1.4 Rasjonale uttrykk | Matematikk S1

Absoluttverdifunksjonen

Absoluttverdien til et tall $x$ angir avstanden fra $x$ til 0 på tallinja:

$|x| = \begin{cases} x & \text{hvis } x \geq 0 \\ -x & \text{hvis } x < 0 \end{cases}$

Eksempler: $|3| = 3$ , $|-5| = 5$ , $|0| = 0$ .

Absoluttverdifunksjon

f(x) = |x|

📜Regneregler for absoluttverdi

For alle reelle tall $a$ og $b$ :
1. $|a| \geq 0$
2. $|a \cdot b| = |a| \cdot |b|$
3. $\displaystyle \left|\frac{a}{b}\right| = \frac{|a|}{|b|}$ , $b \neq 0$
4. $|a + b| \leq |a| + |b|$ (trekantulikheten)
5. $|a|^2 = a^2$

✏️Eksempel 1: Absoluttverdilikning

Løs likningen $|2x - 3| = 5$ .

Tilfelle 1:

2x - 3 = 5 \Rightarrow x = 4

Tilfelle 2:

2x - 3 = -5 \Rightarrow x = -1

Svar: $x = 4$ eller $x = -1$ .

📊Utforsk: Absoluttverdifunksjonen

Grafen til $f(x) = |x|$ har en knekk i origo. Sammenlign med $g(x) = |x - 2| + 1$ og se hvordan grafen forskyves. Prøv å endre tallene i funksjonsuttrykkene.

✏️Eksempel 2: Absoluttverdifulikhet

Løs ulikheten $|x + 1| < 4$ .

|x + 1| < 4

gir

-4 < x + 1 < 4

, altså

-5 < x < 3

. Svar:

x \in \langle -5, 3 \rangle

📝Oppgave 1.4.1

Løs likningene.

|x - 2| = 7

|3x + 1| = 10

📝Oppgave 1.4.2

Løs ulikhetene.

|x| \leq 3

|2x - 1| > 5

📝Oppgave 1.4.3

Skisser grafen til $f(x) = |x^2 - 4|$ .

Finn nullpunktene til $f(x)$ .

For hvilke $x$ er $x^2 - 4 < 0$ ?

Skisser grafen og begrunn formen.

📝Oppgave 1.4.4

Løs $|x + 2| = |3x - 4|$ .

📝Oppgave 1.4.5

Løs $|x - 1| + |x + 3| = 6$ .

📝Oppgave 1.4.6

Finn alle $x$ slik at $|x^2 - 4| = 3x$ .

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Absoluttverdi: $|x|$ er avstanden fra $x$ til null på tallinjen, og er alltid $\geq 0$ .
- Likninger: $|u| = a$ (med $a > 0$ ) gir to tilfeller: $u = a$ eller $u = -a$ .
- Ulikheter: $|u| < a$ betyr $-a < u < a$ , mens $|u| > a$ betyr $u < -a$ eller $u > a$ .
- Grafen til $f(x) = |x - a|$ er V-formet med bunnpunkt i $(a, 0)$ .

Nøkkelbegreper

Begrep	Forklaring
Absoluttverdi	Avstand til null: $\|x\| = x$ hvis $x \geq 0$ , $\|x\| = -x$ hvis $x < 0$
V-graf	Grafen til en absoluttverdifunksjon
Tilfelledeling	Å løse likningen separat for hvert fortegnstilfelle

Viktige formler

|u| = a \Leftrightarrow u = a

eller

u = -a

(for

a > 0

)
-

|u| < a \Leftrightarrow -a < u < a

|u| > a \Leftrightarrow u < -a

eller

u > a

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver