Tilbake
7.3
Den deriverte

7.3 Den deriverte

Alle fag for VG1

Introduksjon til den deriverte og derivasjonsregler for polynomfunksjoner.

45 min
10 oppgaver
Derivertf'(x)KonstantregelPotensregelSumregel
Du leser den tradisjonelle versjonen
Din fremgang i kapitlet
0 / 10 oppgaver
Kapitlets plass i kurset

Den deriverte funksjonen

I forrige kapittel fant vi momentan vekstfart i ett punkt. Men hva om vi vil ha en formel for momentan vekstfart i alle punkter?

Det er akkurat det den deriverte gir oss! Den deriverte er en ny funksjon som forteller oss stigningstallet til tangenten (momentan vekstfart) for enhver xx-verdi.

Den deriverte

Den deriverte av funksjonen f(x)f(x) skrives f′(x)f'(x) (leses "f derivert av x").

f′(x)f'(x) gir oss stigningstallet til tangenten til ff i punktet (x,f(x))(x, f(x)).

Med andre ord: f′(a)f'(a) er den momentane vekstfarten til ff når x=ax = a.

Derivasjon av konstante funksjoner

En konstant funksjon f(x)=af(x) = a er en horisontal linje. Stigningstallet til en horisontal linje er alltid 0.

Konstant funksjon
f(x)=a⇒f′(x)=0f(x) = a \quad \Rightarrow \quad f'(x) = 0

Den deriverte av en konstant er alltid 0.

Derivasjon av lineære funksjoner

En lineær funksjon f(x)=ax+bf(x) = ax + b har konstant stigningstall lik aa. Tangenten i et hvilket som helst punkt er selve linjen, med stigningstall aa.

Lineær funksjon
f(x)=ax+b⇒f′(x)=af(x) = ax + b \quad \Rightarrow \quad f'(x) = a

Den deriverte av en lineær funksjon er stigningstallet.

✏️Eksempel 1: Derivasjon av lineære funksjoner

Deriver funksjonene:
a) f(x)=3f(x) = 3
b) f(x)=4x−2f(x) = 4x - 2
c) f(x)=x+9f(x) = x + 9

Løsning:

a) f(x)=3f(x) = 3 er en konstant, så:
f′(x)=0f'(x) = 0

b) f(x)=4x−2f(x) = 4x - 2 er lineær med stigningstall 44, så:
f′(x)=4f'(x) = 4

c) f(x)=x+9=1⋅x+9f(x) = x + 9 = 1 \cdot x + 9 er lineær med stigningstall 11, så:
f′(x)=1f'(x) = 1

📝Oppgave 7.3.1

Deriver funksjonene:

a
f(x)=4f(x) = 4
b
f(x)=3xf(x) = 3x
c
f(x)=−7x+10f(x) = -7x + 10
d
f(x)=πx−3f(x) = \pi x - 3
e
f(a)=3a+2f(a) = 3a + 2
f
f(x)=−(x+3)=−x−3f(x) = -(x + 3) = -x - 3
Løs oppgavenTren

Potensregelen for derivasjon

For å derivere funksjoner som x2x^2, x3x^3 osv., bruker vi potensregelen:

Potensregelen
f(x)=xn⇒f′(x)=n⋅xn−1f(x) = x^n \quad \Rightarrow \quad f'(x) = n \cdot x^{n-1}

Flytt eksponenten ned som koeffisient og reduser eksponenten med 1.

✏️Eksempel 2: Potensregelen

Deriver funksjonene:
a) f(x)=x5f(x) = x^5
b) f(x)=3x4−2x+5f(x) = 3x^4 - 2x + 5
c) f(x)=2x3\displaystyle f(x) = \frac{2}{x^3}

Løsning:

a) f(x)=x5f(x) = x^5
f′(x)=5⋅x5−1=5x4f'(x) = 5 \cdot x^{5-1} = 5x^4

b) f(x)=3x4−2x+5f(x) = 3x^4 - 2x + 5

Vi deriverer ledd for ledd:
f′(x)=3⋅4⋅x4−1−2=12x3−2f'(x) = 3 \cdot 4 \cdot x^{4-1} - 2 = 12x^3 - 2

c) f(x)=2x3=2x−3\displaystyle f(x) = \frac{2}{x^3} = 2x^{-3}

f′(x)=2⋅(−3)⋅x−3−1=−6x−4=−6x4f'(x) = 2 \cdot (-3) \cdot x^{-3-1} = -6x^{-4} = -\frac{6}{x^4}

📝Oppgave 7.3.2

Deriver funksjonene:

a
f(x)=x3f(x) = x^3
b
f(x)=x2+2x−3f(x) = x^2 + 2x - 3
c
f(x)=−7x3+10f(x) = -7x^3 + 10
d
f(x)=x5+3x2f(x) = x^5 + 3x^2
e
f(a)=−3a7+2af(a) = -3a^7 + 2a
f
f(x)=ax4−bxf(x) = ax^4 - bx
Løs oppgavenTren
✏️Eksempel 3: Finne verdien av den deriverte

La f(x)=2x2−5xf(x) = 2x^2 - 5x.
a) Finn f(3)f(3)
b) Finn f(−2)f(-2)
c) Finn f′(−2)f'(-2)

Løsning:

a) f(3)=2⋅32−5⋅3=2⋅9−15=18−15=3f(3) = 2 \cdot 3^2 - 5 \cdot 3 = 2 \cdot 9 - 15 = 18 - 15 = 3

b) f(−2)=2⋅(−2)2−5⋅(−2)=2⋅4+10=8+10=18f(-2) = 2 \cdot (-2)^2 - 5 \cdot (-2) = 2 \cdot 4 + 10 = 8 + 10 = 18

c) Vi finner først f′(x)f'(x):
f′(x)=4x−5f'(x) = 4x - 5

Deretter setter vi inn x=−2x = -2:
f′(−2)=4⋅(−2)−5=−8−5=−13f'(-2) = 4 \cdot (-2) - 5 = -8 - 5 = -13

📝Oppgave 7.3.3

Finn f′(2)f'(2) for hver funksjon:

a
f(x)=x2−3f(x) = x^2 - 3
b
f(x)=72x2−5x\displaystyle f(x) = \frac{7}{2}x^2 - 5x
c
f(x)=x−2+xf(x) = x^{-2} + x
Løs oppgavenTren
📝Oppgave 7.3.4

Finn f′(−3)f'(-3) for hver funksjon:

a
f(x)=2x2−3xf(x) = 2x^2 - 3x
b
f(x)=13x3−x\displaystyle f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x
c
f(x)=4xf(x) = 4x
Løs oppgavenTren
📊Utforsk derivasjon i GeoGebra

Prøv kommandoen Derivert(f) for å se den deriverte funksjonen.

📝Oppgave 7.3.5
Høyden hh (i meter) til en ball som kastes rett opp er gitt ved:
h(t)=−5t2+20t+1h(t) = -5t^2 + 20t + 1
der tt er tiden i sekunder.

a) Finn h′(t)h'(t) (den deriverte av høydefunksjonen).
b) Hva representerer h′(t)h'(t) fysisk?
c) Finn h′(2)h'(2) og tolk svaret.
d) Når er h′(t)=0h'(t) = 0? Hva skjer da?

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Den deriverte: f′(x)f'(x) er en ny funksjon som gir den momentane vekstfarten til ff i hvert punkt
- Konstant funksjon: f(x)=cf(x) = c gir f′(x)=0f'(x) = 0
- Lineær funksjon: f(x)=ax+bf(x) = ax + b gir f′(x)=af'(x) = a
- Potensregelen: f(x)=xnf(x) = x^n gir f′(x)=nxn−1f'(x) = nx^{n-1}
- Tangenter: f′(a)f'(a) er stigningstallet til tangenten i punktet (a,f(a))(a, f(a))

Nøkkelbegreper


BegrepForklaring
Den deriverteFunksjon som gir momentan vekstfart
f′(a)f'(a)Stigningstallet til tangenten i x=ax = a
Potensregelen(xn)′=nxn−1(x^n)' = nx^{n-1}

Viktige formler


- (c)′=0(c)' = 0, (ax+b)′=a(ax + b)' = a, (xn)′=nxn−1(x^n)' = nx^{n-1}
Repetisjonsoppgaver
Din fremgang
0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.