2.7 Delte funksjonsuttrykk og absoluttverdifunksjoner

Parkeringshuset med trappetrinnpriser

Du kjører inn i et parkeringshus i sentrum. Prisen er 30 kr per time de to første timene, deretter 20 kr per time opp til fem timer — og etter det betaler du uansett ikke mer enn makspris. Én funksjon, men tre forskjellige regler avhengig av hvor lenge du står. Slike funksjoner kalles stykkevis definerte funksjoner, og de er overalt i samfunnsøkonomien: strømtariffer, mobilabonnement, porto og ikke minst trinnskatten, der inntekten deles i trinn med stigende satser.

Formelt skriver vi en stykkevis funksjon slik:

$$f(x) = \begin{cases} f_1(x) & \text{for } x \in I_1 \\ f_2(x) & \text{for } x \in I_2 \\ \vdots & \vdots \end{cases}$$

der intervallene $I_1, I_2, \ldots$ til sammen dekker definisjonsmengden. For å regne ut $f(x)$ må du først finne ut hvilket intervall $x$ tilhører, og så bruke det riktige uttrykket.

Når vi tegner grafen, følger vi en fast arbeidsgang: del opp $x$-aksen i intervallene, tegn hvert deluttrykk kun på sitt intervall, og sjekk grensepunktene nøye — fylt sirkel for endepunkter som er med, åpen sirkel for dem som ikke er det. Det store spørsmålet i hvert overgangspunkt er om grafen henger sammen eller gjør et hopp. Det spørsmålet har et eget navn: kontinuitet. Og som du skal se, kan hele analysen kokes ned til én enkel test: gir de to uttrykkene samme verdi i overgangspunktet?

Kontinuitet — henger grafen sammen?

En stykkevis definert funksjon er kontinuerlig i et overgangspunkt $x = c$ dersom fire ting er på plass: $f(c)$ er definert, grenseverdien fra venstre $\lim_{x \to c^-} f(x)$ eksisterer, grenseverdien fra høyre $\lim_{x \to c^+} f(x)$ eksisterer, og alle tre verdiene er like:

$$\lim_{x \to c^-} f(x) = f(c) = \lim_{x \to c^+} f(x)$$

I praksis betyr det at funksjonsuttrykkene gir samme verdi i overgangspunktet. Er de ikke like, har funksjonen et diskontinuitetspunkt — et sprang.

La oss teste funksjonen

$$f(x) = \begin{cases} 2x + 1 & \text{for } x < 1 \\ 4 - x & \text{for } x \geq 1 \end{cases}$$

Fra venstre: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = 2 \cdot 1 + 1 = 3$. I punktet og fra høyre: $f(1) = 4 - 1 = 3$. Alle verdiene er 3, så funksjonen er kontinuerlig i $x = 1$. Grafen er en sammenhengende «knekk» i punktet $(1, 3)$: en linje som stiger med stigningstall 2, og som i $x = 1$ skifter til å synke med stigningstall $-1$. Kontinuerlig betyr altså ikke glatt — knekkpunkter er helt lov, så lenge det ikke er hopp.

Kontinuitetskravet kan også brukes baklengs til å bestemme parametre. Skal $f(x) = kx$ for $x < 2$ og $f(x) = x^2 + 1$ for $x \geq 2$ henge sammen, må $2k = 2^2 + 1 = 5$, altså $\displaystyle k = \frac{5}{2}$. Slik tvinger vi to regler til å møtes pent — akkurat som prislistene i parkeringshuset må gjøre, hvis ikke kundene skal oppleve at prisen hopper når klokka passerer to timer.

Absoluttverdi og prisfunksjonen i praksis

Absoluttverdifunksjonen $f(x) = |x|$ er selv en stykkevis funksjon i forkledning:

$$|x| = \begin{cases} x & \text{for } x \geq 0 \\ -x & \text{for } x < 0 \end{cases}$$

Mer generelt gjelder for et uttrykk $g(x)$ at $|g(x)| = g(x)$ der $g(x) \geq 0$, og $|g(x)| = -g(x)$ der $g(x) < 0$. Grafisk betyr det at grafen til $y = |g(x)|$ er lik grafen til $g$ der den ligger over $x$-aksen, og speilbildet om $x$-aksen der den ligger under.

Ta $f(x) = |2x - 4|$. Uttrykket inni skifter fortegn i $2x - 4 = 0$, altså $x = 2$, og vi får $f(x) = 2x - 4$ for $x \geq 2$ og $f(x) = -2x + 4$ for $x < 2$. Grafen er en V-form med bunnpunkt i $(2, 0)$, og $f(0) = 4$. Funksjonen er kontinuerlig overalt. Tolkningen $|x - a|$ som avstanden mellom $x$ og $a$ på tallinja gjør absoluttverdier nyttige når avvik og avstander skal minimeres.

Til slutt setter vi opp parkeringsmodellen fra innledningen. De to første timene koster 30 kr/time: $P(t) = 30t$. Etter to timer har du betalt 60 kr, og videre koster det 20 kr/time: $P(t) = 60 + 20(t - 2) = 20t + 20$ for $2 < t \leq 5$. Fra fem timer gjelder maksprisen $P(t) = 120$. Kontroll av skjøtene: i $t = 2$ gir begge uttrykkene 60, og i $t = 5$ gir begge 120. Prisfunksjonen er kontinuerlig — en sammenhengende, stykkevis lineær kurve som flater ut. Slik bygger du modeller av trinnpriser, og slik kontrollerer du at de henger sammen.

Oppsummering: funksjoner med flere regler

Parkeringshuset viste at virkelighetens prislister sjelden følger én formel. En stykkevis definert funksjon bruker ulike uttrykk på ulike deler av definisjonsmengden, og det første du alltid gjør, er å sjekke hvilket intervall $x$-verdien tilhører.

I overgangspunktene avgjøres kontinuiteten: funksjonen er kontinuerlig i $x = c$ når grenseverdien fra venstre, grenseverdien fra høyre og funksjonsverdien $f(c)$ alle er like — i praksis når uttrykkene gir samme verdi i skjøten. Hopper verdiene, har vi et diskontinuitetspunkt; møtes de, kan grafen likevel ha en knekk, slik kontinuerlige prismodeller gjerne har. Kravet kan også snus til å bestemme ukjente parametre, som da $2k = 5$ ga $\displaystyle k = \frac{5}{2}$.

Absoluttverdifunksjonen er stykkevishetens enkleste eksempel: $|x| = x$ for $x \geq 0$ og $|x| = -x$ for $x < 0$, med V-formet graf, og $|x - a|$ måler avstanden fra $x$ til $a$. Grafen til $|g(x)|$ får du ved å speile de negative delene av $g$ opp over $x$-aksen.

Med dette har du fullført funksjonskapittelets verktøykasse: polynomer, rasjonale funksjoner, eksponential- og logaritmefunksjoner, inverser, sinusbølger og stykkevise modeller. I kapitlene som kommer, settes verktøyene i arbeid — på derivasjon, økonomi og ekte datasett.