7.5 Definisjonen av derivasjon og numerisk derivasjon

Bak kulissene i derivasjon

Vi har nå lært å derivere med potensregelen, sumregelen og konstantregelen. Men har du lurt på hvorfor disse reglene fungerer? Hva er det egentlig som skjer matematisk når vi deriverer?

I dette kapittelet går vi bak kulissene og ser på den formelle definisjonen av den deriverte. Vi skal forstå hva en grenseverdi er, bli kjent med Newton-kvotienten (også kalt differanskvotienten), og lære om numerisk derivasjon – en metode for å finne tilnærmede verdier av den deriverte. Selv om de konkrete reglene vi har lært er raske og praktiske, er det verdifullt å forstå fundamentet de hviler på.

Newton-kvotienten – gjennomsnittlig vekstfart i ny drakt

Vi begynner med noe kjent. Husk at gjennomsnittlig vekstfart mellom to punkter er $\displaystyle \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$. Nå skriver vi det på en litt annen måte. La oss si at vi starter i punktet $x$ og beveger oss en liten avstand $h$ til høyre, slik at det andre punktet er $x + h$. Da blir gjennomsnittlig vekstfart:

$$\frac{f(x + h) - f(x)}{h}$$

Denne brøken kalles Newton-kvotienten eller differanskvotienten. Den gir stigningstallet til sekanten mellom punktene $(x, f(x))$ og $(x + h, f(x + h))$.

La oss ta et eksempel. Med $f(x) = x^2$, $x = 2$ og $h = 0{,}1$ får vi: $\displaystyle \frac{f(2{,}1) - f(2)}{0{,}1} = \frac{4{,}41 - 4}{0{,}1} = \frac{0{,}41}{0{,}1} = 4{,}1$. Vi vet at den eksakte deriverte er $f'(2) = 2 \cdot 2 = 4$, så $4{,}1$ er en god tilnærming – ganske nær, men ikke helt nøyaktig.

Hva skjer hvis vi gjør $h$ enda mindre? Med $h = 0{,}01$: $\displaystyle \frac{f(2{,}01) - f(2)}{0{,}01} = \frac{4{,}0401 - 4}{0{,}01} = 4{,}01$. Enda nærmere! Jo mindre $h$, desto bedre tilnærming.

Definisjonen av den deriverte – grenseverdien

Vi har sett at Newton-kvotienten gir bedre og bedre tilnærminger til den deriverte jo mindre $h$ vi velger. Den formelle definisjonen sier at den deriverte er det Newton-kvotienten stabiliserer seg på når $h$ går mot null. Vi skriver det med grenseverdi-symbolet:

$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$$

Les dette som: «grenseverdien av Newton-kvotienten når $h$ går mot null». Merk at vi ikke kan sette $h = 0$ direkte, for da ville vi delt på null. I stedet lar vi $h$ bli vilkårlig nær null og ser hva brøken nærmer seg.

La oss bevise at den deriverte av $x^2$ er $2x$ ved å bruke definisjonen. Vi starter med Newton-kvotienten: $\displaystyle \frac{(x + h)^2 - x^2}{h}$. Vi utvider $(x + h)^2 = x^2 + 2xh + h^2$. Da får vi $\displaystyle \frac{x^2 + 2xh + h^2 - x^2}{h} = \frac{2xh + h^2}{h} = \frac{h(2x + h)}{h} = 2x + h$. Når $h \to 0$, forsvinner $h$-leddet, og vi sitter igjen med $f'(x) = 2x$.

Dette er altså grunnen til at potensregelen fungerer for $x^2$. Lignende utregninger kan gjøres for høyere potenser, og de gir alltid potensregelen.

Derivasjon fra definisjonen – flere eksempler

La oss bruke definisjonen på noen flere funksjoner for å få trening. Ta $f(x) = 3x$. Newton-kvotienten blir $\displaystyle \frac{3(x + h) - 3x}{h} = \frac{3x + 3h - 3x}{h} = \frac{3h}{h} = 3$. Når $h \to 0$, er svaret fortsatt $3$. Altså er $f'(x) = 3$. Det stemmer – den deriverte av en lineær funksjon er stigningstallet.

Nå et litt vanskeligere eksempel: $f(x) = x^2 + 1$. Newton-kvotienten er $\displaystyle \frac{(x + h)^2 + 1 - x^2 - 1}{h} = \frac{x^2 + 2xh + h^2 + 1 - x^2 - 1}{h} = \frac{2xh + h^2}{h} = 2x + h$. Når $h \to 0$, får vi $f'(x) = 2x$. Legg merke til at konstanten $+1$ ikke påvirker den deriverte – den «forsvant» i utregningen.

Et tredje eksempel: $f(x) = 2x^2 - x$. Newton-kvotienten gir $\displaystyle \frac{2(x+h)^2 - (x+h) - 2x^2 + x}{h}$. Vi utvider og forenkler: $\displaystyle \frac{2x^2 + 4xh + 2h^2 - x - h - 2x^2 + x}{h} = \frac{4xh + 2h^2 - h}{h} = 4x + 2h - 1$. Grenseverdien når $h \to 0$ gir $f'(x) = 4x - 1$.

Numerisk derivasjon – tilnærminger i praksis

Noen ganger er det vanskelig eller umulig å finne den eksakte deriverte. Kanskje funksjonen er for komplisert, eller kanskje du bare har en tabell med tallverdier og ingen formel. Da bruker vi numerisk derivasjon, som gir en tilnærmet verdi.

Den enkleste metoden er å bruke Newton-kvotienten direkte med en liten verdi av $h$: $\displaystyle f'(x) \approx \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$. Dette kalles framoverdifferansen fordi vi ser «fremover» fra $x$ til $x + h$.

Men det finnes en bedre metode: sentraldifferansen. I stedet for å se bare fremover, ser vi litt til begge sider:

$$f'(x) \approx \frac{f(x + h) - f(x - h)}{2h}$$

Sentraldifferansen er mer nøyaktig fordi den balanserer feilen på begge sider av punktet. La oss prøve: $f(x) = x^2$, $x = 3$, $h = 0{,}1$. Sentraldifferansen gir $\displaystyle \frac{f(3{,}1) - f(2{,}9)}{0{,}2} = \frac{9{,}61 - 8{,}41}{0{,}2} = \frac{1{,}2}{0{,}2} = 6$. Den eksakte verdien er $f'(3) = 6$, så sentraldifferansen traff eksakt her!

Sammenhengen mellom alt vi har lært

La oss stoppe opp og se det store bildet. Vi har nå tre måter å tenke på den deriverte:

Den grafiske tilnærmingen: den deriverte er stigningstallet til tangenten. Vi kan tegne tangenten og lese av stigningstallet. Denne metoden gir god intuisjon, men er ikke alltid nøyaktig.

Den algebraiske tilnærmingen: vi bruker derivasjonsreglene (potensregelen, sumregelen osv.) til å finne et eksakt uttrykk for $f'(x)$. Denne metoden er rask og gir nøyaktige svar for funksjoner vi kjenner reglene for.

Den numeriske tilnærmingen: vi bruker Newton-kvotienten eller sentraldifferansen med en liten $h$ for å tilnærme $f'(x)$. Denne metoden fungerer selv når vi ikke har en formel for funksjonen, bare datapunkter.

Alle tre tilnærmingene er nyttige i ulike situasjoner. Derivasjonsreglene er det du bruker mest til daglig, men den formelle definisjonen forklarer hvorfor reglene virker, og numerisk derivasjon er uvurderlig når du jobber med data fra virkeligheten.

Oppsummering

I dette kapittelet har vi sett hva som ligger under derivasjonsreglene vi allerede har lært. Newton-kvotienten $\displaystyle \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$ gir gjennomsnittlig vekstfart mellom $x$ og $x + h$, og den er stigningstallet til sekanten mellom disse to punktene.

Definisjonen av den deriverte sier at $\displaystyle f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$ – det er grenseverdien av Newton-kvotienten når steglengden $h$ går mot null. Denne definisjonen forklarer hvorfor potensregelen og de andre reglene fungerer, og den kan brukes til å derivere funksjoner fra bunnen av.

Numerisk derivasjon gir tilnærmede verdier av den deriverte. Framoverdifferansen bruker Newton-kvotienten med en liten $h$, mens sentraldifferansen $\displaystyle \frac{f(x+h) - f(x-h)}{2h}$ er mer nøyaktig fordi den ser symmetrisk til begge sider. Numerisk derivasjon er spesielt nyttig når vi ikke har en formel for funksjonen.