1.6 Rette linjer og ettpunktsformelen

Prismodellen til et sykkelbud

En klassekamerat har startet sykkelbudfirma og spør deg til råds: «Jeg vil ta en fast startpris pluss et beløp per kilometer. Hvordan setter jeg opp det matematisk?» Svaret er den enkleste og mest brukte modellen i hele matematikken: den rette linja.

En rett linje i et koordinatsystem kan beskrives ved en likning på formen $y = ax + b$. Tallet $a$ er stigningstallet og forteller hvor mye $y$ endrer seg når $x$ øker med 1 — i budfirmaet er det prisen per kilometer. Tallet $b$ er konstantleddet, der linja krysser $y$-aksen — det er startprisen kunden betaler uansett.

Rette linjer brukes til å modellere alle slags lineære sammenhenger: prising, temperaturomregning, bevegelse med konstant fart. Men i S1 trenger vi mer presise verktøy enn å lese av en graf. Det sentrale begrepet er stigningstallet, og det kan vi regne ut fra to punkter. Stigningstallet til linja gjennom $(x_1, y_1)$ og $(x_2, y_2)$ er

$$a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{\Delta y}{\Delta x}$$

Fortegnet forteller retningen: er $a > 0$, stiger linja fra venstre mot høyre; er $a < 0$, synker den; og er $a = 0$, er linja horisontal. For budfirmaet betyr et stigningstall på 10 at hver ekstra kilometer koster 10 kroner ekstra — og i dette kapittelet skal vi lære å finne hele linjelikningen ut fra nesten hvilke som helst opplysninger.

Ettpunktsformelen og topunktsformelen

Budfirmaet har bestemt seg: én kilometers levering skal koste til sammen et visst beløp, og prisen skal stige jevnt. Generelt får du oppgitt linjeinformasjon på to måter — enten ett punkt og stigningen, eller to punkter — og det finnes en formel for hver.

Ettpunktsformelen (også kalt punktstigningsformelen) sier at linja med stigningstall $a$ gjennom punktet $(x_1, y_1)$ har likningen

$$y - y_1 = a(x - x_1)$$

Den er svært nyttig fordi ett punkt og stigningen er alt du trenger. Skal vi finne linja gjennom $(3, 5)$ med stigningstall $a = 2$, setter vi inn: $y - 5 = 2(x - 3)$, som gir $y - 5 = 2x - 6$ og dermed $y = 2x - 1$. Kontroll: for $x = 3$ er $y = 2 \cdot 3 - 1 = 5$. Stemmer!

Kjenner du to punkter, regner du først ut stigningstallet og bruker deretter ettpunktsformelen med ett av punktene. Linja gjennom $A(1, 4)$ og $B(4, -2)$: stigningstallet er $\displaystyle a = \frac{-2 - 4}{4 - 1} = \frac{-6}{3} = -2$. Så bruker vi punktet $(1, 4)$: $y - 4 = -2(x - 1)$, som gir $y = -2x + 6$. Kontroll med det andre punktet: $y = -2 \cdot 4 + 6 = -2$. Stemmer igjen.

Det finnes også en direkte topunktsformel, $\displaystyle \frac{y - y_1}{x - x_1} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$, som uttrykker at stigningen mellom et vilkårlig punkt $(x, y)$ på linja og $(x_1, y_1)$ er den samme som mellom de to kjente punktene. Uansett hvilken vei du velger: sjekk alltid svaret ved å sette inn et kjent punkt. Tilfredsstiller ikke punktet likningen, har du gjort en feil — og det er bedre at du oppdager det enn at kunden gjør det.

Parallelle og vinkelrette linjer — og modeller i praksis

Budfirmaet vurderer et premiumtilbud: samme pris per kilometer som standardtilbudet, men høyere startpris. Grafisk betyr det to linjer som aldri møtes — parallelle linjer. To linjer $l_1$ og $l_2$ med stigningstall $a_1$ og $a_2$ er parallelle hvis og bare hvis de har samme stigningstall: $l_1 \parallel l_2 \iff a_1 = a_2$.

Vinkelrette linjer har en mer overraskende betingelse: $l_1 \perp l_2 \iff a_1 \cdot a_2 = -1$, det vil si $\displaystyle a_2 = -\frac{1}{a_1}$. Stigningstallene er altså hverandres motsatte resiproker.

La oss regne et eksempel. Linja $l$ har likningen $y = 3x - 1$. Linja $m$ skal være parallell med $l$ og gå gjennom $(2, 1)$: da er $a_m = 3$, og ettpunktsformelen gir $y - 1 = 3(x - 2)$, altså $y = 3x - 5$. Linja $n$ skal stå vinkelrett på $l$ og gå gjennom $(6, 4)$: da er $\displaystyle a_n = -\frac{1}{3}$, og $\displaystyle y - 4 = -\frac{1}{3}(x - 6)$ gir $\displaystyle y = -\frac{1}{3}x + 6$.

Til slutt det store bildet: rette linjer er arbeidshesten i praktisk modellering. Kostnadsfunksjoner skrives $K(x) = ax + b$, der $a$ er variabel kostnad per enhet og $b$ er faste kostnader. Temperaturomregning følger $\displaystyle F = \frac{9}{5}C + 32$ fra celsius til fahrenheit. Bevegelse med konstant fart beskrives av $s(t) = vt + s_0$, der $v$ er farten og $s_0$ startposisjonen. Har du to datapunkter fra virkeligheten — to målinger, to priser, to tidspunkter — kan du alltid bruke topunktsmetoden til å finne den lineære modellen som binder dem sammen.

Oppsummering: linja som modell

Klassekameratens budfirma fikk prismodellen sin, og du fikk et verktøysett du kommer til å bruke gjennom hele S1. En rett linje skrives $y = ax + b$, der stigningstallet $\displaystyle a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ forteller hvor mye $y$ endrer seg per enhet økning i $x$, og konstantleddet $b$ er verdien der linja krysser $y$-aksen.

Ettpunktsformelen $y - y_1 = a(x - x_1)$ gir deg linjelikningen når du kjenner ett punkt og stigningen. Kjenner du to punkter, regner du først ut stigningstallet og bruker deretter ettpunktsformelen — eller du går rett på topunktsformelen. Uansett metode: kontroller alltid svaret ved å sette inn et kjent punkt.

Parallelle linjer har samme stigningstall, mens vinkelrette linjer oppfyller $a_1 \cdot a_2 = -1$. Disse to small reglene lar deg konstruere nye linjer ut fra gamle — et premiumtilbud parallelt med standardprisen, eller en normal som står vinkelrett på en graf.

Den praktiske tolkningen er kanskje det viktigste du tar med deg: i en lineær modell er stigningstallet alltid endring per enhet — pris per kilometer, kostnad per produkt, meter per sekund — og konstantleddet er startverdien. Når du senere skal modellere data, drøfte funksjoner eller derivere, er det denne grunnforståelsen av den rette linja alt bygger på.