8.2 Lineær programmering | Matematikk S1

Optimering med lineære betingelser og grafisk løsning.

55 min

19 oppgaver

Lineær programmeringTillatt områdeHjørnepunktMålfunksjonOptimering

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 19 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

8.1Matematisk modellering

Brukes videre i

8.3Lineær optimering utvidet

Hvorfor numeriske metoder?

Mange likninger kan ikke loses eksakt med algebra. For eksempel har $x = \cos x$ ingen analytisk losning. Numeriske metoder gir oss tilnærmede losninger med vilkarlig noyyaktighet.

Vi ser pa tre viktige metoder:
1. Halveringsmetoden - enkel og palitelig
2. Newtons metode - rask og kraftig
3. Numerisk integrasjon - beregne arealer nar vi ikke finner antiderivert

Halveringsmetoden (biseksjonsmetoden)

Halveringsmetoden bygger pa skjaeringspunktsetningen: Dersom $f$ er kontinuerlig pa $[a, b]$ og $f(a)$ og $f(b)$ har motsatt fortegn, finnes det minst ett nullpunkt i intervallet.

Algoritme:
1. Start med et intervall $[a, b]$ der $f(a)$ og $f(b)$ har motsatt fortegn
2. Beregn midtpunktet $\displaystyle m = \frac{a + b}{2}$
3. Beregn $f(m)$
4. Hvis $f(m) = 0$ (eller nær nok): ferdig!
5. Hvis $f(a)$ og $f(m)$ har motsatt fortegn: nullpunktet er i $[a, m]$
6. Ellers: nullpunktet er i $[m, b]$
7. Gjenta fra steg 2 med det nye intervallet

Halveringsmetoden

f

✏️Eksempel 1: Halveringsmetoden

Finn nullpunktet til $f(x) = x^3 - 2x - 5$ i intervallet $[2, 3]$ med 4 halveringer.

f(2) = 8 - 4 - 5 = -1 < 0

f(3) = 27 - 6 - 5 = 16 > 0

. Motsatt fortegn ✓

Halvering 1: $m = 2{,}5$ , $f(2{,}5) = 15{,}625 - 5 - 5 = 5{,}625 > 0$ . Nytt: $[2, 2{,}5]$

Halvering 2: $m = 2{,}25$ , $f(2{,}25) = 11{,}39 - 4{,}5 - 5 = 1{,}89 > 0$ . Nytt: $[2, 2{,}25]$

Halvering 3: $m = 2{,}125$ , $f(2{,}125) = 9{,}60 - 4{,}25 - 5 = 0{,}35 > 0$ . Nytt: $[2, 2{,}125]$

Halvering 4: $m = 2{,}0625$ , $f(2{,}0625) \approx 8{,}77 - 4{,}125 - 5 = -0{,}35 < 0$ . Nytt: $[2{,}0625, 2{,}125]$

Nullpunktet er ca. $x \approx 2{,}09$ . Feilgrense: $\displaystyle \frac{1}{2^4} = 0{,}0625$ .

📝Oppgave 1

Vis at $f(x) = x^2 - 3$ har et nullpunkt i intervallet $[1, 2]$ . Utfor 3 halveringer.

📝Oppgave 2

Bruk halveringsmetoden til a finne en losning av $\cos x = x$ (dvs. nullpunkt til $f(x) = \cos x - x$ ) i $[0, 1]$ med 4 halveringer. (Bruk kalkulator.)

📝Oppgave 3

Hvor mange halveringer trengs for a fa feilgrense under $0{,}001$ nar startintervallet er $[0, 1]$ ?

Newtons metode

Newtons metode er raskere enn halveringsmetoden, men krever at vi kan derivere $f$ .

Ide: Fra et startpunkt $x_0$ trekker vi tangentlinjen til $f$ og finner der tangenten krysser $x$ -aksen. Dette gir et nytt, bedre estimat $x_1$ .

Newtons metode

x_0

✏️Eksempel 2: Newtons metode

Finn $\sqrt{2}$ ved a lose $f(x) = x^2 - 2 = 0$ med Newtons metode. Start med $x_0 = 1$ .

f(x) = x^2 - 2

f'(x) = 2x

$x_{n+1} = x_n - \frac{x_n^2 - 2}{2x_n}$

Steg 1: $\displaystyle x_1 = 1 - \frac{1 - 2}{2} = 1 + 0{,}5 = 1{,}5$

Steg 2: $\displaystyle x_2 = 1{,}5 - \frac{2{,}25 - 2}{3} = 1{,}5 - 0{,}0833 = 1{,}4167$

Steg 3: $\displaystyle x_3 = 1{,}4167 - \frac{2{,}007 - 2}{2{,}833} = 1{,}4167 - 0{,}0025 = 1{,}4142$

Etter bare 3 steg har vi $\sqrt{2} \approx 1{,}4142$ , korrekt til 4 desimaler!

Nar Newtons metode feiler

Newtons metode kan feile hvis:
- Startverdien er for langt fra nullpunktet
- $f'(x_n) = 0$ (horisontal tangent)
- Funksjonen har flere nullpunkter (metoden kan konvergere mot feil nullpunkt)

Tips: Bruk gjerne halveringsmetoden forst for a finne et godt startestimat, og deretter Newtons metode for a forbedre noyaktigheten.

📝Oppgave 4

Bruk Newtons metode med $x_0 = 2$ for a finne nullpunktet til $f(x) = x^3 - 2x - 5$ . Utfor 3 iterasjoner.

📝Oppgave 5

Bruk Newtons metode til a finne $\sqrt[3]{10}$ (dvs. los $x^3 = 10$ ). Start med $x_0 = 2$ , utfor 3 iterasjoner.

📝Oppgave 6

Forklar geometrisk hva Newtons metode gjor. Hvorfor konvergerer den raskere enn halveringsmetoden? Nar kan den feile?

Numerisk integrasjon

Noen ganger kan vi ikke finne den antideriverte analytisk. Da bruker vi numerisk integrasjon for a tilnærme $\int_a^b f(x)\,dx$ .

Grunnideen er a dele arealet under kurven inn i enkle geometriske figurer (rektangler eller trapeser) og summere arealene.

Trapesmetoden

[a, b]

✏️Eksempel 3: Trapesmetoden

Beregn $\int_0^1 e^{-x^2}\,dx$ med trapesmetoden og $n = 4$ .

\displaystyle h = \frac{1-0}{4} = 0{,}25

. Punkter:

x_0=0

x_1=0{,}25

x_2=0{,}5

x_3=0{,}75

x_4=1

$x_i$	$f(x_i) = e^{-x_i^2}$
0	1
0,25	$e^{-0{,}0625} \approx 0{,}9394$
0,5	$e^{-0{,}25} \approx 0{,}7788$
0,75	$e^{-0{,}5625} \approx 0{,}5698$
1	$e^{-1} \approx 0{,}3679$

I \approx \frac{0{,}25}{2}[1 + 2(0{,}9394) + 2(0{,}7788) + 2(0{,}5698) + 0{,}3679]

= 0{,}125 \cdot [1 + 1{,}8788 + 1{,}5576 + 1{,}1396 + 0{,}3679] = 0{,}125 \cdot 5{,}9439 \approx 0{,}7430

(Eksakt verdi:

\approx 0{,}7468

. Feil:

0{,}5\,\%

En enklere, men mindre noyaktig metode er rektangelmetoden (midtpunktsregelen):

$\int_a^b f(x)\,dx \approx h \cdot \sum_{i=1}^{n} f\!\left(x_{i-1} + \frac{h}{2}\right)$

Her bruker vi funksjonsverdien i midtpunktet av hvert delintervall. Trapesmetoden er vanligvis mer noyaktig for samme antall delintervaller.

📝Oppgave 7

Beregn $\int_0^2 x^2\,dx$ med trapesmetoden og $n = 4$ . Sammenlign med eksakt verdi.

📝Oppgave 8

Beregn $\displaystyle \int_1^3 \frac{1}{x}\,dx$ med trapesmetoden og $n = 4$ . Sammenlign med eksakt verdi $\ln 3 \approx 1{,}0986$ .

📝Oppgave 9

En bils fart (km/h) males hvert 10. sekund: 0, 25, 45, 60, 70, 75, 78. Bruk trapesmetoden til a estimere tilbakelagt strekning i de 60 sekundene. (Husk a omregne enheter.)

📝Oppgave 10

Hva skjer med noyaktigheten i trapesmetoden nar vi oker antall delintervaller $n$ ?

📝Oppgave 11

Bruk bade halveringsmetoden (3 steg) og Newtons metode (2 steg) for a finne nullpunktet til $f(x) = e^x - 3x$ i $[1, 2]$ . Sammenlign resultatene.

📝Oppgave 12

Strommen gjennom en krets males hvert 0,1 sekund over 0,5 sekunder: $I(0)=0$ , $I(0{,}1)=3{,}2$ , $I(0{,}2)=5{,}1$ , $I(0{,}3)=4{,}8$ , $I(0{,}4)=2{,}9$ , $I(0{,}5)=0{,}5$ (ampere). Bruk trapesmetoden til a beregne total ladning $Q = \int_0^{0{,}5} I(t)\,dt$ (i coulomb).

📝Oppgave 13

Beregn $\int_0^{\pi} \sin x\,dx$ med trapesmetoden og $n = 6$ . Sammenlign med eksakt verdi 2.

📝Oppgave 14

Sammenlign halveringsmetoden og Newtons metode langs tre akser: konvergenshastighet, palitelighet og krav til funksjonen.

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Halveringsmetoden: Finn et intervall $[a, b]$ med fortegnsskifte for $f$ , og halver intervallet gjentatte ganger. Pålitelig, men langsom. Feilgrense: $\displaystyle \frac{b-a}{2^n}$ .
- Newtons metode: $x_{n+1} = x_n - \dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}$ — svært rask når startverdien er god, men kan feile hvis $f'(x_n) \approx 0$ .
- Trapesmetoden: Tilnærmer areal under graf med trapeser: $\displaystyle T = \frac{h}{2}\bigl(f_0 + 2f_1 + \ldots + 2f_{n-1} + f_n\bigr)$ .
- Hvorfor numerikk: Mange likninger og arealer kan ikke løses eksakt — numeriske metoder gir kontrollerbare tilnærminger.

Nøkkelbegreper

Begrep	Forklaring
Halveringsmetoden	Intervallhalvering med fortegnstest
Newtons metode	Tangentbasert iterasjon
Trapesmetoden	Numerisk integrasjon
Feilgrense	Garantert maksimal feil

Viktige formler

- Halvering: feil

\leq \dfrac{b-a}{2^n}

- Newton:

x_{n+1} = x_n - \dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}

- Trapes:

T = \dfrac{h}{2}(f_0 + 2f_1 + \ldots + f_n)

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.