2.7 Delte funksjonsuttrykk og absoluttverdifunksjoner

Stykkevis definerte funksjoner, absoluttverdifunksjonen og kontinuitet.

50 min

11 oppgaver

Stykkevis definertAbsoluttverdifunksjonKontinuitet

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 11 oppgaver

Stykkevis definerte funksjoner

En stykkevis definert funksjon bruker ulike funksjonsuttrykk på ulike deler av definisjonsmengden. Slike funksjoner er svært vanlige i praktiske sammenhenger, for eksempel i prismodeller, skattesystemer og fysiske fenomener.

Formelt skriver vi en stykkevis funksjon slik:

$f(x) = \begin{cases} f_1(x) & \text{for } x \in I_1 \\ f_2(x) & \text{for } x \in I_2 \\ \vdots & \vdots \end{cases}$

der $I_1, I_2, \ldots$ er intervaller som til sammen dekker definisjonsmengden.

Tegning av stykkevis definerte funksjoner

Når vi tegner grafen til en stykkevis funksjon:

1. Del opp $x$ -aksen i de ulike intervallene.
2. Tegn hvert deluttrykk kun på sitt intervall.
3. Sjekk grensepunktene: Er funksjonen definert i overgangen? Bruk fylt sirkel for inkluderte endepunkter og åpen sirkel for ekskluderte.
4. Vurder kontinuitet: Er grafen sammenhengende, eller gjør den et hopp?

En stykkevis funksjon er kontinuerlig i et grensepunkt $x_0$ dersom:

$\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0)$

Det vil si at funksjonsuttrykkene gir samme verdi i overgangspunktet.

Kontinuitet i overgangspunkter

x = c

✏️Eksempel 1: Stykkevis lineær funksjon

Tegn grafen og undersøk kontinuitet for:

$f(x) = \begin{cases} 2x + 1 & \text{for } x < 1 \\ 4 - x & \text{for } x \geq 1 \end{cases}$

Løsning:

For $x < 1$ : $f(x) = 2x + 1$ er en stigende linje.
Ved grensepunktet: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = 2(1) + 1 = 3$ .

For $x \geq 1$ : $f(x) = 4 - x$ er en synkende linje.
$f(1) = 4 - 1 = 3$ .

Kontinuitet i $x = 1$ :
$\lim_{x \to 1^-} f(x) = 3 = f(1) = \lim_{x \to 1^+} f(x)$

Funksjonen er kontinuerlig i $x = 1$ . Grafen er en sammenhengende "knekk" i punktet $(1, 3)$ .

- For $x < 1$ : linja stiger med stigningstall 2
- For $x \geq 1$ : linja synker med stigningstall $-1$
- $y$ -akseskjæring: $f(0) = 1$

Grafen til den stykkevise funksjonen: linja y = 2x + 1 for x < 1 og linja y = 4 − x for x ≥ 1. Linjene møtes i knekkpunktet (1, 3). Grafen skjærer y-aksen i (0, 1) og x-aksen i (−0,5; 0) og (4, 0).

Absoluttverdifunksjonen som stykkevis funksjon

f(x) = |x|

✏️Eksempel 2: Absoluttverdifunksjon som stykkevis

Skriv $f(x) = |2x - 4|$ som en stykkevis definert funksjon og tegn grafen.

Løsning:

Vi finner nullpunktet til $2x - 4$ : $2x - 4 = 0 \Rightarrow x = 2$ .

$f(x) = |2x - 4| = \begin{cases} 2x - 4 & \text{for } x \geq 2 \\ -(2x - 4) = -2x + 4 & \text{for } x < 2 \end{cases}$

Grafbeskrivelse:
- For $x < 2$ : linja $y = -2x + 4$ (synker med stigningstall $-2$ )
- For $x \geq 2$ : linja $y = 2x - 4$ (stiger med stigningstall $2$ )
- Grafen har en V-form med bunnpunkt i $(2, 0)$
- $y$ -akseskjæring: $f(0) = |0 - 4| = 4$
- Funksjonen er kontinuerlig overalt (også i $x = 2$ )

Praktiske anvendelser

Stykkevis definerte funksjoner dukker opp i mange praktiske sammenhenger:

Prissystemer med trinnvise satser:
Mange avgifter og priser har ulike satser for ulike nivåer, for eksempel strømpris, mobilabonnement eller porto.

Skattesystemer:
I Norge beregnes skatt med ulike satser for ulike inntektsintervaller (trinnskatt). Inntekten deles opp i trinn med stigende skattesatser.

Absoluttverdifunksjoner i optimalisering:
Absoluttverdien $|x - a|$ representerer avstanden mellom $x$ og $a$ på tallinja. Dermed brukes absoluttverdifunksjoner til å minimere avstander og avvik.

✏️Eksempel 3: Stykkevis prisfunksjon

Et parkeringshus tar betaling slik:
- De første 2 timene: 30 kr per time
- Fra 2 til 5 timer: 20 kr per time (i tillegg til de første timene)
- Over 5 timer: fast pris på 120 kr (dagstak)

Sett opp prisfunksjonen $P(t)$ og tegn grafen.

Løsning:

For $0 \leq t \leq 2$ : $P(t) = 30t$

For $2 < t \leq 5$ : Prisen etter 2 timer er $30 \cdot 2 = 60$ kr. Deretter 20 kr per ekstra time:
$P(t) = 60 + 20(t - 2) = 20t + 20$

For $t > 5$ : $P(t) = 120$

Altså:
$P(t) = \begin{cases} 30t & \text{for } 0 \leq t \leq 2 \\ 20t + 20 & \text{for } 2 < t \leq 5 \\ 120 & \text{for } t > 5 \end{cases}$

Kontroll av kontinuitet:
- I $t = 2$ : $30 \cdot 2 = 60$ og $20 \cdot 2 + 20 = 60$ (kontinuerlig)
- I $t = 5$ : $20 \cdot 5 + 20 = 120$ og $120$ (kontinuerlig)

Prisfunksjonen er kontinuerlig. Grafen er en sammenhengende, stykkevis lineær kurve som flater ut etter 5 timer.

Når du tegner en stykkevis funksjon, husk å markere overgangspunktene tydelig. Bruk fylte sirkler for inkluderte endepunkter og åpne sirkler for ekskluderte endepunkter. Dette er spesielt viktig når funksjonen har diskontinuitetspunkter.

📝Oppgave 2.7.1

Skriv absoluttverdifunksjonen som en stykkevis definert funksjon.

f(x) = |x + 3|

g(x) = |5 - x|

h(x) = |3x - 6| + 2

📝Oppgave 2.7.2

Gitt funksjonen:

$f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{for } x < 2 \\ 6 - x & \text{for } x \geq 2 \end{cases}$

Finn $f(0)$ , $f(2)$ og $f(5)$ .

Er $f$ kontinuerlig i $x = 2$ ?

Tegn grafen til $f$ .

📝Oppgave 2.7.3

Gitt funksjonen:

$g(x) = \begin{cases} 2x + 1 & \text{for } x < 1 \\ ax + b & \text{for } x \geq 1 \end{cases}$

Bestem $a$ og $b$ slik at $g$ er kontinuerlig i $x = 1$ og $g(3) = 10$ .

📝Oppgave 2.7.4

En mobiloperatør tilbyr følgende priser for databruk per måned:
- De første 5 GB: gratis (inkludert i abonnementet)
- Fra 5 GB til 20 GB: 15 kr per GB
- Over 20 GB: 25 kr per GB (i tillegg)

Sett opp en stykkevis funksjon $K(x)$ for ekstra datakostnad (utover abonnementet) som funksjon av databruk $x$ (i GB).

Hva koster det ekstra å bruke 12 GB?

Hva koster det ekstra å bruke 30 GB?

Løs oppgaven

📝Oppgave 2.7.5

Gitt funksjonen:

$h(x) = \begin{cases} x + 4 & \text{for } x < -1 \\ x^2 & \text{for } -1 \leq x \leq 2 \\ 2x & \text{for } x > 2 \end{cases}$

Beregn $h(-3)$ , $h(-1)$ , $h(0)$ , $h(2)$ og $h(3)$ .

Er $h$ kontinuerlig i $x = -1$ ?

Er $h$ kontinuerlig i $x = 2$ ?

📝Oppgave 2.7.6

Løs likningen $|2x - 1| = |x + 3|$ ved å skrive begge sider som stykkevise funksjoner.

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Stykkevis definert funksjon: En funksjon med ulike uttrykk på ulike deler av definisjonsmengden. Sjekk nøye hvilket uttrykk som gjelder for hver $x$ .
- Kontinuitet i overgangspunkt: Funksjonen er kontinuerlig hvis uttrykkene gir samme verdi i overgangspunktet.
- Absoluttverdifunksjonen kan skrives stykkevis: $|x| = x$ for $x \geq 0$ og $|x| = -x$ for $x < 0$ .
- Praktiske anvendelser: Trappetrinnpriser, strømtariffer og porto er typiske stykkevise funksjoner.

Nøkkelbegreper

Begrep	Forklaring
Stykkevis funksjon	Ulike funksjonsuttrykk på ulike intervaller
Overgangspunkt	$x$ -verdi der uttrykket skifter
Kontinuitet	Grafen henger sammen — ingen hopp

Viktige formler

|x| = \begin{cases} x & \text{for } x \geq 0 \\ -x & \text{for } x < 0 \end{cases}

- Kontinuitet i

x = a

: uttrykkene må gi samme verdi i

a

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.