3.9 Derivasjon, tangent og momentan vekstfart

Gjennomsnittlig og momentan vekstfart, definisjonen av den deriverte, derivasjonsreglene, tangentlikning og tolkning av den deriverte i modeller og økonomi.

60 min

18 oppgaver

Gjennomsnittlig vekstfartMomentan vekstfartDen deriverteDerivasjonsreglerTangentlikningGrensekostnad

Din fremgang i kapitlet

0 / 18 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

3.6Avansert funksjonsanalyse

Vekstfart

Den deriverte $f'(a)$ måler hvor fort $f$ endrer seg når $x = a$ . I S2 brukes den til å tolke modeller: hvor fort en bestand vokser, hvor fort en temperatur synker, og hva det koster å produsere én enhet til. Kapitlet repeterer definisjonen og derivasjonsreglene og bruker dem på tangenter og momentan vekstfart i praktiske modeller.

Gjennomsnittlig vekstfart

Når $x$ øker fra $a$ til $b$ , endrer funksjonsverdien seg med $f(b) - f(a)$ . Endringen per enhet er den gjennomsnittlige vekstfarten:

$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$

Dette er stigningstallet til sekanten, den rette linja gjennom punktene $(a, f(a))$ og $(b, f(b))$ . Enheten er enheten til $y$ per enhet til $x$ , for eksempel meter per sekund eller kroner per enhet.

✏️Gjennomsnittlig vekstfart

En ball kastes rett opp. Høyden etter

t

sekunder er

$h(t) = -5t^2 + 20t + 1{,}5$

meter.

a) Finn den gjennomsnittlige vekstfarten til $h$ de to første sekundene.

b) Finn den gjennomsnittlige vekstfarten fra $t = 1$ til $t = 2$ .

a)
$h(0) = 1{,}5$
$h(2) = -5 \cdot 4 + 20 \cdot 2 + 1{,}5 = 21{,}5$
$\dfrac{h(2) - h(0)}{2 - 0} = \dfrac{21{,}5 - 1{,}5}{2} = 10$

Svar: Ballen stiger i gjennomsnitt 10 meter per sekund de to første sekundene.

b)
$h(1) = -5 + 20 + 1{,}5 = 16{,}5$
$\dfrac{h(2) - h(1)}{2 - 1} = \dfrac{21{,}5 - 16{,}5}{1} = 5$

Svar: Fra $t = 1$ til $t = 2$ stiger ballen i gjennomsnitt 5 meter per sekund.

Momentan vekstfart og den deriverte

For å finne vekstfarten i ett tidspunkt lar vi intervallet krympe. Den gjennomsnittlige vekstfarten til ballen fra $t = 1$ til $t = 1 + \Delta t$ er

$\begin{aligned} &\frac{h(1 + \Delta t) - h(1)}{\Delta t} \\ = {}&\frac{-5(1 + \Delta t)^2 + 20(1 + \Delta t) + 1{,}5 - 16{,}5}{\Delta t} \\ = {}&\frac{10\Delta t - 5(\Delta t)^2}{\Delta t} \\ = {}&10 - 5\Delta t \end{aligned}$

$\Delta t$	$1$	$0{,}1$	$0{,}01$	$0{,}001$
$10 - 5\Delta t$	$5$	$9{,}5$	$9{,}95$	$9{,}995$

Når

\Delta t \to 0

, går den gjennomsnittlige vekstfarten mot

10

. Ballen stiger med 10 meter per sekund i øyeblikket

t = 1

. Sekantene nærmer seg en linje som berører grafen i punktet

(1;\ 16{,}5)

, tangenten. Figuren under viser sekanten fra

t = 1

til

t = 2

og tangenten i

t = 1

Den deriverte

f

✏️Den deriverte fra definisjonen

Bruk definisjonen til å finne $f'(x)$ når $f(x) = x^2 - 3x$ .

f(x + h) - f(x) = (x + h)^2 - 3(x + h) - (x^2 - 3x)

= x^2 + 2xh + h^2 - 3x - 3h - x^2 + 3x

= 2xh + h^2 - 3h

$\dfrac{f(x + h) - f(x)}{h} = \dfrac{2xh + h^2 - 3h}{h} = 2x + h - 3$

$f'(x) = \lim\limits_{h \to 0} (2x + h - 3) = 2x - 3$

Svar: $f'(x) = 2x - 3$

Derivasjonsreglene

Med definisjonen kan vi vise at $(x^2)' = 2x$ og $(x^3)' = 3x^2$ (oppgave 2). For positive hele tall $n$ gir samme regning $(x^n)' = n\,x^{n-1}$ . Regelen gjelder for alle reelle eksponenter $r$ , for eksempel

$\begin{aligned} &\left(\frac{1}{x}\right)' = (x^{-1})' = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2} \\ &(\sqrt{x})' = \left(x^{\frac{1}{2}}\right)' = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \end{aligned}$

Produktregelen følger av definisjonen. Vi legger til og trekker fra $u(x)\,v(x + h)$ i telleren:

$\begin{aligned} &\frac{u(x+h)v(x+h) - u(x)v(x)}{h} \\ = {}&\frac{u(x+h) - u(x)}{h} \cdot v(x+h) + u(x) \cdot \frac{v(x+h) - v(x)}{h} \end{aligned}$

Når $h \to 0$ , går den første brøken mot $u'(x)$ , $v(x + h)$ mot $v(x)$ og den siste brøken mot $v'(x)$ :

$(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'$

Kjerneregelen gjelder for sammensatte funksjoner $g(u(x))$ : en liten endring $\Delta x$ gir endringen $\Delta u \approx u'(x)\,\Delta x$ i kjernen og dermed $\Delta g \approx g'(u)\,\Delta u \approx g'(u)\,u'(x)\,\Delta x$ . Brøkregelen følger av produktregelen og kjerneregelen (oppgave 5). Den deriverte av $e^x$ og $\ln x$ er utledet i kapittel 3.6.

📜Derivasjonsreglene

Funksjon	Derivert
$c$ (konstant)	$0$
$x^r$	$r\,x^{r-1}$
$e^x$	$e^x$
$e^{kx}$	$k\,e^{kx}$
$a^x$	$a^x \ln a$
$\ln x$	$\dfrac{1}{x}$

(c \cdot f)' = c \cdot f' \qquad (f + g)' = f' + g'

(u \cdot v)' = u'v + uv' \qquad \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}

\big(g(u(x))\big)' = g'(u) \cdot u'(x)

✏️Bruke derivasjonsreglene

Deriver funksjonene.

a) $f(x) = 3x^4 - 2x^2 + 5$

b) $g(x) = \dfrac{4}{x}$

c) $h(x) = 6\sqrt{x}$

d) $k(x) = x^2 e^{3x}$

e) $m(x) = \dfrac{2x}{x + 1}$

f) $n(x) = (x^2 + 3)^5$

g) $p(x) = \ln(4x + 1)$

a)
$f'(x) = 12x^3 - 4x$

b)
$g(x) = 4x^{-1}$
$g'(x) = -4x^{-2} = -\dfrac{4}{x^2}$

c)
$\displaystyle h(x) = 6x^{\frac{1}{2}}$
$\displaystyle h'(x) = 6 \cdot \dfrac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \dfrac{3}{\sqrt{x}}$

d)
Produktregelen:
$k'(x) = 2x \cdot e^{3x} + x^2 \cdot 3e^{3x} = x(3x + 2)e^{3x}$

e)
Brøkregelen:
$m'(x) = \dfrac{2(x + 1) - 2x \cdot 1}{(x + 1)^2} = \dfrac{2}{(x + 1)^2}$

f)
Kjernen er $u = x^2 + 3$ , så $u' = 2x$ .
$n'(x) = 5(x^2 + 3)^4 \cdot 2x = 10x(x^2 + 3)^4$

g)
Kjernen er $u = 4x + 1$ , så $u' = 4$ .
$p'(x) = \dfrac{1}{4x + 1} \cdot 4 = \dfrac{4}{4x + 1}$

Svar: a) $12x^3 - 4x$ b) $-\dfrac{4}{x^2}$ c) $\dfrac{3}{\sqrt{x}}$ d) $x(3x + 2)e^{3x}$ e) $\dfrac{2}{(x + 1)^2}$ f) $10x(x^2 + 3)^4$ g) $\dfrac{4}{4x + 1}$

Tangentlikning

En rett linje med stigningstall $k$ gjennom punktet $(x_1, y_1)$ har likningen $y - y_1 = k(x - x_1)$ . Tangenten i punktet $(a, f(a))$ har stigningstall $k = f'(a)$ :

$y - f(a) = f'(a)(x - a)$

I GeoGebra tegner Tangent(1, f) tangenten til $f$ i $x = 1$ og viser likningen i algebrafeltet.

✏️Tangentlikning

Funksjonen $f$ er gitt ved $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ .

a) Finn likningen for tangenten til grafen til $f$ i $x = 1$ .

b) Finn punktene på grafen der tangenten er horisontal.

a)
$f(1) = 1 - 3 + 2 = 0$
$f'(x) = 3x^2 - 6x$
$f'(1) = 3 - 6 = -3$
$y - 0 = -3(x - 1)$
$y = -3x + 3$

Svar: $y = -3x + 3$

b)
$f'(x) = 0$
$3x^2 - 6x = 0$
$3x(x - 2) = 0$
$x = 0 \quad \vee \quad x = 2$
$f(0) = 2$
$f(2) = 8 - 12 + 2 = -2$

Svar: Tangenten er horisontal i $(0, 2)$ og $(2, -2)$ .

✏️Momentan vekstfart i en modell

En kopp kaffe settes på et bord. Temperaturen etter

t

minutter er

$T(t) = 20 + 70e^{-0{,}08t}$

grader celsius.

a) Finn $T'(5)$ . Hva betyr svaret?

b) Finn den gjennomsnittlige vekstfarten til $T$ de fem første minuttene.

c) Når synker temperaturen med 1 °C per minutt?

a)
$T'(t) = 70 \cdot (-0{,}08)e^{-0{,}08t} = -5{,}6e^{-0{,}08t}$
$T'(5) = -5{,}6e^{-0{,}4} \approx -3{,}75$

Svar: Etter 5 minutter synker temperaturen med omtrent 3,75 °C per minutt.

b)
$T(0) = 20 + 70 = 90$
$T(5) = 20 + 70e^{-0{,}4} \approx 66{,}92$
$\dfrac{T(5) - T(0)}{5 - 0} \approx \dfrac{66{,}92 - 90}{5} \approx -4{,}62$

Svar: De fem første minuttene synker temperaturen i gjennomsnitt med 4,62 °C per minutt.

c)
$T'(t) = -1$
$-5{,}6e^{-0{,}08t} = -1$
$e^{-0{,}08t} = \dfrac{1}{5{,}6}$
$-0{,}08t = -\ln 5{,}6$
$t = \dfrac{\ln 5{,}6}{0{,}08} \approx 21{,}5$

Svar: Etter omtrent 21,5 minutter synker temperaturen med 1 °C per minutt.

✏️Sammenlikne vekstfarten i to modeller

Antall fisk i to innsjøer er gitt ved modellene

$f(t) = 500e^{0{,}03t} \qquad g(t) = 200e^{0{,}06t}$

der $t$ er antall år etter 2025.

a) Finn $f'(10)$ og $g'(10)$ . Hva betyr svarene?

b) Fra hvilket tidspunkt vokser bestanden i den andre innsjøen raskest?

a)
I inntastingsfeltet i GeoGebra:
f(t) = 500 e^(0.03 t)
g(t) = 200 e^(0.06 t)
f'(10) gir $20{,}25$
g'(10) gir $21{,}87$

For hånd:
$f'(t) = 500 \cdot 0{,}03e^{0{,}03t} = 15e^{0{,}03t}$
$g'(t) = 200 \cdot 0{,}06e^{0{,}06t} = 12e^{0{,}06t}$
$f'(10) = 15e^{0{,}3} \approx 20{,}25$
$g'(10) = 12e^{0{,}6} \approx 21{,}87$

Svar: I 2035 vokser bestanden i den første innsjøen med omtrent 20 fisk per år og i den andre med omtrent 22 fisk per år.

b)
Løs(g'(t) = f'(t)) gir $t \approx 7{,}44$

For hånd:
$12e^{0{,}06t} = 15e^{0{,}03t}$
$e^{0{,}03t} = 1{,}25$
$t = \dfrac{\ln 1{,}25}{0{,}03} \approx 7{,}44$

$\dfrac{g'(t)}{f'(t)} = 0{,}8e^{0{,}03t}$ vokser, så $g'(t) > f'(t)$ for $t > 7{,}44$ .

Svar: Fra omtrent 7,4 år etter 2025, altså i løpet av 2032, vokser bestanden i den andre innsjøen raskest.

Momentan vekstfart i økonomi

Er $K(x)$ kostnaden ved å produsere $x$ enheter, er grensekostnaden $K'(x)$ den momentane vekstfarten til kostnaden, målt i kroner per enhet. Sekanten over ett steg gir

$K'(x) \approx \frac{K(x + 1) - K(x)}{1} = K(x + 1) - K(x)$

Grensekostnaden er derfor omtrent det det koster å produsere én enhet til. På samme måte er grenseinntekten $I'(x)$ omtrent økningen i inntekten når salget øker med én enhet. Leser vi av en graf, er grensekostnaden stigningstallet til tangenten i punktet.

Vanlige feil

- Gjennomsnittlig vekstfart gjelder et intervall, momentan vekstfart ett punkt. «Fra … til …» betyr gjennomsnitt; «i …» eller «etter …» betyr momentan vekstfart.
- $f'(a)$ er stigningstallet, ikke funksjonsverdien. Tangentlikningen trenger både $f(a)$ og $f'(a)$ .
- En tolkning skal ha enhet og retning: «temperaturen synker med 3,75 °C per minutt», ikke bare $-3{,}75$ .

📝Oppgave 1

Funksjonen $f$ er gitt ved $f(x) = x^2 + 2x$ .

Finn den gjennomsnittlige vekstfarten til $f$ fra $x = 1$ til $x = 4$ .

Finn den gjennomsnittlige vekstfarten til $f$ fra $x = 0$ til $x = 2$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 2

Bruk definisjonen av den deriverte.

Finn $f'(x)$ når $f(x) = 3x^2$ .

Finn $f'(x)$ når $f(x) = x^2 - 4x$ .

Vis at $(x^3)' = 3x^2$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 3

Deriver funksjonene.

f(x) = 4x^3 - 2x^2 + 7

g(x) = \dfrac{5}{x}

h(x) = 2\sqrt{x}

k(x) = 3e^{2x} - x

Løs oppgaven

📝Oppgave 4

Deriver funksjonene.

f(x) = x^2 e^x

g(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 3}

h(x) = (x^2 + 1)^4

k(x) = x \ln x

Løs oppgaven

📝Oppgave 5

Skriv

\dfrac{u}{v} = u \cdot v^{-1}

og bruk produktregelen og kjerneregelen til å vise brøkregelen

$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

Vis brøkregelen.

📝Oppgave 6

Funksjonen $f$ er gitt ved $f(x) = x^3 - 2x$ .

Finn likningen for tangenten til grafen til $f$ i $x = 2$ .

📝Oppgave 7

Finn likningen for tangenten.

f(x) = 2\ln x

x = 1

g(x) = x e^{-x}

x = 0

📝Oppgave 8

Funksjonen $f$ er gitt ved $f(x) = x^3 - 3x^2 + 1$ .

Finn punktene på grafen der tangenten har stigningstall $9$ .

Finn likningene for de to tangentene.

📝Oppgave 9

En flaske brus settes i kjøleskapet. Temperaturen etter

t

minutter er

$T(t) = 4 + 18e^{-0{,}15t}$

grader celsius.

Finn $T'(10)$ . Hva betyr svaret?

Finn den gjennomsnittlige vekstfarten til $T$ de ti første minuttene.

Når synker temperaturen med 1 °C per minutt?

Løs oppgaven

📝Oppgave 10

Kostnaden ved å produsere

x

enheter av en vare er

$K(x) = 0{,}02x^2 + 40x + 5000$

kroner.

Finn grensekostnaden $K'(100)$ . Hva betyr svaret?

Regn ut $K(101) - K(100)$ og sammenlikn med svaret i a).

For en annen vare går tangenten til kostnadsgrafen i $x = 40$ gjennom punktene $(0, 600)$ og $(40, 1840)$ . Finn grensekostnaden ved 40 enheter.

Løs oppgaven

📝Oppgave 11

Funksjonen $f$ er gitt ved $f(x) = x^2$ . Finn likningene for tangentene til grafen som går gjennom punktet $(1, -3)$ .

Finn tangentene.

📝Oppgave 12

Vis at tangenten til grafen til $f(x) = e^x$ i $x = a$ skjærer $x$ -aksen i $x = a - 1$ .

Vis påstanden.

📝Oppgave 13

En tangent til grafen til $f(x) = \ln x$ går gjennom origo. Finn tangeringspunktet og likningen for tangenten.

Finn tangeringspunktet og tangenten.

Oppsummering

- Gjennomsnittlig vekstfart fra $a$ til $b$ : $\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$ , stigningstallet til sekanten.
- Momentan vekstfart: $f'(a) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(a + h) - f(a)}{h}$ , stigningstallet til tangenten.
- Tangenten i $(a, f(a))$ : $y - f(a) = f'(a)(x - a)$ .
- Produktregelen, brøkregelen og kjerneregelen gjør det mulig å derivere sammensatte modeller.
- Svar på tolkningsspørsmål med enhet og retning: «øker med … per …» eller «synker med … per …».
- Grensekostnaden $K'(x)$ er omtrent kostnaden ved å produsere én enhet til.

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.