7.7 Praktisk bruk av derivasjon | Matematikk 1T

Bruk derivasjon til å løse praktiske problemer med optimering, fart og akselerasjon.

55 min

9 oppgaver

OptimeringFart og akselerasjonMaksimum og minimumPraktiske problemer

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 9 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

7.6Derivasjon av polynomfunksjoner

Praktiske anvendelser av derivasjon

Derivasjon har mange praktiske bruksområder:
- Optimering: Finne maksimum og minimum (f.eks. maksimal profitt, minste kostnad)
- Fart og akselerasjon: Analysere bevegelse
- Vekstrater: Beskrive hvordan ting endrer seg over tid

I dette kapittelet ser vi på hvordan vi bruker derivasjon til å løse slike problemer.

Topp-, bunn- og terrassepunkt

Vi har sett at $f'(x) = 0$ i punkter der grafen har vannrett tangent. Dette er kandidater for toppunkt, bunnpunkt eller terrassepunkt.

Fremgangsmåte:
- Finn $f'(x)$
- Løs $f'(x) = 0$
- Lag fortegnslinje for $f'(x)$ (eller bruk den dobbeltderiverte) for å avgjøre hva slags punkt det er

Topp- og bunnpunkt

f'(a) = 0

✏️Eksempel 1: Finne ekstremalpunkt

Finn eventuelle topp- og bunnpunkt for $f(x) = x^3 - 3x$ .

f'(x) = 3x^2 - 3

$3x^2 - 3 = 0$

$x^2 = 1$

$x = -1 \quad \vee \quad x = 1$

$f''(x) = 6x$

$f''(-1) = -6 < 0 \quad \Rightarrow \quad \text{toppunkt}$

$f''(1) = 6 > 0 \quad \Rightarrow \quad \text{bunnpunkt}$

$f(-1) = (-1)^3 - 3 \cdot (-1) = -1 + 3 = 2$

$f(1) = 1^3 - 3 \cdot 1 = 1 - 3 = -2$

Svar: Toppunkt $(-1, 2)$ og bunnpunkt $(1, -2)$ .

📝Oppgave 7.7.1

Finn topp- og/eller bunnpunkt for funksjonene:

f(x) = x^2 - 4x + 3

f(x) = -x^2 + 6x - 5

f(x) = x^3 - 12x

✏️Eksempel 2: Terrassepunkt

Undersøk om grafen til $f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x$ har topp-, bunn- eller terrassepunkter.

f'(x) = 3x^2 - 6x + 3

$f'(x) = 3(x^2 - 2x + 1) = 3(x - 1)^2$

$3(x - 1)^2 = 0$

$x = 1$

$x$	$1$
$(x - 1)^2$	$+$	$0$	$+$
$f'(x)$	$+$	$0$	$+$
$f(x)$	stiger	$1$	stiger

f(1) = 1 - 3 + 3 = 1

f'(x) > 0

på begge sider av

x = 1

, så grafen stiger både før og etter punktet.
Svar: Grafen har et terrassepunkt i

(1, 1)

og ingen topp- eller bunnpunkter.
Kontroll:

f''(x) = 6x - 6

gir

f''(1) = 0

, så den dobbeltderiverte avgjør ikke typen her. Fortegnslinja gjør det.

📝Oppgave 7.7.2

Figuren viser grafen til den deriverte $f'$ for en funksjon $f$ .

Grafen til den deriverte f' for x fra −3 til 2,5. Den er negativ til venstre for x = −2, krysser x-aksen i x = −2, når en topp i (−1, 2), synker ned og berører x-aksen i x = 1, og stiger deretter.

Les av nullpunktene til $f'$ og lag fortegnslinje for $f'(x)$ .

Hvor har grafen til $f$ toppunkt, bunnpunkt og terrassepunkt?

Skisser en mulig graf for $f$ .

Optimeringsproblemer

Mange praktiske problemer handler om å finne den beste løsningen – den som gir størst profitt, minst avfall, kortest tid, osv.

Fremgangsmåte for optimering:
1. Les problemet nøye og identifiser hva som skal maksimeres/minimeres
2. Sett opp en funksjon som beskriver dette
3. Finn $f'(x) = 0$ og løs for $x$
4. Sjekk om løsningen gir maksimum eller minimum
5. Kontroller at løsningen er innenfor eventuelle begrensninger

✏️Eksempel 3: Optimeringsproblem

En bonde skal lage et rektangulært innhegnet område ved en elv. Han har 100 meter gjerde og trenger ikke gjerde langs elven.

Hva er de optimale dimensjonene for å få størst mulig areal?

Løsning:

La $x$ være lengden på sidene vinkelrett på elven, og $y$ være lengden parallelt med elven.

Begrensning (gjerdelengde):
$2x + y = 100 \quad \Rightarrow \quad y = 100 - 2x$

Areal som skal maksimeres:
$A(x) = x \cdot y = x(100 - 2x) = 100x - 2x^2$

Finn maksimum:
$A'(x) = 100 - 4x = 0$
$4x = 100$
$x = 25$

Da er $y = 100 - 2(25) = 50$ .

Kontroll: $A''(x) = -4 < 0$ , så dette er et maksimum.

Svar: Sidene vinkelrett på elven skal være 25 m, og siden langs elven 50 m. Arealet blir $25 \cdot 50 = 1250 \text{ m}^2$ .

📝Oppgave 7.7.3

Løs optimeringsproblemene:

Summen av to positive tall er 20. Finn tallene slik at produktet blir størst mulig.

En ball kastes opp. Høyden er $h(t) = -5t^2 + 30t + 2$ meter. Finn maksimal høyde.

Løs oppgaven

Fart og akselerasjon

Hvis $s(t)$ beskriver posisjonen til et objekt som funksjon av tid $t$ , så er:
- Fart (hastighet): $v(t) = s'(t)$ (deriverte av posisjon)
- Akselerasjon: $a(t) = v'(t) = s''(t)$ (deriverte av fart)

Posisjon, fart og akselerasjon

s(t)

Størrelse	Symbol	Sammenheng
Posisjon	$s(t)$	Gitt funksjon
Fart	$v(t)$	$v(t) = s'(t)$
Akselerasjon	$a(t)$	$a(t) = s''(t)$

✏️Eksempel 4: Bevegelse

En partikkel beveger seg langs en linje. Posisjonen er gitt ved:

s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t

der

s

er i meter og

t

er i sekunder.

a) Finn farten $v(t)$
b) Finn akselerasjonen $a(t)$
c) Når er partikkelen i ro?
d) Når beveger partikkelen seg mot høyre?

Løsning:

a) Fart:
$v(t) = s'(t) = 3t^2 - 12t + 9$

b) Akselerasjon:
$a(t) = v'(t) = 6t - 12$

c) I ro når $v(t) = 0$ :
$3t^2 - 12t + 9 = 0$
$t^2 - 4t + 3 = 0$
$(t-1)(t-3) = 0$
$t = 1 \text{ s eller } t = 3 \text{ s}$

d) Mot høyre når $v(t) > 0$ :
$v(t) = 3(t-1)(t-3)$

Fra fortegnsanalyse: $v(t) > 0$ når $t < 1$ eller $t > 3$ .

Svar: a) $v(t) = 3t^2 - 12t + 9$ b) $a(t) = 6t - 12$ c) $t = 1$ s og $t = 3$ s d) når $t < 1$ s og når $t > 3$ s

📝Oppgave 7.7.4

En ball kastes rett opp. Høyden (i meter) etter $t$ sekunder er $h(t) = -5t^2 + 20t + 1$ .

Finn farten (den deriverte) som funksjon av $t$

Hva er starthastigheten (farten når $t = 0$ )?

Når er ballen på vei ned (negativ fart)?

Hva er akselerasjonen?

Løs oppgaven

✏️Eksempel 5: Profittmaksimering

En bedrift produserer en vare. Profittfunksjonen (i kroner) er gitt ved:

P(x) = -x^2 + 40x - 300

der

x

er antall enheter produsert per dag.

Hvor mange enheter bør bedriften produsere for å maksimere profitten?

P'(x) = -2x + 40

$-2x + 40 = 0$

$x = 20$

$P''(x) = -2 < 0 \quad \Rightarrow \quad \text{toppunkt}$

$\begin{aligned} P(20) &= -20^2 + 40 \cdot 20 - 300 \\ &= -400 + 800 - 300 \\ &= 100 \end{aligned}$

Svar: Bedriften bør produsere 20 enheter per dag. Da blir profitten 100 kr, som er den største mulige.

📝Oppgave 7.7.5

Løs optimeringsproblemene ved hjelp av derivasjon:

Et rektangel har omkrets 24 cm. Finn sidelengdene som gir størst areal.

Profittfunksjonen til en bedrift er $P(x) = -2x^2 + 100x - 800$ kr, der $x$ er antall solgte enheter. Finn antall enheter som gir maksimal profitt.

Løs oppgaven

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært å bruke derivasjon i praksis:

- Ekstremalpunkter: Løs $f'(x) = 0$ og lag fortegnslinje for å finne topp-, bunn- og terrassepunkter
- Optimering: Sett opp en funksjon for det som skal maksimeres/minimeres, deriver, og løs $f'(x) = 0$
- Fart og akselerasjon: Hvis $s(t)$ er posisjonen, er $v(t) = s'(t)$ farten og $a(t) = v'(t)$ akselerasjonen
- Økonomi: Den deriverte av overskuddsfunksjonen forteller hvor overskuddet er størst

Nøkkelbegreper

Begrep	Forklaring
Ekstremalpunkt	Punkt der $f'(x) = 0$ og fortegnet skifter
Optimering	Å finne størst eller minst mulig verdi
Fart	$v(t) = s'(t)$
Akselerasjon	$a(t) = v'(t) = s''(t)$

Strategi for optimeringsoppgaver

1. Sett opp funksjonen som skal optimeres
2. Deriver og løs

f'(x) = 0

3. Kontroller at det er et maksimum/minimum, og svar på spørsmålet

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.