7.6 Derivasjon av polynomfunksjoner

Verktøykassen for derivasjon

I de foregående kapitlene har vi møtt derivasjonsreglene litt etter litt. Nå er det tid for å samle dem og bruke dem systematisk på polynomfunksjoner – den store familien av funksjoner som er bygget opp av potenser av $x$ med koeffisienter.

Et polynom ser generelt slik ut: $f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0$. For eksempel er $3x^4 - 2x^3 + x - 7$ et polynom av grad 4. I dette kapittelet skal vi bli eksperter på å derivere slike funksjoner – raskt og sikkert. Vi skal også se på negative og brøk-eksponenter, og lære om andrederiverte.

Reglene samlet – potens, konstant, sum

La oss starte med å ha alle reglene klart for oss. Potensregelen sier at $f(x) = x^n$ gir $f'(x) = n \cdot x^{n-1}$. Konstantregelen sier at en konstant har derivert lik null. Konstantmultiplikasjon betyr at $(c \cdot f)'(x) = c \cdot f'(x)$ – koeffisienter kan flyttes utenfor derivasjonen. Og sumregelen lar oss derivere ledd for ledd: $(f + g)' = f' + g'$.

Når vi kombinerer disse reglene, kan vi derivere ethvert polynom. Teknikken er alltid den samme: gå gjennom hvert ledd, bruk potensregelen (med koeffisienten), og sett sammen.

La oss ta $f(x) = 5x^4$. Koeffisienten $5$ multipliseres med eksponenten $4$: $f'(x) = 5 \cdot 4 \cdot x^3 = 20x^3$.

Et mer sammensatt eksempel: $f(x) = x^3 + x^2 - 7x + 3$. Vi deriverer ledd for ledd: $x^3$ gir $3x^2$, $x^2$ gir $2x$, $-7x$ gir $-7$, og konstanten $3$ gir $0$. Resultatet er $f'(x) = 3x^2 + 2x - 7$.

Og ett til: $\displaystyle f(x) = 2x^5 - \frac{1}{2}x^4 + 3x$. Her får vi $f'(x) = 10x^4 - 2x^3 + 3$. Merk at $\displaystyle \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$.

Negative og brøk-eksponenter

Potensregelen fungerer ikke bare for positive heltall – den gjelder for alle eksponenter, inkludert negative tall og brøker. Det betyr at vi kan derivere funksjoner som inneholder brøker med $x$ i nevneren.

Nøkkelen er å skrive om brøkene til potensform. For eksempel er $\displaystyle \frac{1}{x^2} = x^{-2}$, og $\displaystyle \frac{3}{x^3} = 3x^{-3}$. Når vi har potensform, bruker vi potensregelen som vanlig.

La oss derivere $\displaystyle f(x) = \frac{3}{x^2} = 3x^{-2}$. Med potensregelen: $\displaystyle f'(x) = 3 \cdot (-2) \cdot x^{-3} = -6x^{-3} = -\frac{6}{x^3}$. Legg merke til at eksponenten $-2$ flyttes ned som koeffisient (og multipliseres med 3), og den nye eksponenten er $-2 - 1 = -3$.

Et annet eksempel: $\displaystyle f(x) = \frac{1}{x} + 2x = x^{-1} + 2x$. Vi deriverer: $\displaystyle f'(x) = -1 \cdot x^{-2} + 2 = -\frac{1}{x^2} + 2$. Du kan også skrive det som $\displaystyle f'(x) = 2 - \frac{1}{x^2}$.

Tilsvarende gir $\sqrt{x} = x^{1/2}$ den deriverte $\displaystyle \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$. Brøk-eksponenter følger nøyaktig samme regel.

Andrederiverte – å derivere den deriverte

Hva skjer hvis vi deriverer den deriverte? Da får vi en ny funksjon som kalles andrederiverte, og den skrives $f''(x)$ (leses «f tostreket av x»). Prosessen er enkel: vi deriverer $f(x)$ for å få $f'(x)$, og deriverer deretter $f'(x)$ for å få $f''(x)$.

La oss ta $f(x) = x^4 - 3x^2 + 2x$. Først finner vi $f'(x) = 4x^3 - 6x + 2$. Deretter deriverer vi $f'(x)$: $f''(x) = 12x^2 - 6$.

Andrederiverte har en viktig fysisk tolkning. Hvis $f(x)$ er posisjon, er $f'(x)$ fart og $f''(x)$ akselerasjon. Andrederiverte er også avgjørende for å bestemme om et punkt der $f'(x) = 0$ er et toppunkt eller bunnpunkt – noe vi utforsker grundig i neste kapittel.

La oss ta et fullstendig eksempel. For $f(x) = x^3 - 2x^2 + x$ finner vi $f'(x) = 3x^2 - 4x + 1$ og $f''(x) = 6x - 4$. Vi kan nå beregne verdier: $f'(2) = 12 - 8 + 1 = 5$ og $f''(2) = 12 - 4 = 8$. Den momentane vekstfarten i $x = 2$ er $5$, og akselerasjonen (endringen i vekstfart) er $8$.

Beregne derivert i et punkt

En vanlig oppgave er å finne verdien av den deriverte (eller andrederiverte) i et bestemt punkt. Fremgangsmåten er alltid den samme: først finner du det generelle uttrykket for $f'(x)$, og så setter du inn verdien for $x$.

La oss prøve med $f(x) = x^4 - 2x^3$. Deriverer vi, får vi $f'(x) = 4x^3 - 6x^2$. For å finne $f'(1)$ setter vi inn: $f'(1) = 4 \cdot 1 - 6 \cdot 1 = 4 - 6 = -2$. Altså er den momentane vekstfarten $-2$ når $x = 1$.

Andrederiverte er $f''(x) = 12x^2 - 12x$. Vi setter inn $x = 1$: $f''(1) = 12 - 12 = 0$. Andrederiverte er null i dette punktet, noe som kan tyde på et vendepunkt.

La oss også prøve $\displaystyle f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x^2 + x$. Den deriverte er $f'(x) = x^2 - 2x + 1$. Vi setter inn $x = 3$: $f'(3) = 9 - 6 + 1 = 4$. Andrederiverte er $f''(x) = 2x - 2$, og $f''(3) = 6 - 2 = 4$. Begge gir verdien $4$ her, men det er bare tilfeldigheter – de to verdiene betyr forskjellige ting.

Systematisk polynomderivasjon – steg for steg

La oss avslutte med å oppsummere den systematiske fremgangsmåten for å derivere et polynom. Det er en mekanisk prosess som alltid fungerer.

For hvert ledd i polynomet gjør du følgende: multipliser koeffisienten med eksponenten, og reduser eksponenten med 1. Konstantledd forsvinner. For eksempel: $-x^3 + 4x^2 - 6$ gir $f'(x) = -3x^2 + 8x$. Her er $-1 \cdot 3 = -3$ for første ledd, $4 \cdot 2 = 8$ for andre ledd, og $-6$ forsvinner.

Hvis du støter på brøker i nevneren, skriv dem om til negative eksponenter først. For eksempel: $\displaystyle x^2 + \frac{4}{x} = x^2 + 4x^{-1}$ gir $\displaystyle f'(x) = 2x + 4 \cdot (-1) \cdot x^{-2} = 2x - \frac{4}{x^2}$.

For andrederiverte gjentar du prosessen på den deriverte. Sjekk alltid svaret ditt ved å verifisere med GeoGebra, eller ved å kontrollere at dimensjonene (gradene) gir mening. Den deriverte av et polynom av grad $n$ er alltid et polynom av grad $n - 1$.

Oppsummering

I dette kapittelet har vi samlet og utvidet verktøykassen for derivasjon av polynomer. De fire grunnreglene er potensregelen $(x^n)' = nx^{n-1}$, konstantregelen $(c)' = 0$, konstantmultiplikasjon $(c \cdot f)' = c \cdot f'$, og sumregelen $(f + g)' = f' + g'$.

Vi har sett at potensregelen fungerer også for negative eksponenter. For å derivere brøker som $\displaystyle \frac{a}{x^n}$, skriver vi dem om til $a \cdot x^{-n}$ og bruker potensregelen direkte. Det samme gjelder for brøk-eksponenter som $\sqrt{x} = x^{1/2}$.

Andrederiverte $f''(x)$ finner vi ved å derivere $f'(x)$ en gang til. Andrederiverte forteller oss om endringshastigheten selv endrer seg – i fysikken svarer dette til akselerasjon. For å beregne den deriverte i et bestemt punkt finner vi først det generelle uttrykket og setter deretter inn verdien for $x$.