1.3 Likninger og ulikheter | Matematikk S1

Løse polynomlikninger og rasjonale likninger.

60 min

17 oppgaver

PolynomlikningerRasjonale likningerUlikheterFortegnslinje

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 17 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

1.2Rasjonale uttrykk

Brukes videre i

1.4Rasjonale uttrykk

Polynomlikninger

En polynomlikning har formen $P(x) = 0$ der $P(x)$ er et polynom.

Løsningsmetoder:
1. Faktorisering (ved hjelp av nullpunktene)
2. Polynomdivisjon (når ett nullpunkt er kjent)
3. ABC-formelen (for andregradslikninger)

Nullpunktsmetoden

P(x) = (x - a_1)(x - a_2) \cdots (x - a_n) = 0

✏️Eksempel 1: Tredjegradslikning

Løs likningen $x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = 0$ .

Løsning:

Steg 1: Finn ett nullpunkt ved å prøve divisorer av 6
$P(1) = 1 - 2 - 5 + 6 = 0$ ✓

Steg 2: Polynomdivisjon
$(x^3 - 2x^2 - 5x + 6) \div (x - 1) = x^2 - x - 6$

Steg 3: Faktoriser resten
$x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2)$

Steg 4: Fullstendig faktorisering
$x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = (x - 1)(x - 3)(x + 2) = 0$

Løsninger: $x = 1$ , $x = 3$ , $x = -2$

📝Oppgave 1

Løs likningen $x^3 + 2x^2 - x - 2 = 0$ .

📝Oppgave 2

Løs likningen $x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0$ .

📝Oppgave 3

Løs likningen $2x^3 - x^2 - 5x - 2 = 0$ .

Rasjonale likninger

En rasjonal likning inneholder rasjonale uttrykk.

Løsningsmetode:
1. Finn fellesnevner
2. Multipliser hele likningen med fellesnevneren
3. Løs polynomlikningen
4. Sjekk at løsningene ikke gir null i nevneren

✏️Eksempel 2: Rasjonal likning

Løs likningen $\displaystyle \frac{1}{x} + \frac{2}{x-1} = 3$ .

Løsning:

Fellesnevner: $x(x-1)$

Multipliser med fellesnevner:
$\displaystyle \frac{x(x-1)}{x} + \frac{2x(x-1)}{x-1} = 3x(x-1)$
$(x-1) + 2x = 3x(x-1)$
$3x - 1 = 3x^2 - 3x$
$0 = 3x^2 - 6x + 1$

ABC-formelen:
$\displaystyle x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 12}}{6} = \frac{6 \pm \sqrt{24}}{6} = \frac{6 \pm 2\sqrt{6}}{6} = 1 \pm \frac{\sqrt{6}}{3}$

Sjekk: Ingen av løsningene gir $x = 0$ eller $x = 1$ .

Løsninger: $\displaystyle x = 1 + \frac{\sqrt{6}}{3}$ og $\displaystyle x = 1 - \frac{\sqrt{6}}{3}$

📝Oppgave 4

Løs likningen $\displaystyle \frac{3}{x-2} = \frac{x}{x-2} + 1$ .

📝Oppgave 5

Løs likningen $\displaystyle \frac{2}{x+1} - \frac{1}{x-1} = 0$ .

📝Oppgave 6

Løs likningen $\displaystyle \frac{x}{x-3} = \frac{3}{x-3} + 2$ .

Ulikheter med polynomer

For å løse polynomuliheter bruker vi fortegnsskjema (fortegnslinje).

Metode:
1. Flytt alt til én side slik at høyre side blir 0
2. Faktoriser venstre side
3. Finn nullpunktene
4. Tegn fortegnslinje for hver faktor
5. Kombiner fortegnene

✏️Eksempel 3: Polynomulıkhet

Løs ulikheten $(x - 1)(x + 2) > 0$ .

Løsning:

Nullpunkter: $x = 1$ og $x = -2$

Fortegnslinje:

          -2        1
    ────────┼────────┼────────
x - 1:   -    -    -  |  +
x + 2:   -    |    +    +
────────────────────────────
Produkt: +    |    -  |  +

Analyse:
- For $x < -2$ : $(-)(-) = +$ (positiv)
- For $-2 < x < 1$ : $(-)(+) = -$ (negativ)
- For $x > 1$ : $(+)(+) = +$ (positiv)

Løsning: $x < -2$ eller $x > 1$

I intervallnotasjon: $(-\infty, -2) \cup (1, \infty)$

📝Oppgave 7

Løs ulikheten $x^2 - 4x + 3 < 0$ .

📝Oppgave 8

Løs ulikheten $x^2 - 2x - 8 \geq 0$ .

Rasjonale ulikheter

For rasjonale ulikheter må vi også ta hensyn til hvor nevneren er null.

Viktig: Vi kan ikke multiplisere med et uttrykk som kan være negativt uten å snu ulikhetstegnet!

✏️Eksempel 4: Rasjonal ulikhet

Løs ulikheten $\displaystyle \frac{x + 1}{x - 2} > 0$ .

Løsning:

Kritiske punkter:
- Teller = 0: $x = -1$
- Nevner = 0: $x = 2$ (ikke definert)

Fortegnslinje:

         -1        2
    ──────┼────────┼────────
x + 1:  -    |    +     +
x - 2:  -        -   |   +
────────────────────────────
Brøk:   +   |    -   |   +

Brøken er positiv når teller og nevner har samme fortegn.

Løsning: $x < -1$ eller $x > 2$

I intervallnotasjon: $(-\infty, -1) \cup (2, \infty)$

📝Oppgave 9

Løs ulikheten $\displaystyle \frac{x - 3}{x + 1} \leq 0$ .

📝Oppgave 10

Løs ulikheten $\displaystyle \frac{2x - 1}{x + 3} \geq 1$ .

📝Oppgave 11

Løs ulikheten $\displaystyle \frac{x^2 - 1}{x} > 0$ .

📝Oppgave 12

Finn alle heltallsløsninger til ulikheten $\displaystyle \frac{(x-2)(x+3)}{(x-1)(x+1)} < 0$ .

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Polynomlikninger: Flytt alt over på én side, faktoriser, og bruk nullpunktsmetoden: et produkt er null når minst én faktor er null.
- Rasjonale likninger: Multipliser med fellesnevneren, løs polynomlikningen — og kontroller at løsningene ikke gjør noen nevner til null.
- Polynomulikheter: Faktoriser og lag fortegnslinje. Les av hvor uttrykket er positivt eller negativt.
- Rasjonale ulikheter: Samle alt på én side med felles nevner. IKKE multipliser med uttrykk som kan skifte fortegn. Husk at nullpunkter i nevneren aldri er med i løsningen.

Nøkkelbegreper

Begrep	Forklaring
Nullpunktsmetoden	$a \cdot b = 0 \Leftrightarrow a = 0$ eller $b = 0$
Fortegnslinje	Oversikt over fortegnet til hver faktor og produktet
Falsk løsning	Løsning som gjør en nevner til null

Viktige formler

- abc-formelen:

x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

- Fortegnsskifte skjer bare i nullpunkter til teller eller nevner

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.