7.6 Derivasjon av polynomfunksjoner | Matematikk 1T

Derivasjonsregler for polynomfunksjoner: potensregelen, konstantregelen og sumregelen.

45 min

9 oppgaver

PotensregelenKonstantregelenSumregelenPolynomderivering

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 9 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

7.3Den deriverte

Brukes videre i

7.7Praktisk bruk av derivasjon

Derivasjonsregler for polynomer

I kapittel 7.3 introduserte vi potensregelen. Nå skal vi se nærmere på alle reglene vi trenger for å derivere polynomfunksjoner effektivt.

Et polynom er en sum av potenser av $x$ med koeffisienter:
$f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0$

Potensregelen

f(x) = x^n \quad \Rightarrow \quad f'(x) = n \cdot x^{n-1}

Flytt eksponenten ned som koeffisient og reduser eksponenten med 1.

Konstantregelen

f(x) = c \quad \Rightarrow \quad f'(x) = 0

Den deriverte av en konstant er alltid 0.

Konstantmultiplikasjon

(c \cdot f(x))' = c \cdot f'(x)

Konstanter kan flyttes utenfor derivasjonen.

Sumregelen

(f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)

Derivasjon av en sum er summen av de deriverte.

✏️Eksempel 1: Derivere polynomer

Deriver:
a) $f(x) = 5x^4$
b) $f(x) = x^3 + x^2 - 7x + 3$
c) $\displaystyle f(x) = 2x^5 - \frac{1}{2}x^4 + 3x$

Løsning:

a) $f(x) = 5x^4$

Konstantmultiplikasjon + potensregel:
$f'(x) = 5 \cdot 4x^{4-1} = 20x^3$

b) $f(x) = x^3 + x^2 - 7x + 3$

Vi deriverer ledd for ledd (sumregelen):
$f'(x) = 3x^2 + 2x - 7$

c) $\displaystyle f(x) = 2x^5 - \frac{1}{2}x^4 + 3x$

$f'(x) = 2 \cdot 5x^4 - \frac{1}{2} \cdot 4x^3 + 3 = 10x^4 - 2x^3 + 3$

Svar: a) $f'(x) = 20x^3$ b) $f'(x) = 3x^2 + 2x - 7$ c) $f'(x) = 10x^4 - 2x^3 + 3$

📝Oppgave 7.6.1

Deriver funksjonene:

f(x) = 4x^3

f(x) = -2x^5

\displaystyle f(x) = \frac{1}{3}x^6

f(x) = x^2 + 5x - 1

f(x) = 3x^4 - 2x^3 + x

f(x) = -x^3 + 4x^2 - 6

Løs oppgaven

Fordypning: Negative og brøkeksponenter

Utvidelse: 1T-eksamen spør vanligvis bare om polynomer.

Potensregelen fungerer også for negative eksponenter og brøk-eksponenter:

$f(x) = x^{-2} = \frac{1}{x^2} \quad \Rightarrow \quad f'(x) = -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3}$

$f(x) = x^{1/2} = \sqrt{x} \quad \Rightarrow \quad f'(x) = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

✏️Eksempel 2: Negative eksponenter (fordypning)

Deriver:
a) $\displaystyle f(x) = \frac{3}{x^2}$
b) $\displaystyle f(x) = \frac{1}{x} + 2x$

Løsning:

a) Vi skriver om til potensform: $f(x) = 3x^{-2}$
$f'(x) = 3 \cdot (-2) \cdot x^{-3} = -6x^{-3} = -\frac{6}{x^3}$

b) Vi skriver om: $f(x) = x^{-1} + 2x$
$f'(x) = -1 \cdot x^{-2} + 2 = -\frac{1}{x^2} + 2$

Svar: a) $\displaystyle f'(x) = -\frac{6}{x^3}$ b) $\displaystyle f'(x) = -\frac{1}{x^2} + 2$

📝Oppgave 7.6.2

Fordypning. Skriv om til potensform og deriver:

\displaystyle f(x) = \frac{5}{x^3}

\displaystyle f(x) = \frac{2}{x} - \frac{1}{x^2}

\displaystyle f(x) = x^2 + \frac{4}{x}

Løs oppgaven

Dobbeltderiverte

Vi kan derivere den deriverte for å få den dobbeltderiverte, som skrives $f''(x)$ (leses "f tostreket av x").

$f(x) \xrightarrow{\text{deriverer}} f'(x) \xrightarrow{\text{deriverer igjen}} f''(x)$

Dobbeltderiverte brukes blant annet til å avgjøre om et punkt er et maksimum eller minimum.

✏️Eksempel 3: Finne dobbeltderiverte

La $f(x) = x^4 - 3x^2 + 2x$ . Finn $f'(x)$ og $f''(x)$ .

Løsning:

Først finner vi $f'(x)$ :
$f'(x) = 4x^3 - 6x + 2$

Så deriverer vi $f'(x)$ for å finne $f''(x)$ :
$f''(x) = 12x^2 - 6$

Svar: $f'(x) = 4x^3 - 6x + 2$ og $f''(x) = 12x^2 - 6$

📝Oppgave 7.6.3

Finn $f'(x)$ og $f''(x)$ :

f(x) = x^3 - 2x

f(x) = 2x^4 + x^2 - 5

f(x) = -x^5 + 3x^3

✏️Eksempel 4: Beregne derivert i et punkt

La $f(x) = x^3 - 2x^2 + x$ . Finn $f'(2)$ og $f''(2)$ .

f'(x) = 3x^2 - 4x + 1

$f'(2) = 3 \cdot 2^2 - 4 \cdot 2 + 1 = 12 - 8 + 1 = 5$

$f''(x) = 6x - 4$

$f''(2) = 6 \cdot 2 - 4 = 12 - 4 = 8$

Svar: $f'(2) = 5$ og $f''(2) = 8$

📝Oppgave 7.6.4

Finn verdien av den deriverte i det gitte punktet:

f(x) = x^4 - 2x^3

. Finn

f'(1)

f''(1)

\displaystyle f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x^2 + x

. Finn

f'(3)

f''(3)

Fra den deriverte tilbake til funksjonen

Noen ganger kjenner vi $f'(x)$ og ett punkt på grafen, og skal finne $f(x)$ . Vi gjetter en funksjon som har den gitte deriverte, og kontrollerer ved å derivere.

Et konstantledd forsvinner ved derivasjon. Derfor har alle funksjonene $x^2$ , $x^2 + 1$ og $x^2 - 7$ den samme deriverte $2x$ . Vi skriver $f(x) = x^2 + C$ , der $C$ er en konstant. Det kjente punktet bestemmer $C$ .

✏️Eksempel 5: Finn funksjonen fra den deriverte

Vi vet at $f'(x) = 3x^2 - 4$ og at $f(1) = 2$ . Finn $f(x)$ .

(x^3)' = 3x^2

(4x)' = 4

, så vi gjetter

$f(x) = x^3 - 4x + C$

$f(1) = 1^3 - 4 \cdot 1 + C = C - 3$

$C - 3 = 2$

$C = 5$

Svar: $f(x) = x^3 - 4x + 5$

Kontroll: $f'(x) = 3x^2 - 4$ og $f(1) = 1 - 4 + 5 = 2$ .

📝Oppgave 7.6.5

Finn $f(x)$ .

f'(x) = 2x + 3

f(0) = 1

f'(x) = 6x^2 - 2x

f(1) = 4

Løs oppgaven

📝Oppgave 7.6.6

Grafen til $f$ går gjennom punktet $(2, 1)$ , og $f'(x) = 3x^2 - 6x$ .

Finn $f(x)$ .

Finn likningen for tangenten til grafen i punktet der $x = 3$ .

Løs oppgaven

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Potensregelen: $(x^n)' = nx^{n-1}$ — gjelder også for negative eksponenter og brøkeksponenter (fordypning)
- Konstantregelen: $(c)' = 0$
- Konstantmultiplikasjon: $(k \cdot f(x))' = k \cdot f'(x)$
- Sumregelen: $(f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)$ — deriver ledd for ledd
- Dobbeltderiverte: $f''(x)$ er den deriverte av $f'(x)$
- Fra $f'$ til $f$ : gjett en funksjon med den gitte deriverte, legg til $C$ og bruk et kjent punkt

Nøkkelbegreper

Begrep	Forklaring
Potensregelen	$(x^n)' = nx^{n-1}$
Sumregelen	Deriver hvert ledd for seg
Dobbeltderiverte	Den deriverte av den deriverte

Viktige omskrivinger

\displaystyle \frac{1}{x} = x^{-1}

\displaystyle \frac{1}{x^2} = x^{-2}

\sqrt{x} = x^{1/2}

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.