1.6 Rette linjer og ettpunktsformelen

Stigningstall, ettpunktsformelen, topunktsformelen, parallelle og vinkelrette linjer.

50 min

11 oppgaver

StigningstallEttpunktsformelTopunktsformelParallelle linjerVinkelrette linjer

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 11 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Brukes videre i

1.7Likningssett

Rette linjer

En rett linje i et koordinatsystem kan beskrives ved en likning på formen $y = ax + b$ , der:
- $a$ er stigningstallet (hvor mye $y$ endrer seg når $x$ øker med 1)
- $b$ er konstantleddet (der linja krysser $y$ -aksen)

Rette linjer er fundamentale i matematikk og naturvitenskap. De brukes til å modellere lineære sammenhenger, for eksempel prising, temperaturomregning og bevegelse med konstant fart.

I S1 trenger vi mer presise metoder for å finne linjens likning ut fra ulike opplysninger.

Stigningstall (helning)

a

Topunktsformelen

Når vi kjenner to punkter $(x_1, y_1)$ og $(x_2, y_2)$ på en rett linje, kan vi finne likningen i to steg:

1. Beregn stigningstallet: $\displaystyle a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
2. Sett inn i $y = ax + b$ med ett av punktene og løs for $b$ .

Alternativt kan vi bruke topunktsformelen direkte:

$\frac{y - y_1}{x - x_1} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

Denne formelen uttrykker at stigningen mellom et vilkårlig punkt $(x, y)$ på linja og $(x_1, y_1)$ er den samme som stigningen mellom de to kjente punktene.

Ettpunktsformelen

a

✏️Eksempel 1: Ettpunktsformelen

Finn likningen til linja som går gjennom punktet $(3, 5)$ og har stigningstall $a = 2$ .

Løsning:

Vi bruker ettpunktsformelen $y - y_1 = a(x - x_1)$ med $(x_1, y_1) = (3, 5)$ og $a = 2$ :

$y - 5 = 2(x - 3)$
$y - 5 = 2x - 6$
$y = 2x - 1$

Svar: Linja har likningen $y = 2x - 1$ .

Kontroll: For $x = 3$ : $y = 2 \cdot 3 - 1 = 5$ ✓

✏️Eksempel 2: Linje gjennom to punkter

Finn likningen til linja som går gjennom punktene $A(1, 4)$ og $B(4, -2)$ .

Løsning:

Steg 1: Finn stigningstallet:

$a = \frac{-2 - 4}{4 - 1} = \frac{-6}{3} = -2$

Steg 2: Bruk ettpunktsformelen med punktet $(1, 4)$ :

$y - 4 = -2(x - 1)$
$y - 4 = -2x + 2$
$y = -2x + 6$

Svar: Linja har likningen $y = -2x + 6$ .

Kontroll: For $x = 4$ : $y = -2 \cdot 4 + 6 = -2$ ✓

📊Utforsk: Ettpunktsformelen

Linjen gjennom punktet $(2, 3)$ med stigningstall $\displaystyle -\frac{1}{2}$ , tegnet med ettpunktsformelen $y - y_1 = a(x - x_1)$ . Endre stigningstallet i uttrykket og se hvordan linjen vrir seg om punktet.

📜Parallelle og vinkelrette linjer

La $l_1$ ha stigningstall $a_1$ og $l_2$ ha stigningstall $a_2$ .

Parallelle linjer: $l_1 \parallel l_2 \iff a_1 = a_2$

To linjer er parallelle hvis og bare hvis de har samme stigningstall.

Vinkelrette linjer: $l_1 \perp l_2 \iff a_1 \cdot a_2 = -1$

To linjer er vinkelrette hvis og bare hvis produktet av stigningstallene er $-1$ , det vil si $\displaystyle a_2 = -\frac{1}{a_1}$ .

✏️Eksempel 3: Parallelle og vinkelrette linjer

Linja $l$ har likningen $y = 3x - 1$ . Finn likningen til:

a) linja $m$ som er parallell med $l$ og går gjennom $(2, 1)$

b) linja $n$ som er vinkelrett på $l$ og går gjennom $(6, 4)$

Løsning:

Linja $l$ har stigningstall $a_l = 3$ .

a) Parallell linje: $a_m = a_l = 3$ . Med ettpunktsformelen:

$y - 1 = 3(x - 2)$
$y = 3x - 5$

b) Vinkelrett linje: $\displaystyle a_n = -\frac{1}{a_l} = -\frac{1}{3}$ . Med ettpunktsformelen:

$y - 4 = -\frac{1}{3}(x - 6)$
$y - 4 = -\frac{1}{3}x + 2$
$y = -\frac{1}{3}x + 6$

Svar: a) $y = 3x - 5$ , b) $\displaystyle y = -\frac{1}{3}x + 6$ .

Praktiske anvendelser

Rette linjer brukes ofte til å modellere sammenhenger i virkeligheten:

- Kostnadsfunksjoner: $K(x) = ax + b$ , der $a$ er variabel kostnad per enhet og $b$ er faste kostnader
- Temperaturomregning: $\displaystyle F = \frac{9}{5}C + 32$ (Celsius til Fahrenheit)
- Bevegelse med konstant fart: $s(t) = v \cdot t + s_0$ , der $v$ er fart og $s_0$ startposisjon

Når vi kjenner to datapunkter, kan vi bruke topunktsformelen til å finne den lineære modellen.

Når du skal finne likningen til en rett linje, sjekk alltid svaret ditt ved å sette inn ett av de kjente punktene. Dersom punktet ikke tilfredsstiller likningen, har du gjort en feil.

📝Oppgave 1.6.1

Finn likningen til linja med gitt stigningstall gjennom gitt punkt.

Stigningstall $a = 4$ gjennom $(1, 3)$ .

Stigningstall $\displaystyle a = -\frac{1}{2}$ gjennom $(4, 6)$ .

Stigningstall $a = 0$ gjennom $(2, 7)$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 1.6.2

Finn likningen til linja gjennom de to punktene.

(2, 3)

(5, 9)

(-1, 4)

(3, -4)

(0, -3)

(6, 0)

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 1.6.3

Linja $l$ har likningen $y = -2x + 5$ .

Finn likningen til linja $m$ som er parallell med $l$ og går gjennom $(3, 1)$ .

Finn likningen til linja $n$ som er vinkelrett på $l$ og går gjennom $(0, -2)$ .

Finn skjæringspunktet mellom $l$ og $n$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 1.6.4

En bedrift har faste kostnader på 20 000 kr per måned. Når de produserer 100 enheter, er totalkostnaden 45 000 kr. Vi antar at sammenhengen mellom antall enheter $x$ og totalkostnad $K(x)$ er lineær.

Finn kostnadsfunksjonen $K(x)$ .

Hva koster det å produsere 200 enheter?

Hvor mange enheter kan produseres for 100 000 kr?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 1.6.5

Bestem likningen til linja som står vinkelrett på linja $3x - 2y = 6$ og går gjennom punktet $(3, 1)$ .

📝Oppgave 1.6.6

En trekant har hjørner i $A(0, 0)$ , $B(6, 0)$ og $C(2, 8)$ .

Finn likningen til alle tre sidene i trekanten.

Finn likningen til høyden fra $C$ ned på $AB$ .

Finn likningen til midtnormalen til $AB$ .

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Stigningstall: $a = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ forteller hvor mye $y$ endrer seg når $x$ øker med 1.
- Ettpunktsformelen: En linje gjennom $(x_1, y_1)$ med stigningstall $a$ : $y - y_1 = a(x - x_1)$ .
- Parallelle linjer har samme stigningstall. Vinkelrette linjer har stigningstall som oppfyller $a_1 \cdot a_2 = -1$ .
- Praktisk tolkning: Stigningstallet er endring per enhet (f.eks. pris per km), konstantleddet er startverdien.

Nøkkelbegreper

Begrep	Forklaring
Stigningstall	Endring i $y$ per enhet økning i $x$
Konstantledd	$y$ -verdien der linja krysser $y$ -aksen
Ettpunktsformelen	$y - y_1 = a(x - x_1)$
Vinkelrette linjer	$a_1 \cdot a_2 = -1$

Viktige formler

- Stigningstall:

a = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

- Ettpunktsformelen:

y - y_1 = a(x - x_1)

- Linjas likning:

y = ax + b

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.