1.8 Andregradsfunksjoner og -likninger

Abc-formelen, diskriminant, toppunkt, faktorisering og optimalisering.

60 min

12 oppgaver

AndregradsfunksjonAbc-formelenDiskriminantToppunktFaktorisering

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 12 oppgaver

Andregradsfunksjoner

En andregradsfunksjon har formen:

$f(x) = ax^2 + bx + c, \quad a \neq 0$

Grafen til en andregradsfunksjon er en parabel:
- Dersom $a > 0$ , peker parabelen oppover (bunnpunkt).
- Dersom $a < 0$ , peker parabelen nedover (toppunkt).

Andregradsfunksjoner brukes mye i S1 til å modellere situasjoner der veksten ikke er konstant, for eksempel inntekter, arealer og bevegelse.

Andregradslikninger

En andregradslikning har den generelle formen:

$ax^2 + bx + c = 0, \quad a \neq 0$

Løsningene til denne likningen kalles nullpunktene til funksjonen $f(x) = ax^2 + bx + c$ , og de kan finnes ved hjelp av abc-formelen.

📜abc-formelen

Likningen

ax^2 + bx + c = 0

har løsningene:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Utledning: Vi fullstendiggjør kvadratet. Vi deler på $a$ og legger til $\displaystyle \left(\frac{b}{2a}\right)^2$ på begge sider:

$ax^2 + bx + c = 0$
$x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}$
$x^2 + \frac{b}{a}x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 = \left(\frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{c}{a}$
$\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$
$x + \frac{b}{2a} = \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Diskriminanten

ax^2 + bx + c = 0

✏️Eksempel 1: Bruk av abc-formelen

Løs likningen $2x^2 - 5x - 3 = 0$ .

Løsning:

Her er $a = 2$ , $b = -5$ og $c = -3$ .

Diskriminanten:
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49$

Siden $D > 0$ , har vi to løsninger:

$x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm 7}{4}$

$x_1 = \frac{5 + 7}{4} = 3 \qquad x_2 = \frac{5 - 7}{4} = -\frac{1}{2}$

Svar: $x = 3$ eller $\displaystyle x = -\frac{1}{2}$ .

Toppunkt, bunnpunkt og symmetriakse

f(x) = ax^2 + bx + c

✏️Eksempel 2: Finn toppunkt og skisser graf

Gitt $f(x) = -x^2 + 6x - 5$ . Finn toppunkt, nullpunkter, symmetriakse og skisser grafen.

Løsning:

Toppunkt: $a = -1$ , $b = 6$ , $c = -5$ .

$x_T = -\frac{6}{2 \cdot (-1)} = 3$
$y_T = f(3) = -9 + 18 - 5 = 4$

Toppunktet er $(3, 4)$ . Symmetriaksen er $x = 3$ .

Nullpunkter: $-x^2 + 6x - 5 = 0 \Rightarrow x^2 - 6x + 5 = 0$

$D = 36 - 20 = 16$
$x = \frac{6 \pm 4}{2} \Rightarrow x_1 = 5, \quad x_2 = 1$

Toppunktform: $f(x) = -(x - 3)^2 + 4$

Grafen: Parabelen peker nedover ( $a = -1 < 0$ ), har toppunkt i $(3, 4)$ og krysser $x$ -aksen i $(1, 0)$ og $(5, 0)$ . $y$ -akseskjæring: $f(0) = -5$ .

Parabelen f(x) = −x² + 6x − 5 med toppunkt (3, 4), nullpunkter (1, 0) og (5, 0), skjæring med y-aksen i (0, −5) og stiplet symmetriakse x = 3.

Svar: Toppunkt $(3, 4)$ , nullpunkter $x = 1$ og $x = 5$ , symmetriakse $x = 3$ .

Gjør dette i GeoGebra

Utforsk: Andregradsfunksjonen

Parabelen

f(x) = x^2 - 2x - 3

med nullpunkter og toppunkt/bunnpunkt markert. Endre koeffisientene og se hvordan nullpunktene og ekstremalpunktet flytter seg.

Skriv inn én linje om gangen i inntastingsfeltet:

f(x) = x^2 - 2x - 3
Nullpunkt(f)
E = Ekstremalpunkt(f)

Med språket satt til norsk forstår GeoGebra kommandonavnene både på norsk og engelsk.

Åpne GeoGebra

Faktorisering av andregradsuttrykk

Når vi kjenner nullpunktene $x_1$ og $x_2$ , kan vi faktorisere:

$ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$

Spesialtilfeller:
- Dobbeltrot ( $D = 0$ ): $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)^2$
- Ingen reelle nullpunkter ( $D < 0$ ): uttrykket kan ikke faktoriseres over de reelle tallene

Faktorisering er nyttig for å løse ulikheter, forenkle brøkuttrykk og forstå grafens oppførsel.

Husk at $a$ -verdien foran parentesene må være med når du faktoriserer. For eksempel: $2x^2 - 10x + 12 = 2(x - 2)(x - 3)$ , ikke $(x - 2)(x - 3)$ .

✏️Eksempel 3: Optimalisering

En bonde har 120 meter gjerde og vil lage en rektangulær innhegning langs en vegg (slik at kun tre sider trenger gjerde). Finn dimensjonene som gir størst mulig areal.

Løsning:

La $x$ = lengden på de to sidene vinkelrett på veggen, og $y$ = lengden langs veggen.

Betingelse: $2x + y = 120 \Rightarrow y = 120 - 2x$

Areal: $A(x) = x \cdot y = x(120 - 2x) = 120x - 2x^2$

Dette er en andregradsfunksjon med $a = -2 < 0$ , så den har et maksimum.

Toppunkt:
$x_T = -\frac{120}{2 \cdot (-2)} = 30$

$y = 120 - 2 \cdot 30 = 60$

$A_{\max} = 30 \cdot 60 = 1800$

Svar: Innhegningen bør ha sider $30$ m og $60$ m langs veggen, noe som gir et areal på $1800$ m $^2$ .

📝Oppgave 1.8.1

Løs andregradslikningene med abc-formelen.

x^2 - 5x + 6 = 0

2x^2 + 3x - 2 = 0

x^2 + 4x + 4 = 0

3x^2 - x - 4 = 0

Løs oppgaven

📝Oppgave 1.8.2

Bruk diskriminanten til å avgjøre hvor mange løsninger likningen har (uten å løse den).

3x^2 - 2x + 5 = 0

4x^2 - 12x + 9 = 0

x^2 + x - 6 = 0

5x^2 + 2x + 1 = 0

Løs oppgaven

📝Oppgave 1.8.3

Gitt $f(x) = x^2 - 8x + 12$ .

Finn nullpunktene til $f$ .

Finn toppunktet (bunnpunktet) til parabelen.

Skriv $f(x)$ på toppunktform.

Faktoriser $f(x)$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 1.8.4

En bedrift selger $x$ enheter av et produkt til prisen $p(x) = 500 - 2x$ kr per enhet. Produksjonskostnaden per enhet er 100 kr, og faste kostnader er 10 000 kr.

Finn inntektsfunksjonen $I(x) = x \cdot p(x)$ .

Finn kostnadsfunksjonen $K(x)$ .

Finn overskuddsfunksjonen $O(x) = I(x) - K(x)$ .

Finn det antallet enheter som gir størst overskudd, og beregn overskuddet.

Løs oppgaven

📝Oppgave 1.8.5

For hvilken verdi av $k$ har likningen $x^2 - 6x + k = 0$ nøyaktig en løsning?

📝Oppgave 1.8.6

En ball kastes opp fra bakken med en starthastighet på 20 m/s. Høyden etter $t$ sekunder er gitt ved $h(t) = 20t - 5t^2$ .

Når er ballen på 15 meters høyde?

Finn den maksimale høyden.

Når treffer ballen bakken igjen?

Løs oppgaven

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Andregradsfunksjon: $f(x) = ax^2 + bx + c$ har en parabel som graf. Den vender den hule siden opp når $a > 0$ og ned når $a < 0$ .
- abc-formelen: Løser $ax^2 + bx + c = 0$ . Diskriminanten $b^2 - 4ac$ avgjør antall løsninger: to hvis positiv, én hvis null, ingen hvis negativ.
- Toppunkt/bunnpunkt: Ligger på symmetriaksen $x = -\dfrac{b}{2a}$ .
- Faktorisering: $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$ der $x_1$ og $x_2$ er nullpunktene.

Nøkkelbegreper

Begrep	Forklaring
Parabel	Grafen til en andregradsfunksjon
Diskriminant	$b^2 - 4ac$ — avgjør antall reelle løsninger
Symmetriakse	Vertikal linje $\displaystyle x = -\frac{b}{2a}$ gjennom topp-/bunnpunktet
Nullpunkt	$x$ -verdi der grafen krysser $x$ -aksen

Viktige formler

- abc-formelen:

x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

- Symmetriakse:

x = -\dfrac{b}{2a}

- Faktorisering:

ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 6 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.