9.4 Trigonometri i praksis | Matematikk 2P-Y

Bruk trigonometri til praktiske beregninger i bygg, anlegg og andre yrkesfag.

50 min

9 oppgaver

TrigonometriVinklerHøydemålingStigningsberegningPraktisk bruk

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 9 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

9.1Likninger i praksis

Ulikheter i arbeidslivet

I likninger finner vi en nøyaktig verdi. Men i mange situasjoner er det ikke én bestemt verdi som gjelder, men en grense eller et område.

- «Bilen tåler maks 500 kg last» → Last $\leq$ 500 kg
- «Temperaturen må være minst 60 °C» → $T \geq 60$
- «Budsjettet er under 50 000 kr» → Kostnad $< 50\,000$

Slike utsagn uttrykkes matematisk med ulikheter.

Ulikhetstegn

<

Symbol	Betydning
$<$	mindre enn (strengt)
$>$	større enn (strengt)
$\leq$	mindre enn eller lik
$\geq$	større enn eller lik

Løse lineære ulikheter

Vi løser ulikheter på nesten samme måte som likninger:
1. Vi kan legge til eller trekke fra samme tall på begge sider.
2. Vi kan gange eller dele med et positivt tall uten å endre ulikhetstegnet.
3. OBS! Når vi ganger eller deler med et negativt tall, må vi snu ulikhetstegnet.

Viktig regel

Når du ganger eller deler begge sider av en ulikhet med et negativt tall, må du snu ulikhetstegnet!

For eksempel:
$-2x > 6$
Del med $-2$ (negativt tall, snu tegnet):
$x < -3$

✏️Eksempel 1: Enkel ulikhet

En heis tåler maks 800 kg. Heisen veier 200 kg selv. Hvor mye last kan den ta?

Løsning:

La $x$ være lasten i kg. Total vekt må være høyst 800 kg:
$200 + x \leq 800$

Trekker fra 200:
$x \leq 600$

Heisen kan ta maks 600 kg last.

På talllinjen viser vi dette som alle verdier fra 0 til 600 (med fylte endepunkter).

✏️Eksempel 2: Ulikhet med budsjett

En tømrer har et materialbudsjett på 25 000 kr. Han har allerede brukt 8 400 kr. Han trenger planker som koster 350 kr per stk.

Hvor mange planker kan han kjøpe?

Løsning:

La $x$ være antall planker. Totalkosten må holde seg innenfor budsjettet:
$8\,400 + 350x \leq 25\,000$

Trekker fra 8 400:
$350x \leq 16\,600$

Deler på 350:
$x \leq 47{,}4$

Siden han kun kan kjøpe hele planker, kan han kjøpe maks 47 planker.

📊Utforsk: Budsjettulikhet grafisk

Blå graf: kostnaden $f(x) = 250x$ for $x$ enheter à 250 kr. Rød linje: budsjettet på 2000 kr. Skjæringspunktet viser at $250x \leq 2000$ gir $x \leq 8$ – du har råd til maks 8 enheter. Endre budsjettlinja og se hvordan grensen flytter seg.

Grafisk løsning

En ulikhet kan vises grafisk:

- På talllinjen: Marker området der løsningen gjelder. Bruk fylt prikk (●) for $\leq$ og $\geq$ , åpen prikk (○) for $<$ og $>$ .
- I koordinatsystemet: Tegn linjen og skyggelegg området som oppfyller ulikheten.

For eksempel vises $x \leq 47$ på talllinjen som en pil mot venstre fra 47, med fylt prikk i 47.

✏️Eksempel 3: Ulikhet med negativt tall

Temperaturen i et fryselager skal være under $-18$ °C. En termostat justerer temperaturen med $-2$ °C per knappetrykk fra starttemperatur $-10$ °C.

Etter $x$ knappetrykk er temperaturen $-10 - 2x$ . Hvor mange knappetrykk trengs for at temperaturen skal komme under $-18$ °C?

Løsning:

Temperaturen etter $x$ trykk: $-10 - 2x$

Kravet er at temperaturen skal være under $-18$ °C:
$-10 - 2x < -18$

Legger til 10 på begge sider:
$-2x < -8$

Deler på $-2$ (snur tegnet):
$x > 4$

Det trengs mer enn 4 knappetrykk, altså minst 5 trykk.

Kontroll: Etter 5 trykk: $-10 - 2 \cdot 5 = -20$ °C. Ja, $-20 < -18$ ✓

Du kan kontrollere en ulikhet ved å sette inn en verdi fra løsningsmengden og sjekke at den opprinnelige ulikheten stemmer. Prøv gjerne også en verdi som ikke er i løsningsmengden for å bekrefte at den ikke oppfyller ulikheten.

📝Oppgave 9.13

Løs ulikhetene:

a) $x + 12 > 30$
b) $3x \leq 45$
c) $2x - 8 \geq 20$

Løs $x + 12 > 30$

Løs $3x \leq 45$

Løs $2x - 8 \geq 20$

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 9.14

Løs ulikhetene (husk å snu tegnet ved divisjon med negativt tall):

a) $-x > 5$
b) $-4x \leq 24$
c) $10 - 3x < 1$

Løs $-x > 5$

Løs $-4x \leq 24$

Løs $10 - 3x < 1$

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 9.15

En lastebil har maks lastekapasitet 3 500 kg. Sjåføren har allerede lastet 1 200 kg med utstyr. Han skal laste paller som veier 280 kg per stk.

a) Sett opp en ulikhet for antall paller $x$ han kan laste.
b) Løs ulikheten.
c) Hvor mange hele paller kan han ta med?
d) Hvor mye ledig kapasitet er det da igjen?

Sett opp ulikheten

Løs ulikheten

Antall hele paller

Ledig kapasitet

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 9.16

En elektriker tilbyr to prismodeller:
- Modell A: Fast pris 1 800 kr + 480 kr per time
- Modell B: Ingen fast pris, men 720 kr per time

a) Sett opp uttrykk for kostnad med modell A og modell B som funksjon av antall timer $x$ .
b) For hvor mange timer er modell A billigere enn modell B? Sett opp og løs ulikheten.
c) Vis løsningen på en tallinje.
d) En kunde trenger 6 timer arbeid. Hvilken modell bør kunden velge, og hvor mye sparer kunden?

Sett opp uttrykkene

Finn når A er billigere

Vis på tallinje

6 timer: hvilket valg?

Løs oppgaven Tren

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Ulikheter løses med samme regler som likninger, med ett viktig unntak: Når du multipliserer eller dividerer med et negativt tall, må du snu ulikhetstegnet.
- Løsningen er et intervall av verdier, f.eks. $x < 7$ — ikke ett enkelt tall.
- Ulikheter brukes i praksis til budsjettgrenser («maks 2 000 kr»), lønnsomhetskrav («minst 60 enheter») og toleransekrav.

Nøkkelbegreper

Begrep	Forklaring
Ulikhet	Sammenligning med $<, >, \le, \ge$
Løsningsmengde	Alle verdier som oppfyller ulikheten
Å snu tegnet	Nødvendig ved ganging/deling med negativt tall

Viktige formler

-2x < 8 \Rightarrow x > -4

(tegnet snus)

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.