1.7 Likningssett

Grafisk løsning, innsettingsmetoden, addisjonsmetoden og tolkning av løsninger.

55 min

11 oppgaver

LikningssettInnsettingsmetodenAddisjonsmetodenGrafisk løsning

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 11 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

1.6Rette linjer og ettpunktsformelen

Lineære likningssett

Et lineært likningssett med to ukjente $x$ og $y$ består av to eller flere lineære likninger som skal løses samtidig:

$\begin{cases} a_1 x + b_1 y = c_1 \\ a_2 x + b_2 y = c_2 \end{cases}$

Løsningen er de verdiene av $x$ og $y$ som oppfyller begge likningene samtidig.

Geometrisk representerer hver likning en rett linje i koordinatsystemet, og løsningen er skjæringspunktet mellom de to linjene.

Grafisk løsning

Den enkleste metoden er å tegne begge linjene i et koordinatsystem og lese av skjæringspunktet.

Fremgangsmaate:
1. Skriv begge likningene på formen $y = ax + b$ .
2. Tegn begge linjene i et koordinatsystem.
3. Les av koordinatene til skjæringspunktet.

Fordel: Gir en god visuell forståelse av problemet.
Ulempe: Vanskelig å lese av nøyaktige verdier, spesielt for brøker og desimaltall.

Geometrisk tolkning av likningssett

a_1 \neq a_2

Innsettingsmetoden

Innsettingsmetoden (substitusjonsmetoden) går ut på å løse en likning for en av de ukjente og sette uttrykket inn i den andre likningen.

Fremgangsmaate:
1. Løs den ene likningen for $x$ eller $y$ .
2. Sett uttrykket inn i den andre likningen.
3. Løs den nye likningen (med bare en ukjent).
4. Sett verdien tilbake for å finne den andre ukjente.

Metoden fungerer best når en av koeffisientene er 1 eller $-1$ , slik at vi unngår brøker.

✏️Eksempel 1: Innsettingsmetoden

Løs likningssettet:

$\begin{cases} 2x + y = 7 \\ x - 3y = -6 \end{cases}$

Løsning:

Steg 1: Løs likning (I) for $y$ :
$y = 7 - 2x$

Steg 2: Sett inn i likning (II):
$x - 3(7 - 2x) = -6$
$x - 21 + 6x = -6$
$7x = 15$
$x = \frac{15}{7}$

Steg 3: Finn $y$ :
$y = 7 - 2 \cdot \frac{15}{7} = \frac{49 - 30}{7} = \frac{19}{7}$

Svar: $\displaystyle x = \frac{15}{7}$ og $\displaystyle y = \frac{19}{7}$ .

Kontroll i (II): $\displaystyle \frac{15}{7} - 3 \cdot \frac{19}{7} = \frac{15 - 57}{7} = \frac{-42}{7} = -6$ ✓

Addisjonsmetoden

Addisjonsmetoden (eliminasjonsmetoden) går ut på å legge sammen eller trekke fra likningene slik at en av de ukjente forsvinner.

Fremgangsmaate:
1. Multipliser eventuelt den ene eller begge likningene med passende tall slik at koeffisienten foran en av de ukjente blir lik (med motsatt fortegn).
2. Adder de to likningene.
3. Løs likningen med en ukjent.
4. Sett verdien inn i en av de opprinnelige likningene for å finne den andre ukjente.

Metoden fungerer godt når koeffisientene er heltall, og vi kan unngå brøker.

✏️Eksempel 2: Addisjonsmetoden

Løs likningssettet:

$\begin{cases} 3x + 2y = 12 \\ 5x - 2y = 4 \end{cases}$

Løsning:

Vi ser at koeffisientene foran $y$ allerede har motsatt fortegn ( $+2$ og $-2$ ), så vi legger sammen likningene:

$\begin{aligned} 3x + 2y &= 12 \\ + \; 5x - 2y &= 4 \\ \hline 8x &= 16 \end{aligned}$

$x = 2$

Setter inn i (I): $3 \cdot 2 + 2y = 12 \Rightarrow 2y = 6 \Rightarrow y = 3$ .

Svar: $x = 2$ og $y = 3$ .

Kontroll i (II): $5 \cdot 2 - 2 \cdot 3 = 10 - 6 = 4$ ✓

✏️Eksempel 3: Praktisk problem

En kinobillettbutikk selger voksenbilletter for 150 kr og barnebilletter for 90 kr. En dag solgte de til sammen 200 billetter og hadde en inntekt på 24 600 kr. Hvor mange voksenbilletter og hvor mange barnebilletter ble solgt?

Løsning:

La $v$ = antall voksenbilletter og $b$ = antall barnebilletter.

$\begin{cases} v + b = 200 \\ 150v + 90b = 24\,600 \end{cases}$

Fra likning (I): $v = 200 - b$ . Setter inn i (II):

$150(200 - b) + 90b = 24\,600$
$30\,000 - 150b + 90b = 24\,600$
$-60b = -5\,400$
$b = 90$

Da er $v = 200 - 90 = 110$ .

Svar: Det ble solgt 110 voksenbilletter og 90 barnebilletter.

Kontroll: $110 + 90 = 200$ ✓ og $150 \cdot 110 + 90 \cdot 90 = 16\,500 + 8\,100 = 24\,600$ ✓

Spesialtilfeller

Ikke alle likningssett har en entydig løsning.

Ingen løsning: Dersom eliminasjonen gir en selvmotsigelse (f.eks. $0 = 5$ ), har likningssettet ingen løsning. Geometrisk betyr dette at linjene er parallelle.

Uendelig mange løsninger: Dersom eliminasjonen gir en identitet (f.eks. $0 = 0$ ), har likningssettet uendelig mange løsninger. Geometrisk betyr dette at linjene er identiske.

Det er viktig å kjenne igjen disse tilfellene og kunne forklare hva som skjer geometrisk.

I S1-eksamen forventes det at du kan løse likningssett med både innsettingsmetoden og addisjonsmetoden. Velg den metoden som gir enklest regning. Husk alltid å kontrollere svaret ved innsetting i begge de opprinnelige likningene.

📝Oppgave 1.7.1

Løs likningssettene med innsettingsmetoden.

\begin{cases} y = 2x + 1 \\ 3x + y = 11 \end{cases}

\begin{cases} x + 2y = 8 \\ 3x - y = 3 \end{cases}

\begin{cases} 2x - y = 4 \\ x + 3y = 5 \end{cases}

📝Oppgave 1.7.2

Løs likningssettene med addisjonsmetoden.

\begin{cases} 2x + 3y = 13 \\ 2x - y = 1 \end{cases}

\begin{cases} 4x + 5y = 23 \\ 3x + 5y = 20 \end{cases}

\begin{cases} 3x + 4y = 10 \\ 5x - 2y = 8 \end{cases}

📝Oppgave 1.7.3

Avgjor om likningssettet har en løsning, ingen løsning eller uendelig mange løsninger. Begrunn svaret.

\begin{cases} 2x - 4y = 6 \\ -x + 2y = -3 \end{cases}

\begin{cases} 3x + 6y = 9 \\ x + 2y = 5 \end{cases}

\begin{cases} 5x - 3y = 7 \\ 2x + y = 4 \end{cases}

📝Oppgave 1.7.4

En frukthandler selger epler og paerer. Per kjøpte 3 kg epler og 2 kg paerer og betalte 110 kr. Lise kjøpte 2 kg epler og 4 kg paerer og betalte 120 kr. Finn kiloprisen for epler og paerer.

Sett opp et likningssett med $e$ = kilopris epler og $p$ = kilopris paerer.

Løs likningssettet.

📝Oppgave 1.7.5

Løs likningssettet:

$\begin{cases} \frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 5 \\ \frac{x}{4} - \frac{y}{6} = 1 \end{cases}$

📝Oppgave 1.7.6

To tall har summen 50 og differansen 14. Finn tallene. Deretter: Tre kaffer og to boller koster 145 kr, mens to kaffer og tre boller koster 130 kr. Finn prisen for en kaffe og en bolle.

Finn de to tallene med sum 50 og differanse 14.

Finn prisen for kaffe ( $k$ ) og bolle ( $b$ ).

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Lineært likningssett: To likninger med to ukjente. Løsningen er skjæringspunktet mellom de to linjene.
- Innsettingsmetoden: Løs den ene likningen for én variabel, og sett uttrykket inn i den andre.
- Addisjonsmetoden: Gang likningene med passende tall slik at en variabel forsvinner når du legger dem sammen.
- Spesialtilfeller: Parallelle linjer gir ingen løsning, sammenfallende linjer gir uendelig mange løsninger.

Nøkkelbegreper

Begrep	Forklaring
Likningssett	Flere likninger som skal gjelde samtidig
Innsettingsmetoden	Sette uttrykk for én variabel inn i den andre likningen
Addisjonsmetoden	Legge sammen likninger så en variabel elimineres
Inkonsistent system	Likningssett uten løsning (parallelle linjer)

Viktige formler

- Én løsning: linjene skjærer hverandre (ulike stigningstall)
- Ingen løsning: parallelle linjer (samme stigningstall, ulikt konstantledd)
- Uendelig mange: samme linje

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.