5.3 Drill: svingninger og pendler (sjanger M7, M8)

Sjangerdrill: egenfrekvens, fysisk/konisk pendel og dempet amplitude raskt mot tallsvar — med $\gamma=b/2m$-disiplin.

85 min

15 oppgaver

Drillsvingningerpendler (sjanger M7M8)

Din fremgang i kapitlet

0 / 15 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

5.2Dempede og drevne svingninger — $Q$-faktor og resonans

Brukes videre i

5.PPrøver til del 5: Svingninger og pendler

Dette er et treningskapittel, ikke et teorikapittel. Her drilles de to sjangrene fra Del 5 i eksamenstempo:

Sjanger M7 — svingninger («finn egenfrekvens, fjærstivhet, dempingstid eller $Q$ ») i om lag 9 av 10 sett (~90 %), høyeste prioritet — dette må sitte.

Sjanger M8 — pendler («finn svingetiden til dette legemet, eller perioden i denne sirkelbanen») i rundt halvparten av settene (~50 %), prioritet bør sitte.

Begge hører til mekanikkhalvdelen, spørsmål 1–20.

To feil avgjør nesten alle poengene i denne delen, og de drilles derfor i hver eneste oppgave her. Den ene er faktoren $2\pi$ mellom $\omega$ , $f$ og $T$ . Den andre er faktoren 2 i $\gamma = b/2m$ — og dens søsken, at energien går med $2\gamma$ mens amplituden går med $\gamma$ . I tillegg kommer Steiner-refleksen i pendeloppgavene: treghetsmomentet skal være om opphengspunktet.

Om tidsbruken. Kapitlet er anslått til 85 minutter og er lagt opp som fire økter du trygt kan dele over flere kvelder: løsningsoppskriften og det gjennomregnede caset (~20 min), fjær- og egenfrekvensoppgavene 1–5 (~22 min), pendeloppgavene 6–10 (~22 min), og dempings- og resonansoppgavene 11–15 (~21 min). Fem av de femten oppgavene er i A–F-format med seks ferdige alternativer, akkurat som eksamen; resten er i åpen form.

Symbolvarsel. $T$ er periode i sekunder her, ikke temperatur. $\gamma$ er dempingskoeffisient i $\text{s}^{-1}$ , ikke adiabateksponent. $S$ er taustrekk i newton, ikke entropi. $Q$ er kvalitetsfaktor (dimensjonsløs), ikke varme. Alle fire betyr noe annet fra Del 6 og utover.

Forkunnskaper — sist du var her

Alt du trenger står i kap. 5.1 og kap. 5.2, med treghetsmomentene fra kap. 4.1. Her er verktøykassa samlet på én skjerm, slik at du kan lukke den og prøve deg først:

$\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}, \qquad f = \frac{\omega_0}{2\pi}, \qquad T = \frac{1}{f} = \frac{2\pi}{\omega_0}, \qquad k = m\omega_0^2 = m(2\pi f)^2$

$\frac{1}{k} = \frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2} \ (\text{serie}), \qquad k = k_1+k_2 \ (\text{parallell})$

$T = 2\pi\sqrt{\frac{I_A}{Mgd}}, \qquad I_A = I_\text{CM}+Md^2, \qquad L_\text{ekv} = \frac{I_A}{Md}$

$T_\text{stang, ende} = 2\pi\sqrt{\frac{2L}{3g}}, \qquad T_\text{skive, rand} = 2\pi\sqrt{\frac{3R}{2g}}, \qquad T_\text{mat} = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$

$S\cos\theta = mg, \qquad S\sin\theta = \frac{mv^2}{R}, \qquad T = 2\pi\sqrt{\frac{L\cos\theta}{g}}, \qquad R = L\sin\theta$

$\gamma = \frac{b}{2m}, \qquad \omega' = \sqrt{\omega_0^2-\gamma^2}, \qquad A(t) = A_0e^{-\gamma t}, \qquad E(t) = E_0e^{-2\gamma t}$

$t = \frac{\ln(1/f_\text{brøk})}{\gamma}, \qquad Q = \frac{\omega_0}{2\gamma} = \frac{\sqrt{km}}{b}, \qquad b_\text{krit} = 2m\omega_0 = 2\sqrt{km}$

$A(\omega_0) = \frac{F_0}{b\omega_0} = Q\cdot\frac{F_0}{k}$

Boka bruker $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$ , $2\pi = 6{,}28319$ , $\ln2 = 0{,}69315$ og $\ln4 = 1{,}38629$ . Behold fire gjeldende siffer gjennom hele regnekjeden.

📜Løsningsoppskrift — rask vei til tall (MC-oppskrift) i fem trinn

Dette er algoritmen du skal kjøre uten å tenke, fra oppgitte tall til bokstavsvar.

1. Hvilket system? Fire muligheter, og du skal kjenne dem igjen på tre sekunder:
- masse i fjær → $\omega_0 = \sqrt{k/m}$ (finn samlet $k$ først hvis det er to fjærer);
- utstrakt legeme hengt opp i et punkt → fysisk pendel, $T = 2\pi\sqrt{I_A/(Mgd)}$ ;
- masse i vannrett sirkelbane i en snor → konisk pendel, $T = 2\pi\sqrt{L\cos\theta/g}$ ;
- demping oppgitt ( $b$ eller $\gamma$ ) → dempet svingning, $\gamma = b/2m$ først.

2. Regn den ene grunnstørrelsen først. Innholdet under rottegnet: $k/m$ , $I_A/(Mgd)$ , $L\cos\theta/g$ . Eller, for dempingsoppgaver, $\gamma = b/2m$ . Da er resten én rotutdragning eller én logaritme.

3. Steiner-refleksen i pendeloppgaver. Går aksen gjennom massesenteret? Nei — den gjør den aldri i en pendel. Skriv $I_A = I_\text{CM}+Md^2$ før du slår opp $I_\text{CM}$ . Og bruk avstanden til det felles massesenteret i $d$ når legemet er sammensatt.

4. Les hva som spørres om. $\omega$ (rad/s), $f$ (Hz) eller $T$ (s)? Amplitude eller energi? Hele svingninger eller et desimaltall? Dette ene trinnet er verdt flere poeng enn all regningen i sjangeren.

5. Sluttsjekk før du krysser av. (i) Enhet. (ii) Faktoren $2\pi$ på riktig plass. (iii) Er $\gamma$ regnet med $2m$ ? (iv) Er $L_\text{ekv} = I_A/(Md)$ av samme størrelsesorden som legemet? (v) Er $S > mg$ i en konisk pendel? (vi) Er $Q$ dimensjonsløs? (vii) Faller massen ut der den skal (homogen pendel) og står den der den skal (masse i fjær)?

✏️Gjennomregnet MC-case: svingninger i eksamenstempo — med margnotater

To komplette flervalgsspørsmål av den typen som kommer på eksamen, regnet gjennom i MC-tempo med margnotater om hvor poengene faktisk faller.

Spørsmål 1. En masse på $0{,}640\,\text{kg}$ henger i en fjær med stivhet $250{,}0\,\text{N/m}$ . Hva er frekvensen?

A $0{,}0081\,\text{Hz}$ · B $0{,}3179\,\text{Hz}$ · C $3{,}1456\,\text{Hz}$ · D $19{,}7642\,\text{Hz}$ · E $62{,}1699\,\text{Hz}$ · F $124{,}1824\,\text{Hz}$

Spørsmål 2. Samme system får en dempingskonstant $b = 0{,}256\,\text{kg/s}$ . Hvor lang tid går det før amplituden er redusert til en fjerdedel?

A $1{,}7329\,\text{s}$ · B $3{,}4657\,\text{s}$ · C $5{,}0000\,\text{s}$ · D $6{,}9315\,\text{s}$ · E $10{,}0000\,\text{s}$ · F $20{,}0000\,\text{s}$

Spørsmål 1: svar C.

Margnotat — hvilket system, og hvilken lov? Masse i fjær. Én formel: $\omega_0 = \sqrt{k/m}$ . Tre sekunder.

Margnotat — trinn 2: regn innholdet under rottegnet først.
$\frac{k}{m} = \frac{250{,}0}{0{,}640}\,\text{s}^{-2} = 390{,}625\,\text{s}^{-2}, \qquad \omega_0 = 19{,}76424\,\text{rad/s}.$
Én divisjon, én rot. Femten sekunder.

Margnotat — trinn 4, og det som avgjør oppgaven. Spørsmålet ber om frekvensen, ikke vinkelfrekvensen:
$f = \frac{\omega_0}{2\pi} = \frac{19{,}76424}{6{,}28319}\,\text{Hz} = 3{,}14558\,\text{Hz}.$
Her er hele oppgaven. Regningen tar tjue sekunder; lesingen av spørsmålet avgjør poenget.

Margnotat — hva hentes hvor? $\omega_0=\sqrt{k/m}$ og $f=\omega_0/2\pi$ står på det utdelte arket. Ingenting her krever mer enn en enkel kalkulator.

Margnotat — hvor mange siffer? Tre er nok her, siden alternativene ligger langt fra hverandre, men skriv fire i kladden: $19{,}76424$ , ikke $19{,}8$ .

Margnotat — hvilket alternativ lander du på hvis du slurver? D er vinkelfrekvensen $\omega_0$ i rad/s — riktig regning, feil størrelse, og det mest valgte gale svaret i hele sjangeren. F har multiplisert med $2\pi$ i stedet for å dividere. B er perioden $T = 1/f$ . A er $\sqrt{m/k}/(2\pi)$ , altså brøken snudd under rottegnet. E er $(k/m)/(2\pi)$ uten kvadratrot.

Margnotat — sluttsjekken, ti sekunder. En laboratoriefjær med noen hundre gram gir en frekvens på noen få hertz og en vinkelfrekvens på noen titalls rad/s. Det stryker alle alternativene over 10 og under 0,1 umiddelbart.

— naturlig pausepunkt —

Spørsmål 2: svar D.

Margnotat — hvilken lov? Dempet amplitude: $A(t) = A_0e^{-\gamma t}$ . Sett $A/A_0 = \tfrac14$ og løs for $t$ .

Margnotat — trinn 2, og det som avgjør oppgaven. Regn $\gamma$ først, med faktoren 2:
$\gamma = \frac{b}{2m} = \frac{0{,}256}{2 \cdot 0{,}640}\,\text{s}^{-1} = \frac{0{,}256}{1{,}280}\,\text{s}^{-1} = 0{,}2000\,\text{s}^{-1}.$
Uten faktoren 2 ville du fått $0{,}4000\,\text{s}^{-1}$ og halvert alle tider som følger.

Margnotat — hvilken ene regnelinje?
$t = \frac{\ln 4}{\gamma} = \frac{1{,}38629}{0{,}2000}\,\text{s} = 6{,}93147\,\text{s}.$
Merk at $\ln 4 = 2\ln 2$ : dette er nøyaktig to halveringstider.

Margnotat — hvor mange siffer? Bruk $\ln4 = 1{,}38629$ , ikke 1,39. Og fire siffer i $\gamma$ .

Margnotat — fellene. B er $\ln2/\gamma$ , altså tiden til halv amplitude. C er $1/\gamma$ , relaksasjonstiden ( $1/e$ ). E er $2/\gamma$ , med logaritmen erstattet av tallet 2. F er $4/\gamma$ , med brøken satt rett inn — den mest utbredte varianten. A er $\ln4/(4\gamma)$ .

Margnotat — sluttsjekken. Svaret må være nøyaktig dobbelt så stort som tiden til halv amplitude ( $3{,}4657\,\text{s}$ ) ✔. Og hadde spørsmålet gjeldt energien, ville svaret vært halvparten, $3{,}4657\,\text{s}$ . Les alltid hvilken størrelse som er redusert.

Økt 2 — M7: egenfrekvens og fjærkoblinger (~22 min)

Fem oppgaver. Oppgave 1 er i A–F-format. Les hver gang om det spørres om $\omega$ , $f$ eller $T$ — det er trinn 4 i oppskriften, og det er der poengene faller.

📝Oppgave 1

Sjanger M7

En masse på $0{,}250\,\text{kg}$ svinger i en fjær med stivhet $90{,}0\,\text{N/m}$ . Hva er frekvensen?

A $0{,}0527\,\text{Hz}$ · B $0{,}3312\,\text{Hz}$ · C $3{,}0198\,\text{Hz}$ · D $6{,}0395\,\text{Hz}$ · E $18{,}9737\,\text{Hz}$ · F $57{,}2958\,\text{Hz}$

📝Oppgave 2

Sjanger M7

To fjærer med stivhet $200{,}0\,\text{N/m}$ og $300{,}0\,\text{N/m}$ kobles i serie og bærer en masse på $0{,}750\,\text{kg}$ .

a) Finn egenfrekvensen og frekvensen.

b) Hvor mange ganger raskere ville systemet svingt med fjærene i parallell?

📝Oppgave 3

Sjanger M7

En masse på $0{,}600\,\text{kg}$ svinger i en fjær med perioden $0{,}400\,\text{s}$ .

a) Finn fjærstivheten.

b) Hva blir perioden hvis massen dobles?

📝Oppgave 4

Sjanger M7

En fjær med stivhet $180{,}0\,\text{N/m}$ bærer en masse på $1{,}10\,\text{kg}$ .

a) Finn egenfrekvensen.

b) Finn egenfrekvensen når to slike fjærer bærer massen i parallell, og når de bærer den i serie.

c) Hvor stort er forholdet mellom de to i b)?

📝Oppgave 5

(Kvalitativ oppgave — hva avhenger av hva.)

a) Hva skjer med frekvensen til en masse i en fjær hvis du dobler amplituden?

b) Hva skjer med frekvensen hvis du henger systemet loddrett i stedet for å legge det vannrett på et friksjonsfritt bord?

c) Hva skjer med svingetiden til en homogen fysisk pendel hvis du bytter legemet med et dobbelt så tungt av samme form og størrelse?

Økt 3 — M8: pendler (~22 min)

Fem oppgaver på fysisk, matematisk og konisk pendel. Oppgave 6 er i A–F-format. Kjør Steiner-refleksen hver gang: treghetsmomentet skal være om opphengspunktet, og $d$ er avstanden til det felles massesenteret.

📝Oppgave 6

Sjanger M8

En homogen skive med radius $0{,}200\,\text{m}$ henges opp i et punkt på randen og svinger med små utslag. Hva er svingetiden?

A $0{,}1749\,\text{s}$ · B $0{,}6344\,\text{s}$ · C $0{,}7325\,\text{s}$ · D $0{,}8971\,\text{s}$ · E $1{,}0988\,\text{s}$ · F $1{,}2687\,\text{s}$

📝Oppgave 7

Sjanger M8

En homogen stang med lengde $0{,}850\,\text{m}$ henges opp i den ene enden.

a) Finn svingetiden for små utslag.

b) Finn den effektive pendellengden, og sammenlign med en matematisk pendel med lengde $0{,}850\,\text{m}$ .

📝Oppgave 8

Sjanger M8, konisk…

En kule med masse $0{,}350\,\text{kg}$ går i en vannrett sirkel i enden av en snor med lengde $0{,}950\,\text{m}$ . Snora danner $30^\circ$ med loddlinja.

a) Finn sirkelradien og omløpstiden.

b) Finn banefarten og snorstrekket.

📝Oppgave 9

Eksamensnivå, sjanger M8

En pendel består av en homogen stang med masse $0{,}600\,\text{kg}$ og lengde $0{,}500\,\text{m}$ , hengslet i den øvre enden, med en punktmasse på $0{,}900\,\text{kg}$ festet i den nedre enden.

a) Finn treghetsmomentet om opphengspunktet og avstanden til systemets massesenter.

b) Finn svingetiden for små utslag.

c) Hva ville du fått hvis du feilaktig brukte punktmassens avstand $L$ som $d$ ?

📝Oppgave 10

(Kvalitativ oppgave — pendler.)

a) Hvorfor svinger en stang hengt opp i enden raskere enn en punktmasse i samme avstand?

b) Hva skjer med svingetiden til en fysisk pendel når opphengspunktet flyttes helt inn til massesenteret?

c) Hvorfor er alle pendelformlene i boka merket «for små utslag»?

Økt 4 — M7: demping, $Q$ og resonans (~21 min)

Fem oppgaver på dempet og drevet svingning. Oppgave 11 og 14 er i A–F-format. Regn $\gamma = b/2m$ først, hver gang — og les om oppgaven spør om amplitude eller energi.

📝Oppgave 11

Sjanger M7, A–F-format

Et dempet system har $\gamma = 0{,}320\,\text{s}^{-1}$ . Hvor lang tid tar det før amplituden er halvert?

A $0{,}5415\,\text{s}$ · B $1{,}0830\,\text{s}$ · C $2{,}1661\,\text{s}$ · D $3{,}1250\,\text{s}$ · E $4{,}3322\,\text{s}$ · F $6{,}2500\,\text{s}$

📝Oppgave 12

Sjanger M7

Et system har $m = 0{,}500\,\text{kg}$ , $k = 50{,}0\,\text{N/m}$ og $b = 0{,}200\,\text{kg/s}$ .

a) Finn $\omega_0$ , $\gamma$ og $\omega'$ .

b) Hvor mange hele svingninger gjør systemet før amplituden er halvert?

c) Hva ville svaret i b) blitt med $\gamma = b/m$ ?

📝Oppgave 13

Sjanger M7

Et system har $\omega_0 = 20{,}0\,\text{rad/s}$ , $\gamma = 0{,}400\,\text{s}^{-1}$ og fjærstivhet $200{,}0\,\text{N/m}$ . Det drives av en kraft med amplitude $0{,}500\,\text{N}$ .

a) Finn kvalitetsfaktoren.

b) Finn det statiske utslaget og amplituden på resonans.

c) Om lag hvor mange hele svingninger tar det før en fri svingning i systemet har falt til $1/e$ ?

📝Oppgave 14

Sjanger M7, A–F-format

Et system har $m = 0{,}800\,\text{kg}$ og $k = 200{,}0\,\text{N/m}$ . Hvor stor må dempingskonstanten være for kritisk demping?

A $12{,}6491\,\text{kg/s}$ · B $15{,}8114\,\text{kg/s}$ · C $25{,}2982\,\text{kg/s}$ · D $31{,}6228\,\text{kg/s}$ · E $50{,}5964\,\text{kg/s}$ · F $320{,}0000\,\text{kg/s}$

📝Oppgave 15

(Blandet — dempet fysisk pendel.) En homogen skive med radius $0{,}180\,\text{m}$ henges opp i randen og svinger som en fysisk pendel. Bevegelsen er svakt dempet med $\gamma = 0{,}150\,\text{s}^{-1}$ .

a) Finn den udempede svingetiden og den tilhørende $\omega_0$ .

b) Finn kvalitetsfaktoren.

c) Om lag hvor mange hele svingninger tar det før amplituden er falt til $1/e$ ? Regn både med tommelregelen $Q/\pi$ og eksakt.

Typiske feil — hele M7- og M8-repertoaret, og de to faktorfellene

Faktoren $2\pi$ mellom $\omega$ , $f$ og $T$ . Sjangerens dyreste feil, og den er ren lesefeil. Understrek hva oppgaven ber om før du regner. Rimelighetssjekk: en laboratoriefjær gir noen få hertz og noen titalls rad/s.

Faktoren 2 i $\gamma = b/2m$ . Uten den blir alle tider halvert, alle antall svingninger halvert og $Q$ halvert — og det gale svaret er eksakt halvparten av det riktige, altså alltid på lista. Skriv $\gamma$ som første regnelinje.

Amplitude mot energi. Amplituden går med $\gamma$ , energien med $2\gamma$ . Igjen skiller de to seg med en faktor 2.

Brøken satt rett inn i stedet for logaritmen. «Tid til en fjerdedel» er $\ln4/\gamma$ , ikke $4/\gamma$ .

Steiner glemt i en fysisk pendel. $I$ skal være om opphengspunktet. For en skive i randen er $I_A = \tfrac32MR^2$ ; med $\tfrac12MR^2$ får du en periode som er $\sqrt{1/3} = 0{,}577$ ganger den riktige.

Feil $d$ i en sammensatt pendel. $d$ er avstanden til systemets felles massesenter, og $M$ er hele massen — ikke én dels verdier.

Serie og parallell forbyttet. Serie gir samlet stivhet mindre enn den minste, parallell større enn den største. Kontrollen tar to sekunder.

$S\cos\theta$ og $S\sin\theta$ forbyttet i konisk pendel. Den loddrette likningen er $S\cos\theta = mg$ . Sjekken «er $S > mg$ ?» avslører feilen umiddelbart.

Desimaltall der oppgaven ber om HELE svingninger. Svaret er heltallsdelen, rundet nedover.

Periode regnet for et overkritisk dempet system. Er $\gamma > \omega_0$ , finnes ingen periode. Sammenlign de to før du regner.

Og faktorfellen som lander på nabo-alternativet (felle #16): denne delen er bygget av kvadratrøtter og faktorer 2, og begge skjuler feil. En kvadratrot halverer den relative feilen, så en 50 prosents feil i $k$ eller $I$ gir bare 22 prosent i perioden — akkurat nok til å treffe nabo-alternativet. Regn alltid innholdet under rottegnet som eget mellomresultat med fire siffer, bruk $2\pi = 6{,}28319$ , $\ln2 = 0{,}69315$ og $\ln4 = 1{,}38629$ , og gjør sluttsjekken på enhet og størrelsesorden før du krysser av.

Begrepsbank

Begrepsbanken er flashcard- og repetisjonsstoff — den gjentar det du nettopp har lest. Hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget for kapitlet gjelder oppgavene.

Sjanger M7 i MC-tempo

k

Sjanger M8 i MC-tempo

T = 2\pi\sqrt{I_A/(Mgd)}

2\pi

-disiplinen

\omega = 2\pi f = 2\pi/T

\gamma = b/2m

-disiplinen

\gamma = b/2m

Steiner-refleksen i pendeloppgaver

I_A = I_\text{CM} + Md^2

Amplitude eller energi?

A(t) = A_0e^{-\gamma t}

MC-tempo i svingningsoppgaver

d

Eliminasjon ved grenser i svingningsoppgaver

\omega' < \omega_0

Symbol- og formelliste

Repetisjonsoppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.

5.3 Drill: svingninger og pendler (sjanger M7, M8)

Forkunnskaper — sist du var her

Økt 2 — M7: egenfrekvens og fjærkoblinger (~22 min)

Økt 3 — M8: pendler (~22 min)

Økt 4 — M7: demping, QQQ og resonans (~21 min)

Begrepsbank

Økt 4 — M7: demping, $Q$ og resonans (~21 min)