10.1 Sparing og renters rente

Den første lærlinglønna

Marte har nettopp fått sin første lærlinglønn og bestemmer seg for noe få angrer på: hun setter $50\,000$ kr inn på en sparekonto med $4\,\%$ årlig rente. «Da får jeg vel $2\,000$ kr i året,» tenker hun. Det stemmer — det første året. Men så skjer det noe interessant.

Neste år får hun nemlig rente ikke bare av de opprinnelige $50\,000$ kronene, men også av de $2\,000$ kronene i rente fra året før. Renten begynner å tjene sin egen rente. Dette kalles renters rente, og det er grunnen til at sparepenger ikke vokser jevnt, men raskere og raskere for hvert år som går. Over få år er effekten beskjeden — over mange år er den enorm. Det er derfor folk sier at den beste spareavtalen er den du starter tidlig.

For å regne på dette trenger vi ett verktøy: vekstfaktoren. Med den kan vi hoppe rett til svaret på spørsmål som «hvor mye har Marte etter fem år?» uten å regne år for år. I dette kapittelet følger vi pengene hennes — og sammenligner til slutt sparekonto med aksjesparing for å se hva tid og rentesats faktisk betyr.

Vekstfaktoren — ett tall som gjør hele jobben

Vekstfaktoren er tallet du ganger med for å komme fra ett år til det neste. Ved $4\,\%$ rente beholder du hele beløpet ($100\,\%$) og får $4\,\%$ ekstra — til sammen $104\,\%$ av det du startet med. Som desimaltall: $1 + 0{,}04 = 1{,}04$. Generelt er vekstfaktoren $\displaystyle 1 + \frac{p}{100}$, der $p$ er prosenten. Renter på $3\,\%$ gir faktor $1{,}03$, og en nedgang på $10\,\%$ gir faktor $1 - 0{,}10 = 0{,}90$ — samme verktøy fungerer begge veier.

Etter ett år har Marte $50\,000 \cdot 1{,}04 = 52\,000$ kr. Etter to år ganger vi med $1{,}04$ en gang til, og her er det smarte: i stedet for å gange år for år, bruker vi potenser. Etter $n$ år er beløpet startkapitalen ganget med vekstfaktoren $n$ ganger: $K \cdot 1{,}04^n$.

Etter fem år har Marte dermed $50\,000 \cdot 1{,}04^5 = 50\,000 \cdot 1{,}2167 \approx 60\,833$ kr. Av dette er $60\,833 - 50\,000 = 10\,833$ kr renter. (På kalkulatoren: skriv $1{,}04$, trykk potensknappen $x^y$ eller ^, skriv $5$ og trykk $=$. I regneark: =50000*1,04^5.)

Hva om banken bare hadde gitt enkel rente — altså $4\,\%$ av startbeløpet hvert år, uten rente på renten? Da hadde hun fått $50\,000 \cdot 0{,}04 \cdot 5 = 10\,000$ kr i rente, totalt $60\,000$ kr. Renters rente ga henne $833$ kr ekstra på fem år. Lite? Vent til vi strekker tidslinjen i neste seksjon.

Spareformer i konkurranse — og kunsten å regne baklengs

Martes kollega Erik har spart lenger og sitter med $100\,000$ kr. Han vurderer to alternativer: en sparekonto med $3{,}5\,\%$ sikker årlig rente, eller en aksjesparekonto med forventet $7\,\%$ årlig avkastning. Hva betyr forskjellen over ti år?

Sparekontoen: $100\,000 \cdot 1{,}035^{10} = 100\,000 \cdot 1{,}4106 \approx 141\,060$ kr. Aksjesparekontoen: $100\,000 \cdot 1{,}07^{10} = 100\,000 \cdot 1{,}9672 \approx 196\,720$ kr. Forskjellen er hele $55\,660$ kr — dobbelt så høy rentesats ga ikke dobbelt så mye vekst, men nesten fire ganger så stor gevinst. Slik virker eksponentiell vekst: små forskjeller i prosent blir store forskjeller i kroner når tiden får jobbe.

Men det følger en advarsel med regnestykket: de $7$ prosentene er bare forventet. Aksjemarkedet svinger, og enkeltår kan gå i minus. Sparekontoen gir mindre, men sikkert. Valget mellom dem er ikke matematikk alene — det er også et spørsmål om hvor mye risiko du tåler, og hvor lenge pengene kan stå.

Til slutt et triks du får bruk for: å regne baklengs. Sett at du vil ha $121\,000$ kr om to år, og kontoen gir $10\,\%$ rente. Hvor mye må du sette inn i dag? Sluttbeløpet er startbeløpet ganget med $1{,}10^2 = 1{,}21$, så vi deler i stedet: $\displaystyle K = \frac{121\,000}{1{,}21} = 100\,000$ kr. Generelt: startbeløp $\displaystyle = \frac{\text{sluttbeløp}}{\text{vekstfaktor}^n}$. Samme formel, bare snudd — akkurat som med formlene i kapittel 9.

Oppsummering: tiden er sparerens beste venn

Martes $50\,000$ kr vokste til $60\,833$ kr på fem år, og Eriks regnestykke viste at ti år med høyere rente kan utgjøre over $55\,000$ kr i forskjell. Bak begge fortellingene ligger det samme verktøyet.

Vekstfaktoren $\displaystyle 1 + \frac{p}{100}$ er tallet du ganger med per periode: $1{,}04$ for $4\,\%$ økning, $0{,}90$ for $10\,\%$ nedgang. Renters rente betyr at renten legges til kapitalen, slik at neste års rente regnes av et større beløp — derfor blir sluttverdien etter $n$ år $\displaystyle S = K \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n$, en eksponentiell vekst som drar fra den enkle renten mer og mer for hvert år.

Du kan også snu formelen og regne baklengs: startbeløpet som trengs, er $\displaystyle K = \frac{S}{\text{vekstfaktor}^n}$ — nyttig når sparemålet er kjent og spørsmålet er hva du må sette inn i dag.

Og når spareformer skal sammenlignes, gjør du som Erik: regn ut begge alternativene over samme tidsrom, og husk at høyere forventet avkastning kommer med høyere risiko. Matematikkens bidrag er å vise nøyaktig hva prosentene og årene betyr i kroner — så er det du som tar valget. Det viktigste valget er uansett gratis: å begynne tidlig.