Tilbake
7.5
Definisjonen av derivasjon og numerisk derivasjon

7.5 Definisjonen av derivasjon og numerisk derivasjon

Alle fag for VG1

Den formelle definisjonen av den deriverte som grenseverdi, og numerisk tilnærming til derivasjon.

50 min
8 oppgaver
GrenseverdiDerivasjonsdefinisjonenNumerisk derivasjonDifferenskvotient
Du leser den tradisjonelle versjonen
Din fremgang i kapitlet
0 / 8 oppgaver
Kapitlets plass i kurset

Fra sekant til tangent

Vi har sett at den momentane vekstfarten er stigningstallet til tangenten. Men hvordan finner vi egentlig tangenten matematisk?

Ideen er å starte med en sekant (linje gjennom to punkter på grafen) og la de to punktene komme nærmere og nærmere hverandre. Når avstanden blir uendelig liten, blir sekanten til en tangent.

Newton-kvotienten

La ff være en funksjon og la hh være en liten positiv verdi (avstanden mellom to xx-verdier).

Gjennomsnittlig vekstfart fra xx til x+hx + h:
f(x+h)−f(x)h\frac{f(x + h) - f(x)}{h}

Dette kalles Newton-kvotienten eller differanskvotienten.

Newton-kvotienten
Newton-kvotienten for en funksjon ff i punktet xx med steglengde hh er:

f(x+h)−f(x)h\frac{f(x + h) - f(x)}{h}

Dette er stigningstallet til sekanten gjennom punktene (x,f(x))(x, f(x)) og (x+h,f(x+h))(x + h, f(x + h)).

✏️Eksempel 1: Newton-kvotienten

La f(x)=x2f(x) = x^2. Finn Newton-kvotienten når x=2x = 2 og h=0,1h = 0{,}1.

Løsning:

Vi setter inn i formelen:
f(2+0,1)−f(2)0,1=f(2,1)−f(2)0,1\frac{f(2 + 0{,}1) - f(2)}{0{,}1} = \frac{f(2{,}1) - f(2)}{0{,}1}

Vi beregner funksjonsverdiene:
- f(2,1)=2,12=4,41f(2{,}1) = 2{,}1^2 = 4{,}41
- f(2)=22=4f(2) = 2^2 = 4

4,41−40,1=0,410,1=4,1\frac{4{,}41 - 4}{0{,}1} = \frac{0{,}41}{0{,}1} = 4{,}1

Newton-kvotienten er 4,14{,}1.

Merk: Den eksakte deriverte er f′(2)=2⋅2=4f'(2) = 2 \cdot 2 = 4, så 4,14{,}1 er en god tilnærming!

📝Oppgave 7.5.1

Beregn Newton-kvotienten for de gitte verdiene.

a
f(x)=x2f(x) = x^2, x=3x = 3, h=0,1h = 0{,}1
b
f(x)=x2f(x) = x^2, x=3x = 3, h=0,01h = 0{,}01
c
f(x)=x3f(x) = x^3, x=2x = 2, h=0,1h = 0{,}1
Løs oppgavenTren

Definisjonen av den deriverte

Når vi lar hh gå mot 0, nærmer Newton-kvotienten seg den deriverte. Dette skriver vi som en grenseverdi:

Definisjonen av den deriverte
Den deriverte av ff i punktet xx er definert som:

f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)hf'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}

Les: "grenseverdien av Newton-kvotienten når hh går mot null".

Grenseverdien eksisterer når Newton-kvotienten stabiliserer seg på én verdi når hh blir mindre og mindre.

✏️Eksempel 2: Derivere fra definisjonen

Bruk definisjonen til å vise at f′(x)=2xf'(x) = 2x når f(x)=x2f(x) = x^2.

Løsning:

Vi starter med Newton-kvotienten:
f(x+h)−f(x)h=(x+h)2−x2h\frac{f(x + h) - f(x)}{h} = \frac{(x + h)^2 - x^2}{h}

Vi utvider (x+h)2(x + h)^2:
=x2+2xh+h2−x2h= \frac{x^2 + 2xh + h^2 - x^2}{h}

Vi forenkler:
=2xh+h2h=h(2x+h)h=2x+h= \frac{2xh + h^2}{h} = \frac{h(2x + h)}{h} = 2x + h

Når h→0h \to 0:
f′(x)=lim⁡h→0(2x+h)=2xf'(x) = \lim_{h \to 0} (2x + h) = 2x

Dette bekrefter at den deriverte av x2x^2 er 2x2x.

📝Oppgave 7.5.2

Bruk definisjonen av den deriverte til å finne f′(x)f'(x).

a
f(x)=3xf(x) = 3x
b
f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1
c
f(x)=2x2−xf(x) = 2x^2 - x
Løs oppgavenTren

Numerisk derivasjon

Ofte er det vanskelig å beregne den eksakte deriverte. Da kan vi bruke numerisk derivasjon, som gir en tilnærmet verdi.

Framoverdifferansen (den vi har brukt):
f′(x)≈f(x+h)−f(x)hf'(x) \approx \frac{f(x + h) - f(x)}{h}

Sentraldifferansen (mer nøyaktig):
f′(x)≈f(x+h)−f(x−h)2hf'(x) \approx \frac{f(x + h) - f(x - h)}{2h}

📊Utforsk: Newton-kvotienten

Se hvordan Newton-kvotienten nærmer seg den deriverte når h blir mindre.

✏️Eksempel 3: Sentraldifferansen

La f(x)=x2f(x) = x^2. Bruk sentraldifferansen til å finne en tilnærming til f′(3)f'(3) med h=0,1h = 0{,}1.

Løsning:

Sentraldifferansen er:
f′(x)≈f(x+h)−f(x−h)2hf'(x) \approx \frac{f(x + h) - f(x - h)}{2h}

Med x=3x = 3 og h=0,1h = 0{,}1:
f′(3)≈f(3,1)−f(2,9)2⋅0,1=3,12−2,920,2f'(3) \approx \frac{f(3{,}1) - f(2{,}9)}{2 \cdot 0{,}1} = \frac{3{,}1^2 - 2{,}9^2}{0{,}2}

=9,61−8,410,2=1,20,2=6= \frac{9{,}61 - 8{,}41}{0{,}2} = \frac{1{,}2}{0{,}2} = 6

Kontroll: Den eksakte verdien er f′(3)=2⋅3=6f'(3) = 2 \cdot 3 = 6. Sentraldifferansen ga eksakt svar her!

📝Oppgave 7.5.3

Bruk sentraldifferansen f(x+h)−f(x−h)2h\displaystyle \frac{f(x+h) - f(x-h)}{2h} med h=0,1h = 0{,}1.

a

Finn en tilnærming til f′(2)f'(2) når f(x)=x3f(x) = x^3

b

Sammenlign med den eksakte verdien f′(2)=3⋅22=12f'(2) = 3 \cdot 2^2 = 12

Løs oppgavenTren

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Newton-kvotienten: f(x+h)−f(x)h\displaystyle \frac{f(x + h) - f(x)}{h} — gjennomsnittlig vekstfart over et intervall med lengde hh
- Definisjonen av den deriverte: f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)h\displaystyle f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}
- Derivere fra definisjonen: Sett inn, gang ut, forkort hh, og la h→0h \to 0
- Numerisk derivasjon: Tilnærm f′(x)f'(x) med en liten hh-verdi; sentraldifferansen f(x+h)−f(x−h)2h\displaystyle \frac{f(x+h) - f(x-h)}{2h} gir ekstra god tilnærming

Nøkkelbegreper


BegrepForklaring
Newton-kvotientGjennomsnittlig vekstfart over [x,x+h][x, x+h]
GrenseverdiVerdien uttrykket nærmer seg når h→0h \to 0
SentraldifferanseNumerisk tilnærming med punkter på begge sider

Viktige formler


- f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)h\displaystyle f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}
- Sentraldifferansen: f′(x)≈f(x+h)−f(x−h)2h\displaystyle f'(x) \approx \frac{f(x + h) - f(x - h)}{2h}
Repetisjonsoppgaver
Din fremgang
0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.