10.1 Sparing og renters rente | Matematikk 2P-Y

Lær om vekstfaktor, renters rente og sammenligning av spareformer.

50 min

9 oppgaver

VekstfaktorRenters renteSparingSammenligning

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 9 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

1.1Privatøkonomi og budsjett

Sparing over tid

Når du sparer penger, får du rente. Neste år får du rente på både det opprinnelige beløpet og den opptjente renten. Dette kalles renters rente -- pengene vokser raskere og raskere over tid.

For å forstå dette bruker vi vekstfaktor.

Vekstfaktor

1 + 0{,}03 = 1{,}03

Renters rente

K = K_0 \cdot (1 + r)^n

Der: - $K$ = Sluttverdi (beløp etter $n$ perioder) - $K_0$ = Startbeløp - $r$ = Rentesats per periode (som desimaltall) - $n$ = Antall perioder

✏️Eksempel 1: Sparekonto

Marte setter 50 000 kr inn på en sparekonto med 4 % årlig rente.

a) Hvor mye har hun etter 1 år?
b) Hvor mye har hun etter 5 år?
c) Hvor mye av sluttbeløpet er renter?

Løsning:

Vekstfaktor: $1 + 0{,}04 = 1{,}04$

a) Etter 1 år:
$K = 50\,000 \cdot 1{,}04 = 52\,000 \text{ kr}$

b) Etter 5 år:
$K = 50\,000 \cdot 1{,}04^5 = 50\,000 \cdot 1{,}2167 = 60\,833 \text{ kr}$

c) Renter: $60\,833 - 50\,000 = 10\,833$ kr

Til sammenligning: Med enkel rente (uten rentes rente) hadde hun fått:
$50\,000 + 50\,000 \cdot 0{,}04 \cdot 5 = 60\,000$ kr

Renters rente ga henne 833 kr ekstra.

Gjør dette i GeoGebra

Utforsk: Renters rente på sparekonto

Grafen viser 15 000 kr på sparekonto med 3,5 % rente:

f(x) = 15\,000 \cdot 1{,}035^x

. Punktet viser saldoen etter 10 år. Se at kurven blir brattere over tid – renten beregnes av et stadig større beløp. Prøv å endre renten og se effekten.

Skriv inn én linje om gangen i inntastingsfeltet:

f(x) = 15000 * 1.035^x
A = (10, f(10))

Med språket satt til norsk forstår GeoGebra kommandonavnene både på norsk og engelsk.

Åpne GeoGebra

✏️Eksempel 2: Sammenligne spareformer

Erik har 100 000 kr og vurderer to spareformer:
- Sparekonto: 3,5 % årlig rente
- Aksjesparekonto: Forventet 7 % årlig avkastning

Sammenlign verdien etter 10 år.

Løsning:

Sparekonto:
$K = 100\,000 \cdot 1{,}035^{10} = 100\,000 \cdot 1{,}4106 = 141\,060 \text{ kr}$

Aksjesparekonto:
$K = 100\,000 \cdot 1{,}07^{10} = 100\,000 \cdot 1{,}9672 = 196\,720 \text{ kr}$

Forskjell: $196\,720 - 141\,060 = 55\,660$ kr

Aksjesparekontoen gir vesentlig mer over 10 år, men har også høyere risiko.

For å regne $1{,}04^5$ på kalkulator:

1. Skriv 1,04
2. Trykk $x^y$ (eller ^)
3. Skriv 5
4. Trykk =

I Excel eller Google Sheets: skriv *=500001,04^5** i en celle.

📝Oppgave 10.1

Lise setter 30 000 kr inn på en sparekonto med 3 % årlig rente.

a) Hva er vekstfaktoren?
b) Hvor mye har hun etter 1 år?
c) Hvor mye har hun etter 3 år?
d) Hvor mye renter har hun tjent etter 3 år?

Vekstfaktor

Etter 1 år

Etter 3 år

Renter etter 3 år

Løs oppgaven

📝Oppgave 10.2

Knut har arvet 200 000 kr og vurderer to alternativer:
- Høyrentekonto: 4,5 % årlig rente
- Fondssparing: Forventet 8 % årlig avkastning

a) Hva blir verdien av høyrentekontoen etter 10 år?
b) Hva blir den forventede verdien av fondet etter 10 år?
c) Hva er forskjellen mellom de to alternativene?
d) Hva er den prosentvise økningen for hvert alternativ over 10 år?

Høyrentekonto 10 år

Fond 10 år

Forskjell

Prosentvis økning

Løs oppgaven

📝Oppgave 10.3

Sofie sparer 2 000 kr i måneden. I stedet for renters rente skal vi beregne med enkel tilnærming:

Etter 1 år har hun satt inn $2\,000 \cdot 12 = 24\,000$ kr. Kontoen gir 4 % rente per år.

a) Hvor mye setter hun inn totalt over 3 år?
b) Med en forenklet beregning: Sett innskudd × vekstfaktor i snitt for 3 år. (Bruk gjennomsnittlig innskuddstid = 1,5 år.) Hva blir sluttbeløpet?
c) Hvor mye av sluttbeløpet er renter?
d) Sofie vil ha 100 000 kr. Omtrent hvor mange år tar det? (Prøv deg fram.)

Totalt innskudd over 3 år

Sluttbeløp

Renter

Tid til 100 000 kr

Løs oppgaven

📝Oppgave 10.4

En bruktbil koster 150 000 kr og synker 12 % i verdi hvert år.

a) Hva er vekstfaktoren for verdinedgangen?
b) Hva er bilens verdi etter 3 år?
c) Etter hvor mange år er bilen verdt under 50 000 kr?
d) Hvor mye har bilen falt i verdi totalt etter 5 år?

Vekstfaktor

Verdi etter 3 år

Under 50 000 kr

Verdifall etter 5 år

Løs oppgaven

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Renters rente: Renten legges til kapitalen hvert år, så neste års rente regnes av et større beløp.
- Sluttverdi: $\displaystyle S = K \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n$ etter $n$ år med $p\,\%$ rente.
- Forskjell fra enkel rente: Med enkel rente får du samme rentebeløp hvert år; med renters rente vokser beløpet eksponentielt.
- Regn baklengs: Startbeløpet er $K = \dfrac{S}{\text{vekstfaktor}^n}$ .

Nøkkelbegreper

Begrep	Forklaring
Renters rente	Rente på både innskudd og tidligere rente
Vekstfaktor	$\displaystyle 1 + \frac{p}{100}$
Sluttverdi	Beløpet på kontoen etter spareperioden

Viktige formler

\displaystyle S = K \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.