1.9 Potens- og eksponentialfunksjoner

Potensfunksjoner, eksponentialfunksjoner, vekstfaktor, halvering og dobling.

55 min

11 oppgaver

PotensfunksjonEksponentialfunksjonVekstfaktorHalveringDobling

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 11 oppgaver

Eksponentiell vekst og avtagning

Mange størrelser i virkeligheten vokser eller avtar med en fast prosentandel per tidsenhet, i stedet for et fast beløp per tidsenhet. Slik vekst kalles eksponentiell.

Eksempler på eksponentiell vekst/avtagning:
- Befolkningsvekst (f.eks. 1,2 % per år)
- Renter på sparekonto (f.eks. 3 % per år)
- Radioaktiv nedbryting (f.eks. halvering hvert 5730. år for karbon-14)
- Inflasjonseffekt (f.eks. 2,5 % per år)

Den viktigste forskjellen fra lineær vekst er at endringen er proporsjonal med nåværende verdi, ikke konstant.

Potensfunksjoner

f(x) = a \cdot x^n

Vekstfaktor

p\%

Eksponentialfunksjoner

En eksponentialfunksjon har formen:

$f(x) = a \cdot b^x, \quad a \neq 0, \quad b > 0, \quad b \neq 1$

Her er:
- $a$ = startverdien ( $f(0) = a$ )
- $b$ = vekstfaktoren (grunntallet)

For $b > 1$ er funksjonen voksende (eksponentiell vekst).
For $0 < b < 1$ er funksjonen avtagende (eksponentiell avtagning).

Viktige egenskaper:
- Grafen passerer alltid gjennom $(0, a)$
- $x$ -aksen ( $y = 0$ ) er en horisontal asymptote
- Funksjonen er alltid positiv (når $a > 0$ ) eller alltid negativ (når $a < 0$ )

📜Doblingstid og halveringstid

Doblingstid

T_2

: Tiden det tar for verdien å doble seg. Oppfyller

v^{T_2} = 2

. Vi tar logaritmen (lg) på begge sider:

T_2 \cdot \lg v = \lg 2

, så

$T_2 = \frac{\lg 2}{\lg v}$

Halveringstid $T_{1/2}$ : Tiden det tar for verdien å halveres. Oppfyller $\displaystyle v^{T_{1/2}} = \frac{1}{2}$ :

$T_{1/2} = \frac{\lg \frac{1}{2}}{\lg v} = \frac{-\lg 2}{\lg v}$

Tommelfingerregel: For lav prosentvis vekst (under ca. 15 %) gjelder tilnærmelsen $\displaystyle T_2 \approx \frac{70}{p}$ , der $p$ er vekstraten i prosent.

✏️Eksempel 1: Befolkningsvekst

En by har 50 000 innbyggere og vokser med 2 % per år. a) Sett opp en modell for innbyggertallet etter $t$ år. b) Hvor mange innbyggere har byen etter 10 år? c) Finn doblingstiden.

Løsning:

a) Vekstfaktor: $\displaystyle v = 1 + \frac{2}{100} = 1{,}02$ .

Modell: $N(t) = 50\,000 \cdot 1{,}02^t$

b) Etter 10 år:
$N(10) = 50\,000 \cdot 1{,}02^{10} \approx 50\,000 \cdot 1{,}2190 \approx 60\,950$

Byen har ca. 60 950 innbyggere etter 10 år.

c) Doblingstid:
$1{,}02^{T_2} = 2 \Rightarrow T_2 = \frac{\lg 2}{\lg 1{,}02} \approx \frac{0{,}3010}{0{,}0086} \approx 35 \text{ år}$

Kontroll med tommelfingerregelen: $\displaystyle T_2 \approx \frac{70}{2} = 35$ år.

Svar: a) $N(t) = 50\,000 \cdot 1{,}02^t$ b) ca. 60 950 innbyggere c) ca. 35 år

✏️Eksempel 2: Radioaktiv nedbryting

Et radioaktivt stoff har en halveringstid på 8 timer. Ved start er det 200 gram. a) Sett opp en modell for mengden etter $t$ timer. b) Hvor mye stoff er igjen etter 24 timer?

Løsning:

a) Etter en halveringstid (8 timer) er mengden halvert, altså $\displaystyle v^8 = \frac{1}{2}$ .

Vekstfaktor per time: $\displaystyle v = \left(\frac{1}{2}\right)^{1/8} = 2^{-1/8} \approx 0{,}9170$

Modell: $M(t) = 200 \cdot 0{,}9170^t$

Alternativt: $\displaystyle M(t) = 200 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{t/8}$

b) Etter 24 timer:
$\begin{aligned} M(24) &= 200 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{24/8} \\ &= 200 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 \\ &= 200 \cdot \frac{1}{8} \\ &= 25 \text{ gram} \end{aligned}$

Svar: a) $\displaystyle M(t) = 200 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{t/8} \approx 200 \cdot 0{,}9170^t$ b) 25 gram (3 halveringstider)

Lineær vs. eksponentiell vekst

Lineær vekst	Eksponentiell vekst
Formel	$f(x) = ax + b$	$f(x) = a \cdot b^x$
Endring	Konstant tillegg per steg	Konstant faktor per steg
Differanse	$f(x+1) - f(x) = a$	$f(x+1) - f(x)$ varierer
Kvotient	$\displaystyle \frac{f(x+1)}{f(x)}$ varierer	$\displaystyle \frac{f(x+1)}{f(x)} = b$
Grafisk	Rett linje	Kurve (vokser/avtar stadig raskere)

Hvordan gjenkjenne veksttype fra data:
- Dersom differansene

f(x+1) - f(x)

er (tilnærmet) konstante, er veksten lineær.
- Dersom kvotientene

\displaystyle \frac{f(x+1)}{f(x)}

er (tilnærmet) konstante, er veksten eksponentiell.

✏️Eksempel 3: Lineær eller eksponentiell?

To spareplaner starter med 10 000 kr.

Plan A: Sparer 1 000 kr ekstra hvert år.
Plan B: Beloppet øker med 8 % per år.

Sammenlign verdiene etter 5, 10 og 20 år.

Løsning:

Plan A (lineær): $A(t) = 10\,000 + 1\,000t$

Plan B (eksponentiell): $B(t) = 10\,000 \cdot 1{,}08^t$

År	Plan A	Plan B
0	10 000	10 000
5	15 000	14 693
10	20 000	21 589
20	30 000	46 610

Konklusjon: Plan A er bedre de første årene, men Plan B tar igjen og vokser langt raskere over tid. Etter 20 år er Plan B mer enn 50 % høyere enn Plan A. Dette er virkningen av renters rente.
Svar: Plan A gir mest etter 5 år. Plan B gir mest etter 10 og 20 år.

Gjør dette i GeoGebra

Utforsk: Potensvekst mot eksponentiell vekst

Sammenlign potensfunksjonen

f(x) = x^2

med eksponentialfunksjonen

g(x) = 1{,}5^x

. Zoom ut og se at eksponentialfunksjonen til slutt vokser forbi potensfunksjonen, uansett eksponent.

Skriv inn én linje om gangen i inntastingsfeltet:

f(x) = x^2
g(x) = 1.5^x

Med språket satt til norsk forstår GeoGebra kommandonavnene både på norsk og engelsk.

Åpne GeoGebra

Når du skal avgjøre om data følger lineær eller eksponentiell vekst, beregn både differanser og kvotienter. Er differansene konstante? Da er veksten lineær. Er kvotientene konstante? Da er veksten eksponentiell.

📝Oppgave 1.9.1

Finn vekstfaktoren.

En pris øker med 5 % per år.

En verdi synker med 12 % per år.

En investering gir 0,3 % rente per måned.

En populasjon reduseres med 25 % per tiår.

Løs oppgaven

📝Oppgave 1.9.2

Et maleri er verdsatt til 80 000 kr og verdien øker med 6 % per år.

Sett opp en modell for verdien $V(t)$ etter $t$ år.

Hva er verdien etter 15 år?

Finn doblingstiden.

Løs oppgaven

📝Oppgave 1.9.3

En bil koster 350 000 kr ny og mister 15 % av verdien per år (verdiforringelse).

Sett opp en modell for bilens verdi $V(t)$ etter $t$ år.

Hva er bilen verdt etter 5 år?

Etter hvor mange år er bilen verdt mindre enn 100 000 kr?

Løs oppgaven

📝Oppgave 1.9.4

Avgjør om tabellen viser lineær eller eksponentiell vekst, og finn funksjonsuttrykket.

$x$	$f(x)$
0	5
1	15
2	45
3	135
4	405

$x$	$g(x)$
0	8
1	14
2	20
3	26
4	32

Løs oppgaven

📝Oppgave 1.9.5

En bakteriekultur dobler seg hver 3. time. Ved start er det 500 bakterier.

Sett opp en modell $N(t)$ for antall bakterier etter $t$ timer.

Hvor mange bakterier er det etter 12 timer?

Når er det 64 000 bakterier?

Løs oppgaven

📝Oppgave 1.9.6

Grafen til en eksponentialfunksjon $f(x) = a \cdot b^x$ går gjennom punktene $(2, 12)$ og $(5, 96)$ . Finn $a$ og $b$ .

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Vekstfaktor: Ved $p\,\%$ økning er vekstfaktoren $\displaystyle 1 + \frac{p}{100}$ , ved $p\,\%$ nedgang er den $\displaystyle 1 - \frac{p}{100}$ .
- Eksponentialfunksjon: $f(x) = a \cdot b^x$ der $a$ er startverdien og $b$ er vekstfaktoren. Vekst når $b > 1$ , avtagning når $0 < b < 1$ .
- Doblingstid og halveringstid: Tiden det tar før verdien dobles eller halveres — den er konstant for eksponentiell endring.
- Lineær vs. eksponentiell vekst: Lineær vekst legger til samme beløp hver periode; eksponentiell vekst ganger med samme faktor. Eksponentiell vekst tar alltid igjen lineær vekst til slutt.

Nøkkelbegreper

Begrep	Forklaring
Vekstfaktor	Tallet vi ganger med per periode
Eksponentialfunksjon	$f(x) = a \cdot b^x$
Doblingstid	Tid før verdien er doblet
Halveringstid	Tid før verdien er halvert

Viktige formler

- Vekstfaktor:

\displaystyle b = 1 \pm \frac{p}{100}

- Eksponentialfunksjon:

f(x) = a \cdot b^x

- Verdi etter

n

perioder: startverdi

\cdot\, b^n

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.