1.8 Andregradsfunksjoner og -likninger

Prisen som gir mest

En food truck utenfor skolen selger lunsjbokser, og eieren har et dilemma: setter hun prisen for lavt, tjener hun lite per boks; setter hun den for høyt, forsvinner kundene. Et sted midt imellom ligger prisen som gir størst inntekt. Sammenhengen mellom pris og inntekt er ikke en rett linje — den stiger, når en topp, og faller. Den er en parabel, og funksjonen bak er en andregradsfunksjon.

En andregradsfunksjon har formen

$$f(x) = ax^2 + bx + c, \quad a \neq 0$$

Grafen er alltid en parabel. Dersom $a > 0$, peker parabelen oppover og har et bunnpunkt; dersom $a < 0$, peker den nedover og har et toppunkt. I inntektsmodellen til food trucken er $a$ negativ — derfor finnes det en optimal pris på toppen.

Tett knyttet til funksjonen er andregradslikningen $ax^2 + bx + c = 0$. Løsningene kalles nullpunktene til funksjonen, og grafisk er de stedene der parabelen krysser $x$-aksen. For food trucken er nullpunktene de prisene der inntekten er null — enten fordi prisen er null, eller fordi den er så høy at ingen kjøper.

I dette kapittelet lærer du å løse andregradslikninger med abc-formelen, å avgjøre antall løsninger med diskriminanten, å finne toppunktet, å faktorisere — og til slutt å bruke alt sammen til å optimalisere. Det er kanskje det mest anvendelige kapittelet i hele S1 for alle som noen gang skal sette en pris.

Abc-formelen og diskriminanten

Den generelle andregradslikningen $ax^2 + bx + c = 0$ har en universalløsning, abc-formelen (også kalt den kvadratiske formelen):

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

Formelen er ikke magi — den kommer fra å fullføre kvadratet. Vi deler på $a$, flytter konstantleddet over og bygger et fullstendig kvadrat på venstresiden: $\displaystyle \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$. Tar vi kvadratroten på begge sider og løser for $x$, faller formelen ut.

Uttrykket under rottegnet er så viktig at det har eget navn: diskriminanten $D = b^2 - 4ac$. Den avgjør antall løsninger uten at du trenger å løse likningen. Er $D > 0$, finnes to ulike reelle løsninger — parabelen skjærer $x$-aksen i to punkter. Er $D = 0$, finnes nøyaktig én løsning (en dobbeltrot) — parabelen tangerer $x$-aksen. Og er $D < 0$, finnes ingen reelle løsninger — parabelen ligger helt over eller helt under $x$-aksen.

La oss løse $2x^2 - 5x - 3 = 0$. Her er $a = 2$, $b = -5$ og $c = -3$, så diskriminanten er $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49$. Positiv, altså to løsninger:

$$x = \frac{5 \pm \sqrt{49}}{4} = \frac{5 \pm 7}{4}$$

som gir $x_1 = 3$ og $\displaystyle x_2 = -\frac{1}{2}$. To raske kontroller i hodet — $2 \cdot 9 - 15 - 3 = 0$ — og svaret er bekreftet. Abc-formelen virker alltid, uansett hvor stygge koeffisientene er, og det gjør den til det mest pålitelige verktøyet i kapittelet.

Toppunkt, symmetriakse og toppunktform

For food truck-eieren er nullpunktene bare halve historien — det hun egentlig vil finne, er toppen av parabelen. Toppunktet (eller bunnpunktet) til $f(x) = ax^2 + bx + c$ har koordinatene

$$x_T = -\frac{b}{2a}, \qquad y_T = f\left(-\frac{b}{2a}\right) = c - \frac{b^2}{4a}$$

Den vertikale linja $x = x_T$ kalles symmetriaksen, fordi parabelen er helt symmetrisk om den: like langt til venstre og høyre for aksen har funksjonen samme verdi. Det betyr også at toppunktet alltid ligger midt mellom nullpunktene, når de finnes.

La oss analysere $f(x) = -x^2 + 6x - 5$ fullstendig. Med $a = -1$, $b = 6$ og $c = -5$ blir $\displaystyle x_T = -\frac{6}{2 \cdot (-1)} = 3$ og $y_T = f(3) = -9 + 18 - 5 = 4$. Toppunktet er $(3, 4)$, og symmetriaksen er $x = 3$. Nullpunktene finner vi av $-x^2 + 6x - 5 = 0$, som er det samme som $x^2 - 6x + 5 = 0$: diskriminanten er $36 - 20 = 16$, og $\displaystyle x = \frac{6 \pm 4}{2}$ gir $x_1 = 5$ og $x_2 = 1$. Legg merke til symmetrien: 1 og 5 ligger like langt fra 3.

Funksjonen kan også skrives på toppunktform (fullstendig kvadrat): $f(x) = a(x - x_T)^2 + y_T$. For vårt eksempel: $f(x) = -(x - 3)^2 + 4$. På denne formen leser du toppunktet, symmetriaksen og maks/min direkte ut av uttrykket — og siden $a = -1 < 0$, vet du at $(3, 4)$ er et maksimum. Grafen peker nedover, krysser $x$-aksen i $(1, 0)$ og $(5, 0)$, og skjærer $y$-aksen i $f(0) = -5$. Med toppunkt, nullpunkter og $y$-skjæring kan du skissere enhver parabel for hånd.

Faktorisering og optimalisering — food truckens fasit

Når du kjenner nullpunktene $x_1$ og $x_2$, kan andregradsuttrykket alltid faktoriseres som

$$ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$$

Husk at $a$-en foran parentesene må være med: $2x^2 - 10x + 12 = 2(x - 2)(x - 3)$, ikke bare $(x-2)(x-3)$ — gang ut og sjekk selv. Ved dobbeltrot ($D = 0$) blir faktoriseringen $a(x - x_1)^2$, og ved $D < 0$ kan uttrykket ikke faktoriseres over de reelle tallene. Faktorisering er nyttig for å løse ulikheter, forenkle brøkuttrykk og forstå grafens oppførsel.

Så til finalen: optimaliseringen. Food truck-eieren har testet ulike priser og funnet at hvis en lunsjboks koster $x$ kroner, selger hun omtrent $120 - 2x$ bokser per dag. Dagsinntekten blir dermed

$$I(x) = x(120 - 2x) = 120x - 2x^2$$

Dette er en andregradsfunksjon med $a = -2 < 0$, så den har et maksimum i toppunktet:

$$x_T = -\frac{120}{2 \cdot (-2)} = 30$$

Den optimale prisen er altså 30 kroner. Da selger hun $120 - 2 \cdot 30 = 60$ bokser, og maksimal dagsinntekt blir $I(30) = 30 \cdot 60 = 1800$ kroner.

Legg merke til strukturen i løsningen, for den går igjen i alle optimaliseringsoppgaver: oversett situasjonen til en andregradsfunksjon, sjekk fortegnet til $a$ for å vite om toppunktet er et maksimum eller minimum, finn $\displaystyle x_T = -\frac{b}{2a}$, og regn ut funksjonsverdien. Fire steg fra dilemma til fasit — det er andregradsfunksjonen som beslutningsverktøy.

Oppsummering: parabelens verktøykasse

Food trucken endte på 30 kroner per lunsjboks og 1800 kroner i maksimal dagsinntekt — et svar regnet ut, ikke gjettet. Veien dit gikk gjennom hele verktøykassa til andregradsfunksjonen.

En andregradsfunksjon $f(x) = ax^2 + bx + c$ har en parabel som graf: bunnpunkt når $a > 0$, toppunkt når $a < 0$. Abc-formelen $\displaystyle x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ løser den tilhørende likningen, og diskriminanten $D = b^2 - 4ac$ avslører antall løsninger på forhånd: to når $D > 0$, én når $D = 0$, ingen når $D < 0$.

Toppunktet ligger på symmetriaksen $\displaystyle x = -\frac{b}{2a}$, midt mellom eventuelle nullpunkter, og toppunktformen $f(x) = a(x - x_T)^2 + y_T$ viser det direkte. Faktoriseringen $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$ kobler uttrykket til nullpunktene — og husk alltid å ta med $a$-en.

Viktigst av alt er kanskje arbeidsflyten for optimalisering: oversett situasjonen til en andregradsfunksjon, bruk fortegnet til $a$ til å avgjøre om toppunktet er maks eller min, finn $x_T$, og regn ut verdien. Pris og inntekt, areal og omkrets, fart og drivstoff — overalt der noe først øker og så avtar, står parabelen klar. I funksjonsdelen av S1 møter du den igjen, da med deriverte som nytt verktøy for samme spørsmål: hvor er toppen?