kontantoverføring med samme kostnad.

a) Finn tilpasningen under subsidien, og regn ut kommunens utlegg.
b) Finn tilpasningen med en kontantoverføring av samme størrelse, og sammenlikn nyttenivåene.
c) Vis at den subsidierte kurven ligger på kontantoverføringens budsjettlinje, og forklar hvorfor husholdningen likevel velger et annet punkt.
d) Forklar vridningen med substitusjonseffekten.

📝Oppgave 11

Sjanger L

Ta stilling til hver påstand og begrunn kort.

a) «Substitusjonseffekten av en prisøkning på vare 1 er alltid negativ eller null.»
b) «For Cobb-Douglas-preferanser er etterspørselen etter vare 1 uavhengig av $p_2$ , og konsumenten er derfor upåvirket av at $p_2$ stiger.»
c) «Totaleffekten av en prisøkning på vare 1 er negativ.»
d) «Et gode kan ikke være normalt og samtidig ha en positiv krysspriseffekt.»
e) «Nyttefunksjonene $u = c_1^{0{,}5}c_2^{0{,}5}$ og $v = 4\ln c_1 + 4\ln c_2$ gir samme etterspørsel.»

📝Oppgave 12

(Krevende — generelt, uten tall. Tester om du kan begrunne fortegn i hele parameterrommet.)

En konsument har $u = c_1^{a}c_2^{1-a}$ med $0 < a < 1$ , og budsjettet $p_1c_1 + p_2c_2 = m$ .

a) Vis at substitusjonsleddet er $\displaystyle \frac{am(a-1)}{p_1^{2}}$ og inntektsleddet $\displaystyle \frac{a^{2}m}{p_1^{2}}$ , og at Slutsky-likningen dermed går opp.
b) Vis at substitusjonsleddet utgjør andelen $1-a$ av totaleffekten. Tolk resultatet.
c) Hva skjer med de to andelene når $a$ nærmer seg 1? Forklar økonomisk.
d) Hvorfor er det umulig å konstruere et Giffen-gode med denne nyttefunksjonen, uansett hvilke verdier parameterne har?

Feilregisteret for oppgave 1 — samlet

Alle feilene som koster poeng i denne oppgaven, i den rekkefølgen de dukker opp.

#1 — figur levert i stedet for utledning. Den dyreste. Sensorveiledningen for V2025 sier eksplisitt at figur alene ikke holder i optimeringsoppgaver. Regn først, tegn etterpå.

#2 — formelen gjentatt som «tolkning». «Marginal substitusjonsbrøk er lik prisforholdet» er formelen lest høyt. Tolkningen krever enheter og en forklaring av hvorfor likhet betyr at ingen byttegevinst gjenstår.

#3 — normalitet påstått uten derivasjon. Dokumentert i to veiledninger som sted der besvarelser mister poeng. Skriv $\partial c_1/\partial m = a/p_1 > 0$ .

Å stoppe før $\lambda$ er eliminert. Førsteordensbetingelsene hver for seg er ikke svaret. Del dem på hverandre.

Å glemme å begrunne budsjettlikheten. Én setning om monotoni, og poenget er hentet.

Å bruke $a$ som budsjettandel når eksponentene ikke summerer seg til 1. Sjekk summen først. Kontrollen er at $p_1c_1$ aldri kan overstige $m$ .

Å bruke Cobb-Douglas-formelen på en kvasi-lineær nyttefunksjon. Er marginalnytten av vare 2 konstant, bestemmes $c_1$ av prisforholdet alene, uten inntekt. Les funksjonsformen før du henter formelen.

Å legge den kompenserte linjen gjennom feil punkt. Den skal gå gjennom det gamle konsumpunktet $A$ . Kontroller at den gamle kurven koster nøyaktig $m^s$ til de nye prisene.

Å glemme fortegnsskiftet i kompensasjonen ved prisfall. Beløpet $(p_1' - p_1)c_1^A$ er negativt når prisen faller: penger skal trekkes inn.

Å legge normalitetsforbeholdet på substitusjonseffekten. Substitusjonseffektens fortegn følger av avslørte preferanser alene. Det er inntektseffekten som krever normalitet.

Å konkludere bestemt der svaret er ubestemt — og omvendt. «Null» er et presist resultat; «ubestemt» betyr at modellen ikke avgjør. Si alltid hvorfor.

Å tro at uendret mengde betyr uendret velferd. Når krysseffekten er null, er konsumenten likevel dårligere stilt: budsjettmengden krymper.

Å tegne kontantstøttelinjen parallelt med subsidielinjen. Den skal ha uforvridd helning, altså være parallell med den opprinnelige linjen.

#13 — å svare på noe annet enn det spurte i diskusjonshalen. Spør oppgaven hvem som rammes hardest, er svaret budsjettandel og substituerbarhet — ikke en generell betraktning om ulikhet. Land en konklusjon, og si hva som ville endret den.

Å hoppe over diskusjonshalen. Den teller like mye som utledningene, og den står oftest ubesvart. Sett av 10 minutter.

Selvdiagnose

Kryss av det du klarer uten å slå opp. Står noe åpent, gå tilbake til kapitlet i parentes.

☐ Jeg kan skrive opp maksimeringsproblemet og begrunne budsjettlikheten på under ett minutt (kap. 2.1)
☐ Jeg kan sette opp Lagrange-funksjonen og eliminere $\lambda$ uten å nøle (kap. 2.1)
☐ Jeg kan skrive tolkningen av tilpasningsbetingelsen med enheter, uten å gjenta formelen (kap. 2.1)
☐ Jeg kan forklare hvorfor et navngitt punkt på budsjettlinjen ikke er optimalt, og hvilken vei konsumenten bør flytte seg (kap. 2.1)
☐ Jeg kan utlede $c_1 = am/p_1$ fra begge funksjonsformer, med alle steg (kap. 2.2)
☐ Jeg sjekker alltid om eksponentene summerer seg til 1 før jeg bruker formelen (kap. 2.2)
☐ Jeg kan vise normalitet ved derivasjon og si hvorfor fortegnet gjelder i hele parameterrommet (kap. 2.2)
☐ Jeg kan forklare hvorfor $c_1$ ikke avhenger av $p_2$ , og hvorfor konsumenten likevel ikke er upåvirket (kap. 2.2)
☐ Jeg kan regne kompensasjonsbeløpet riktig, også når prisen faller (kap. 2.3)
☐ Jeg kan plassere de tre punktene $A$ , $B$ og $C$ og de tre linjene i figuren (kap. 2.3)
☐ Jeg vet at avslørte preferanser låser substitusjonseffekten, og at normalitet låser inntektseffekten (kap. 2.3)
☐ Jeg kan sammenlikne prissubsidie og kontantstøtte med samme utlegg, og forklare skjæring mot tangering (kap. 2.4)
☐ Jeg kan løse en kvasi-lineær variant og se at inntektseffekten er null (oppgave 9 over)
☐ Jeg kan svare på en diskusjonshale med budsjettandel, substituerbarhet og normalitet — og lande en konklusjon

Begrepsbank

Blokkene under er flashcard-/repetisjonsstoff — sammen med de åtte stegkortene i Del 1 utgjør de repetisjonspakken for oppgave 1.

Sensorens uttellingspunkter i oppgave 1

\lambda

Kontrollrutinen

p_1c_1 + p_2c_2 = m

Diskusjonshalens tre knagger

a

Diagnostiser funksjonsformen først

c_1^{a}c_2^{b}

Hvilket fortegn hviler på hva

Den enkeltopplysningen som oftest plasseres feil: - Substitusjonseffektens fortegn følger av avslørte preferanser alene. Ingen antakelse om normalitet, konveksitet eller funksjonsform. Aldri positiv for godet som ble dyrere. - Inntektseffektens fortegn følger av godets art : negativ ved prisøkning for normale goder, positiv for mindreverdige. - Totaleffektens fortegn er entydig negativt for normale goder, og ubestemt for mindreverdige. Sett forbeholdet på inntektseffekten, aldri på substitusjonseffekten. Å bytte om viser at mekanismen ikke sitter, og det er et av de tydeligste skillene mellom en middels og en god besvarelse.

Tidsdisiplin på oppgave 1

Eksamen er 240 minutter. Er oppgave 1 vektet 35 %, gir det 84 minutter; med fem deloppgaver som teller likt, blir det omtrent 17 minutter per deloppgave. Tre regler: a) Kommer du over 20 minutter på en deloppgave, gå videre. Den neste er verdt like mye. b) Sett av 10 minutter til diskusjonshalen. Den teller like mye som utledningene og står oftest ubesvart. c) Skriv kontrollene — de tar sekunder og er synlige poeng. Sensor regner med tidsnød selv hos de beste, og settene har utpekte skilleoppgaver. Å levere alle deloppgaver halvferdig slår å levere to perfekt og tre blanke.

Eksponentsjekken

c_1 = am/p_1

Figurkravene, i sjekklisteform

c_1

Tre ytterligheter i krysspriseffekten

c_1

Hva oppgave 1 faktisk spør om

Deloppgavene i V2023-V2025 følger et gjenkjennelig mønster: a) Sett opp og løs problemet, tolk betingelsen. (Sjanger A.) b) Utled etterspørselsfunksjonene. (Sjanger C.) c) Er godet normalt? Vis det. (Sjanger C.) d) Dekomponer en prisendring. (Sjanger D.) Eventuelt med figurspørsmål om ikke-optimale punkter. (Sjanger B.) e) Aktualisert drøfting. (Sjanger M, fra 2025.) Kjenner du dette mønsteret, kan du disponere tiden før du har lest hele oppgaven — og du vet hvilke steg som kommer, selv om formuleringene varierer.

Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Universitetet i Oslo. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.