1.2 Rasjonale uttrykk | Matematikk S1

Faktorisere, forkorte, multiplisere, dividere og addere rasjonale uttrykk.

50 min

19 oppgaver

FaktoriseringForkortingFellesnevnerRasjonale uttrykk

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 19 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

1.1Polynomer

Brukes videre i

1.3Likninger og ulikheter

Hva er et rasjonalt uttrykk?

Et rasjonalt uttrykk er en brøk der teller og nevner er polynomer.

Eksempler:
- $\displaystyle \frac{x + 2}{x - 3}$
- $\displaystyle \frac{x^2 - 4}{x^2 + 2x + 1}$
- $\displaystyle \frac{2x}{x^2 - 1}$

Rasjonale uttrykk følger de samme reglene som vanlige brøker, men vi må være oppmerksomme på definisjonsmengden.

Rasjonalt uttrykk

\frac{P(x)}{Q(x)}

Forkorting av rasjonale uttrykk

For å forkorte et rasjonalt uttrykk:
1. Faktoriser teller og nevner
2. Stryk felles faktorer

Viktig: Vi kan bare forkorte faktorer, ikke ledd!

Felles faktor:

6x^2 + 9x = 3x(2x + 3)

Andregradsuttrykk:

x^2 + 5x + 6 = (x+2)(x+3)

Konjugatsetningen:

x^2 - 9 = (x-3)(x+3)

Kvadratsetningene:

x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2

Gruppering:

x^3 + x^2 - x - 1 = x^2(x+1) - (x+1) = (x+1)(x^2-1) = (x+1)^2(x-1)

✏️Eksempel 1: Forkorting

Forkort $\displaystyle \frac{x^2 - 4}{x^2 + 4x + 4}$ .

Løsning:

Faktoriser teller og nevner

Teller: $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$ (konjugatsetningen)

Nevner: $x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2$ (fullstendig kvadrat)

Forkort
$\frac{(x-2)(x+2)}{(x+2)^2} = \frac{x-2}{x+2}$

Definisjonsmengde: $x \neq -2$

Svar: $\displaystyle \frac{x-2}{x+2}$ , $x \neq -2$

Vanlig feil

Man kan bare forkorte faktorer, ikke ledd! $\displaystyle \frac{x+3}{x+5} \neq \frac{3}{5}$ (FEIL). Men $\displaystyle \frac{x(x+3)}{x(x+5)} = \frac{x+3}{x+5}$ er riktig.

📝Oppgave 1

Faktoriser uttrykkene fullstendig.

x^2 - 6x + 9

2x^2 - 8

x^3 - x

Løs oppgaven

📝Oppgave 2

Forkort $\displaystyle \frac{x^2 - 9}{x + 3}$ .

📝Oppgave 3

Forkort $\displaystyle \frac{x^2 + 5x + 6}{x^2 + 2x}$ .

📝Oppgave 4

Forkort $\displaystyle \frac{x^3 - x}{x^2 - 1}$ .

Multiplikasjon av rasjonale uttrykk

For å multiplisere rasjonale uttrykk:
$\frac{P(x)}{Q(x)} \cdot \frac{R(x)}{S(x)} = \frac{P(x) \cdot R(x)}{Q(x) \cdot S(x)}$

Tips: Faktoriser først, så kan du forkorte før du multipliserer.

✏️Eksempel 2: Multiplikasjon

Regn ut $\displaystyle \frac{x^2 - 1}{x + 3} \cdot \frac{x + 3}{x - 1}$ .

Løsning:

Faktoriser
$x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$

Skriv opp og forkort
$\frac{(x-1)(x+1)}{x+3} \cdot \frac{x+3}{x-1}$
$= \frac{(x-1)(x+1)(x+3)}{(x+3)(x-1)}$
$= x + 1$

Svar: $x + 1$ , $x \neq -3, 1$

📝Oppgave 5

Regn ut $\displaystyle \frac{x^2 - 4}{x + 1} \cdot \frac{x^2 - 1}{x - 2}$ .

Divisjon av rasjonale uttrykk

For å dividere rasjonale uttrykk, multipliserer vi med den omvendte brøken:
$\frac{P(x)}{Q(x)} : \frac{R(x)}{S(x)} = \frac{P(x)}{Q(x)} \cdot \frac{S(x)}{R(x)}$

📝Oppgave 6

Regn ut $\displaystyle \frac{x^2 - 9}{x} : \frac{x + 3}{x^2}$ .

Addisjon og subtraksjon

For å addere eller subtrahere rasjonale uttrykk trenger vi fellesnevner.

$\frac{P(x)}{Q(x)} + \frac{R(x)}{S(x)} = \frac{P(x) \cdot S(x) + R(x) \cdot Q(x)}{Q(x) \cdot S(x)}$

✏️Eksempel 3: Addisjon

Regn ut $\displaystyle \frac{2}{x-1} + \frac{3}{x+1}$ .

Løsning:

Fellesnevner: $(x-1)(x+1) = x^2 - 1$

Utvider brøkene:
$\frac{2(x+1)}{(x-1)(x+1)} + \frac{3(x-1)}{(x-1)(x+1)}$

Adderer tellerne:
$= \frac{2(x+1) + 3(x-1)}{x^2 - 1}$
$= \frac{2x + 2 + 3x - 3}{x^2 - 1}$
$= \frac{5x - 1}{x^2 - 1}$

Svar: $\displaystyle \frac{5x - 1}{x^2 - 1}$ , $x \neq \pm 1$

📝Oppgave 7

Regn ut $\displaystyle \frac{1}{x} + \frac{2}{x+1}$ .

📝Oppgave 8

Regn ut $\displaystyle \frac{x}{x-2} - \frac{2}{x+2}$ .

📝Oppgave 9

Forenkle $\displaystyle \frac{1}{x-1} + \frac{1}{x} - \frac{2x-1}{x^2-x}$ .

📝Oppgave 10

Forenkle $\displaystyle \frac{x^2}{x^2-1} - \frac{x}{x-1}$ .

📝Oppgave 11

Forenkle $\displaystyle \frac{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}}{\frac{1}{x} - \frac{1}{y}}$ .

📝Oppgave 12

Forenkle det sammensatte brøkuttrykket.

\displaystyle \dfrac{1 - \frac{4}{x^2}}{1 - \frac{4}{x} + \frac{4}{x^2}}

Løs oppgaven

📝Oppgave 13

Forenkle $\displaystyle \frac{x^2 - 4}{x^2 + x - 2} \cdot \frac{x^2 - 1}{x^2 - 4x + 4}$ .

📝Oppgave 14

Vis at $\displaystyle \frac{x^3 - 1}{x - 1} = x^2 + x + 1$ for $x \neq 1$ .

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Rasjonalt uttrykk: En brøk $\displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)}$ der teller og nevner er polynomer. Uttrykket er ikke definert der nevneren er null.
- Faktorisering: Sett felles faktor utenfor, bruk kvadratsetningene og konjugatsetningen, finn nullpunkter med abc-formelen, eller grupper leddene.
- Forkorting: Faktoriser teller og nevner, og stryk felles faktorer — aldri ledd.
- Multiplikasjon: Gang teller med teller og nevner med nevner — faktoriser og forkort først.
- Divisjon: Å dele på en brøk er det samme som å gange med den omvendte brøken.
- Addisjon og subtraksjon: Finn fellesnevner ved å faktorisere nevnerne, utvid brøkene, og trekk sammen tellerne.

Nøkkelbegreper

Begrep	Forklaring
Rasjonalt uttrykk	Brøk med polynomer i teller og nevner
Definisjonsmengde	Alle $x$ der nevneren ikke er null
Fellesnevner	Felles multiplum av nevnerne
Forkorting	Stryke felles faktor i teller og nevner

Viktige formler

\displaystyle \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}

\displaystyle \frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}

\displaystyle \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd}

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.