9.4 Trigonometri i praksis

Maks 800 kg

Du står foran vareheisen med en tralle full av flislim. På skiltet står det: «Maks totalvekt 800 kg». Ingen spør om lasten er nøyaktig ett bestemt antall kilo — spørsmålet er om den er innenfor grensen. Arbeidslivet er fullt av slike grenser: bilen tåler maks $500$ kg last, vannet i anlegget må holde minst $60$ °C, budsjettet skal være under $50\,000$ kr.

I likninger leter vi etter én nøyaktig verdi. Men grensene over handler ikke om ett tall — de handler om et helt område av tillatte verdier. Slike utsagn skriver vi med ulikheter. «Maks $500$ kg» blir last $\leq 500$. «Minst $60$ °C» blir $T \geq 60$. «Under $50\,000$ kr» blir kostnad $< 50\,000$.

Vi bruker fire ulikhetstegn: $<$ betyr «mindre enn» og $>$ «større enn» — begge strengt, altså uten at grensen selv er med. Tegnene $\leq$ og $\geq$ betyr «mindre enn eller lik» og «større enn eller lik» — der er grenseverdien tillatt. Forskjellen høres pirkete ut, men den avgjør om $800$ kg på heisskiltet er lov eller ett kilo for mye. I dette kapittelet lærer du å løse ulikheter og bruke dem på ekte grenser fra yrkeslivet.

Å løse ulikheter — nesten som likninger

Den gode nyheten først: ulikheter løses med nesten samme teknikk som likninger. Du kan legge til og trekke fra samme tall på begge sider, og du kan gange og dele med positive tall — uten at ulikhetstegnet endres.

Tilbake til vareheisen. Heisen tåler $800$ kg totalt, og den veier selv $200$ kg. Hvor mye last kan den ta? Vi lar $x$ være lasten og krever $200 + x \leq 800$. Trekker vi fra $200$ på begge sider, står vi igjen med $x \leq 600$. Svaret er ikke ett tall, men en hel løsningsmengde: alle laster opp til og med $600$ kg er trygge.

Et eksempel til, fra økonomisiden. En tømrer har materialbudsjett på $25\,000$ kr og har allerede brukt $8\,400$ kr. Plankene han trenger, koster $350$ kr per stykk — hvor mange kan han kjøpe? Kravet er $8\,400 + 350x \leq 25\,000$. Vi trekker fra $8\,400$: $350x \leq 16\,600$. Så deler vi på $350$: $x \leq 47{,}4$. Men ingen selger $0{,}4$ planke! Siden $x$ må være et helt antall, blir svaret maks $47$ planker. Legg merke til avrundingen: vi runder ned, selv om $47{,}4$ er nærmere $47$ enn $48$ — for $48$ planker ville sprengt budsjettet. I praktiske ulikheter må svaret alltid tolkes i situasjonen: hele planker, hele personer, hele turer.

Tallinja — og regelen som snur alt

En løsningsmengde som $x \leq 47$ kan tegnes på tallinja: en fylt prikk (●) på $47$ og en pil mot venstre, som viser at alle verdier til og med $47$ er med. Den fylte prikken hører til $\leq$ og $\geq$, der grensen selv er inkludert. Ved strenge ulikheter, $<$ og $>$, bruker vi åpen prikk (○) — grensen er da ikke med. I koordinatsystemet gjør vi tilsvarende: tegner linjen og skyggelegger området som oppfyller ulikheten.

Så til regelen som skiller ulikheter fra likninger — den eneste, men den er viktig: når du ganger eller deler med et negativt tall, må du snu ulikhetstegnet. Hvorfor? Se på $2 < 5$, som åpenbart er sant. Ganger du begge sider med $-1$, får du $-2$ og $-5$ — og nå er det $-2$ som er størst. Fortegnsskiftet speiler tallene om null, så «mindre enn» blir «større enn».

La oss bruke regelen på et fryselager. Temperaturen skal under $-18$ °C. Termostaten starter på $-10$ °C og senker temperaturen $2$ grader per knappetrykk, så etter $x$ trykk er temperaturen $-10 - 2x$. Kravet blir $-10 - 2x < -18$. Vi legger til $10$ på begge sider: $-2x < -8$. Så deler vi på $-2$ — og snur tegnet: $x > 4$. Det trengs altså mer enn fire trykk, det vil si minst $5$.

Kontrollen er enkel og lur: etter $5$ trykk er temperaturen $-10 - 2 \cdot 5 = -20$ °C, og $-20 < -18$ stemmer. Test gjerne også en verdi utenfor løsningsmengden — etter $4$ trykk er det $-18$ °C, som ikke er under grensen. Da vet du at både svaret og tegnet ditt er riktig.

Oppsummering: trygt innenfor grensene

Trallen kom trygt opp med heisen — fordi du regnet på grensen i stedet for å gjette. Det er ulikhetenes styrke: de beskriver alle situasjoner der svaret ikke er ett tall, men et tillatt område.

Du behersker nå de fire tegnene: $<$ og $>$ for strenge grenser, $\leq$ og $\geq$ når grenseverdien selv er tillatt. Ulikheter løses med samme teknikk som likninger — legg til, trekk fra, gang og del på begge sider — med ett avgjørende unntak: ganger eller deler du med et negativt tall, snur du ulikhetstegnet, slik fryselager-regnestykket $-2x < -8 \Rightarrow x > 4$ viste.

Løsningen er en løsningsmengde som kan vises på tallinja: fylt prikk når grensen er med ($\leq$, $\geq$), åpen prikk når den ikke er det ($<$, $>$), og pil eller skyggelegging over området som gjelder. Og i praktiske oppgaver tolker du svaret i situasjonen: $x \leq 47{,}4$ planker betyr $47$ hele planker — rund ned når grensen ikke må sprenges.

Kontrollvanen tar du med videre: sett inn én verdi fra løsningsmengden og én utenfor, og sjekk at ulikheten skiller riktig mellom dem. Da vet du at både heislasten, budsjettet og fryselageret er på trygg side — matematisk garantert.