1.2 Rasjonale uttrykk

Kostnad per enhet

Du sitter i et møte med ei venninne som driver et lite trykkeri. Hun viser deg regnearket sitt: totalkostnaden for å produsere plakater er et polynom, og når hun deler på antall plakater for å finne kostnaden per plakat, får hun en brøk der både teller og nevner inneholder $x$. «Kan dette forenkles?» spør hun. Svaret er ja — og uttrykket hun har laget, har et eget navn i matematikken.

Et rasjonalt uttrykk er en brøk der teller og nevner er polynomer, altså et uttrykk på formen

$$\frac{P(x)}{Q(x)}$$

der $P(x)$ og $Q(x)$ er polynomer og $Q(x) \neq 0$. Typiske eksempler er $\displaystyle \frac{x+2}{x-3}$, $\displaystyle \frac{x^2-4}{x^2+2x+1}$ og $\displaystyle \frac{2x}{x^2-1}$.

Rasjonale uttrykk følger de samme reglene som vanlige tallbrøker, men med én viktig tilleggsbekymring: definisjonsmengden. En brøk gir bare mening når nevneren ikke er null, så definisjonsmengden er alle verdier av $x$ der $Q(x) \neq 0$. For uttrykket $\displaystyle \frac{x+2}{x-3}$ betyr det at $x \neq 3$. I trykkeriets modell tilsvarer det at vi ikke kan snakke om kostnad per plakat hvis vi ikke produserer noen — modellen har grenser, og de må vi holde styr på.

I dette kapittelet lærer du å forkorte, multiplisere, dividere og addere rasjonale uttrykk, slik at modellene dine blir så enkle og oversiktlige som mulig.

Forkorting — rydd i modellen

Venninna di har endt opp med uttrykket $\displaystyle \frac{x^2 - 4}{x^2 + 4x + 4}$ i regnearket. Det ser tungt ut, men forkorting følger en fast oppskrift: faktoriser teller og nevner, og stryk felles faktorer.

Telleren kjenner vi igjen fra konjugatsetningen: $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$. Nevneren er et fullstendig kvadrat: $x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2$. Dermed blir

$$\frac{x^2 - 4}{x^2 + 4x + 4} = \frac{(x-2)(x+2)}{(x+2)^2} = \frac{x-2}{x+2}, \quad x \neq -2$$

Legg merke til at vi noterer begrensningen $x \neq -2$. Selv om det forkortede uttrykket ser ut til å tåle alle verdier unntatt $-2$, må definisjonsmengden følge med fra det opprinnelige uttrykket.

Her lurer også den vanligste feilen i hele kapittelet. Vi kan bare forkorte faktorer, aldri ledd. Det er fristende å stryke $x$-ene i $\displaystyle \frac{x+3}{x+5}$ og påstå at svaret er $\displaystyle \frac{3}{5}$ — men det er feil, like feil som å påstå at $\displaystyle \frac{13}{15} = \frac{3}{5}$ fordi vi stryker 1-tallene. Derimot er $\displaystyle \frac{x(x+3)}{x(x+5)} = \frac{x+3}{x+5}$ helt riktig, fordi $x$ der står som en faktor i både teller og nevner.

Tommelfingerregelen er enkel: faktoriser først, forkort etterpå. Står uttrykket som en sum, har du ingenting å stryke.

Multiplikasjon, divisjon og addisjon

Trykkeriet vurderer å kombinere to modeller — én for materialkostnad og én for tidsbruk — og da må rasjonale uttrykk ganges, deles og legges sammen. Heldigvis gjelder akkurat de samme reglene som for tallbrøker.

Ved multiplikasjon ganger vi teller med teller og nevner med nevner: $\displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)} \cdot \frac{R(x)}{S(x)} = \frac{P(x) \cdot R(x)}{Q(x) \cdot S(x)}$. Det lønner seg å faktorisere først, så du kan forkorte før du multipliserer. Se på $\displaystyle \frac{x^2-1}{x+3} \cdot \frac{x+3}{x-1}$. Vi faktoriserer $x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$ og får

$$\frac{(x-1)(x+1)(x+3)}{(x+3)(x-1)} = x + 1, \quad x \neq -3, \; x \neq 1$$

Ved divisjon multipliserer vi med den omvendte brøken: $\displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)} \div \frac{R(x)}{S(x)} = \frac{P(x)}{Q(x)} \cdot \frac{S(x)}{R(x)}$ — å dele på en brøk er å gange med den snudd.

Ved addisjon og subtraksjon trenger vi fellesnevner, akkurat som når vi legger sammen $\displaystyle \frac{1}{2}$ og $\displaystyle \frac{1}{3}$. Skal vi regne ut $\displaystyle \frac{2}{x-1} + \frac{3}{x+1}$, bruker vi fellesnevneren $(x-1)(x+1) = x^2 - 1$ og utvider begge brøkene:

$$\frac{2(x+1)}{(x-1)(x+1)} + \frac{3(x-1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{2x + 2 + 3x - 3}{x^2 - 1} = \frac{5x - 1}{x^2 - 1}$$

med begrensningen $x \neq \pm 1$. Generelt gjelder $\displaystyle \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd}$. Med disse fire regneartene kan du slå sammen og forenkle nesten enhver brøkmodell du møter — i økonomi som i resten av S1.

Oppsummering: brøker med polynomer

Da venninna di lukket regnearket, var kostnadsmodellen redusert fra et uoversiktlig brøkuttrykk til noe hun faktisk kunne presentere for banken. Veien dit gikk gjennom fire ferdigheter du nå behersker.

Et rasjonalt uttrykk er en brøk $\displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)}$ der teller og nevner er polynomer, og definisjonsmengden er alle $x$ der nevneren ikke er null. Den begrensningen følger uttrykket gjennom alle omforminger — glem den aldri.

Forkorting gjør du ved å faktorisere teller og nevner og stryke felles faktorer. Husk den gylne regelen: du kan bare forkorte faktorer, aldri ledd. Multiplikasjon er teller ganger teller og nevner ganger nevner, helst etter at du har faktorisert og forkortet. Divisjon er multiplikasjon med den omvendte brøken. Og addisjon og subtraksjon krever fellesnevner, som du finner ved å faktorisere nevnerne, før du utvider brøkene og trekker sammen tellerne.

Formlene er de samme som for tallbrøker: $\displaystyle \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$, $\displaystyle \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$ og $\displaystyle \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad+bc}{bd}$. Det nye er at byggesteinene er polynomer — og at faktorisering dermed er nøkkelen til alt. I neste kapittel skal vi bruke disse ferdighetene når rasjonale uttrykk dukker opp i likninger og ulikheter.