1.7 Likningssett

To ukjente, to opplysninger

Elevrådet har arrangert konsert i samfunnshuset, og kasserer-appen viser bare totaltall: 200 solgte billetter og 24 600 kroner i inntekt. Voksenbilletter kostet 150 kroner og barnebilletter 90. Hvor mange av hver ble solgt? Du har to ukjente — og heldigvis også to opplysninger. Det er nøyaktig det et likningssett handler om.

Et lineært likningssett med to ukjente $x$ og $y$ består av to eller flere lineære likninger som skal løses samtidig:

$$\begin{cases} a_1 x + b_1 y = c_1 \\ a_2 x + b_2 y = c_2 \end{cases}$$

Løsningen er de verdiene av $x$ og $y$ som oppfyller begge likningene på én gang. Geometrisk representerer hver likning en rett linje i koordinatsystemet, og løsningen er skjæringspunktet mellom linjene.

Den geometriske tolkningen forteller oss også hva som kan skje. Hvis linjene har ulikt stigningstall, skjærer de hverandre i nøyaktig ett punkt — én løsning. Hvis de har samme stigningstall men ulike konstantledd, er de parallelle og møtes aldri — ingen løsning. Og hvis de har samme stigningstall og samme konstantledd, er de identiske — uendelig mange løsninger, for hvert punkt på linja passer i begge.

Den enkleste løsningsmetoden er grafisk: skriv begge likningene på formen $y = ax + b$, tegn linjene, og les av skjæringspunktet. Fordelen er den visuelle forståelsen; ulempen er at det er vanskelig å lese av nøyaktige verdier når svaret er en brøk eller et desimaltall. Derfor trenger vi de algebraiske metodene — og dem skal vi gå gjennom nå.

Innsettingsmetoden

Innsettingsmetoden (substitusjonsmetoden) går ut på å løse en av likningene for en av de ukjente og sette uttrykket inn i den andre likningen. Fremgangsmåten har fire steg: løs den ene likningen for $x$ eller $y$, sett uttrykket inn i den andre likningen, løs den nye likningen som nå bare har én ukjent, og sett verdien tilbake for å finne den andre ukjente.

Vi prøver på settet

$$\begin{cases} 2x + y = 7 \\ x - 3y = -6 \end{cases}$$

Første likning løses lettest for $y$, siden koeffisienten er 1: $y = 7 - 2x$. Dette setter vi inn i den andre likningen: $x - 3(7 - 2x) = -6$. Vi ganger ut: $x - 21 + 6x = -6$, samler ledd: $7x = 15$, og finner $\displaystyle x = \frac{15}{7}$.

Deretter finner vi $y$ ved å sette tilbake: $\displaystyle y = 7 - 2 \cdot \frac{15}{7} = \frac{49 - 30}{7} = \frac{19}{7}$.

Kontroll i den andre likningen: $\displaystyle \frac{15}{7} - 3 \cdot \frac{19}{7} = \frac{15 - 57}{7} = \frac{-42}{7} = -6$. Det stemmer — og legg merke til at en grafisk avlesning aldri hadde gitt oss $\displaystyle \frac{15}{7}$ og $\displaystyle \frac{19}{7}$ presist.

Innsettingsmetoden fungerer best når en av koeffisientene er $1$ eller $-1$, slik at du slipper brøker underveis. Ser du en likning der $x$ eller $y$ står alene med koeffisient 1, er innsetting nesten alltid raskeste vei.

Addisjonsmetoden — og billettmysteriet

Addisjonsmetoden (eliminasjonsmetoden) angriper problemet fra en annen kant: vi legger sammen likningene slik at en av de ukjente forsvinner. Om nødvendig multipliserer vi først en eller begge likningene med passende tall, slik at koeffisientene foran en ukjent blir like store med motsatt fortegn.

Se på settet

$$\begin{cases} 3x + 2y = 12 \\ 5x - 2y = 4 \end{cases}$$

Koeffisientene foran $y$ er allerede $+2$ og $-2$, så vi legger likningene rett sammen: $3x + 5x = 12 + 4$, altså $8x = 16$ og $x = 2$. Innsatt i den første likningen: $3 \cdot 2 + 2y = 12$ gir $2y = 6$ og $y = 3$. Kontroll i den andre: $5 \cdot 2 - 2 \cdot 3 = 10 - 6 = 4$. Stemmer.

Nå kan vi endelig løse billettmysteriet fra konserten. La $v$ være antall voksenbilletter og $b$ antall barnebilletter. Opplysningene gir settet $v + b = 200$ og $150v + 90b = 24\,600$. Fra den første likningen er $v = 200 - b$, som vi setter inn i den andre: $150(200 - b) + 90b = 24\,600$. Det gir $30\,000 - 150b + 90b = 24\,600$, altså $-60b = -5\,400$ og $b = 90$. Dermed er $v = 200 - 90 = 110$.

Elevrådet solgte altså 110 voksenbilletter og 90 barnebilletter. Kontroll: $110 + 90 = 200$ og $150 \cdot 110 + 90 \cdot 90 = 16\,500 + 8\,100 = 24\,600$. Begge stemmer. Slik fungerer likningssett som analyseverktøy: to totaltall fra virkeligheten blir til to likninger, og metodene gjør resten. Velg den metoden som gir enklest regning — og kontroller alltid svaret i begge de opprinnelige likningene.

Når regnestykket sier noe rart — spesialtilfeller

En dag prøver du å løse et likningssett fra en oppgave, og midt i eliminasjonen står det plutselig $0 = 5$. Har du regnet feil? Ikke nødvendigvis — du kan ha avslørt at likningssettet ikke har noen løsning.

Ikke alle likningssett har nemlig en entydig løsning, og algebraen varsler deg på en helt bestemt måte. Dersom eliminasjonen ender i en selvmotsigelse, som $0 = 5$, har settet ingen løsning. Geometrisk betyr det at de to linjene er parallelle: samme stigningstall, ulike konstantledd, og dermed ikke noe skjæringspunkt. Tenk deg to mobilabonnementer med nøyaktig samme pris per gigabyte men ulik fastpris — det finnes ikke noe forbruk der de koster det samme.

Dersom eliminasjonen i stedet ender i en identitet, som $0 = 0$, har settet uendelig mange løsninger. Da er de to likningene egentlig samme linje i forkledning — den ene er bare den andre multiplisert med et tall. Hvert eneste punkt på linja oppfyller begge likningene.

Det er viktig å kjenne igjen begge tilfellene og kunne forklare hva som skjer geometrisk: én løsning når linjene har ulikt stigningstall, ingen løsning når de er parallelle, uendelig mange når de er sammenfallende. På S1-eksamen forventes det at du behersker både innsettingsmetoden og addisjonsmetoden, at du velger den som gir enklest regning — og at du tolker også de merkelige utfallene riktig i stedet for å tro at du har regnet feil.

Oppsummering: to likninger, full kontroll

Billettmysteriet fra konserten viste hva et lineært likningssett egentlig er: to opplysninger om to ukjente, som sammen bestemmer svaret. Geometrisk er hver likning en rett linje, og løsningen er skjæringspunktet.

Du har nå tre metoder. Den grafiske gir oversikt men unøyaktige svar. Innsettingsmetoden løser den ene likningen for en variabel og setter uttrykket inn i den andre — raskest når en koeffisient er $1$ eller $-1$. Addisjonsmetoden ganger likningene med passende tall og legger dem sammen slik at en variabel elimineres — ryddigst når koeffisientene er heltall. Begge gir eksakte svar, og du velger fritt den som gir enklest regning.

Spesialtilfellene tolker du nå uten å nøle: en selvmotsigelse som $0 = 5$ betyr ingen løsning og parallelle linjer; en identitet som $0 = 0$ betyr uendelig mange løsninger og sammenfallende linjer; alt annet gir nøyaktig én løsning.

Og kanskje viktigst: du har sett hvordan virkelige totaltall — billettantall og inntekt — oversettes til likninger. Den oversettelsen, fra tekst til matematikk, er selve kjernen i modellering, og den dukker opp igjen og igjen: i økonomioppgaver, i optimering, og i alle praktiske S1-eksamensoppgaver der to størrelser er ukjente. Husk ritualet til slutt: kontroller alltid løsningen ved innsetting i begge de opprinnelige likningene.