1.1 Polynomer | Matematikk S1

Polynomdivisjon og faktorisering av polynomer.

55 min

17 oppgaver

PolynomerPolynomdivisjonFaktoriseringNullpunkter

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 17 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Brukes videre i

1.2Rasjonale uttrykk

Hva er et polynom?

Et polynom er et uttrykk som består av ledd med variabler opphøyd i ikke-negative heltall, multiplisert med koeffisienter.

Generelt polynom av grad $n$ :
$P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0$

der $a_n \neq 0$ og $n$ er et ikke-negativt heltall.

Eksempler:
- $P(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 1$ er et tredjegradspolynom
- $Q(x) = x^2 - 4$ er et andregradspolynom
- $R(x) = 5x + 2$ er et førstegradspolynom

Polynom

P(x)

Polynomdivisjon

Polynomdivisjon fungerer på samme måte som lang divisjon med tall. Vi kan dele et polynom $P(x)$ på et polynom $D(x)$ og få:

$P(x) = D(x) \cdot Q(x) + R(x)$

der:
- $P(x)$ er dividenden (det vi deler)
- $D(x)$ er divisoren (det vi deler på)
- $Q(x)$ er kvotienten (svaret)
- $R(x)$ er resten (grad mindre enn $D(x)$ )

✏️Eksempel 1: Polynomdivisjon

Del $P(x) = x^3 + 2x^2 - 5x - 6$ på $D(x) = x + 3$ .

Løsning:

$\begin{array}{rrrrl} (x^3 & +\,2x^2 & -\,5x & -\,6) & \;:\;(x + 3) = x^2 - x - 2 \\ -(x^3 & +\,3x^2) & & & \\ & -x^2 & -\,5x & & \\ & -(-x^2 & -\,3x) & & \\ & & -2x & -\,6 & \\ & & -(-2x & -\,6) & \\ & & & 0 & \end{array}$

Resten er 0, så $(x + 3)$ er en faktor i $P(x)$ .

Svar: $x^3 + 2x^2 - 5x - 6 = (x + 3)(x^2 - x - 2)$

📝Oppgave 1

Utfør polynomdivisjon: $(x^3 - 7x + 6) : (x - 2)$

📝Oppgave 2

Utfør polynomdivisjon: $(2x^3 + 5x^2 - x - 6) : (x + 2)$

📜Faktorsetningen

Hvis $P(a) = 0$ for et polynom $P(x)$ , så er $(x - a)$ en faktor i $P(x)$ .

Ekvivalent: Hvis $(x - a)$ er en faktor i $P(x)$ , så er $P(a) = 0$ .

Konsekvens: For å finne faktorer kan vi:
1. Gjette nullpunkter (ofte heltall som deler konstantleddet)
2. Verifisere ved å sette inn i polynomet
3. Bruke polynomdivisjon til å finne resten av faktorene

Restsetningen: Dividerer vi $P(x)$ med $(x - a)$ , er resten $P(a)$ . Divisjonen gir $P(x) = (x - a) \cdot Q(x) + r$ , der resten $r$ er et tall. Setter vi inn $x = a$ , får vi $P(a) = 0 \cdot Q(a) + r = r$ . Faktorsetningen er tilfellet $r = 0$ .

✏️Eksempel 2: Bruke faktorsetningen

Faktoriser $P(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ fullstendig.

Løsning:

Finn kandidater til nullpunkter
Konstantleddet er $-6$ , så vi prøver divisorene av 6: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$

Test kandidatene
- $P(1) = 1 - 6 + 11 - 6 = 0$

Så $(x - 1)$ er en faktor!

Polynomdivisjon
$(x^3 - 6x^2 + 11x - 6) : (x - 1) = x^2 - 5x + 6$

Faktoriser resten
$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$

Svar: $P(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)$

Nullpunktene er $x = 1$ , $x = 2$ og $x = 3$ .

📝Oppgave 3

Bruk faktorsetningen til å faktorisere $P(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6$ fullstendig.

📝Oppgave 4

Faktoriser $P(x) = x^3 + 6x^2 + 11x + 6$ fullstendig.

📝Oppgave 5

Faktoriser $P(x) = 2x^3 - 3x^2 - 8x + 12$ fullstendig.

📝Oppgave 6

Gitt at $x = -1$ er et nullpunkt for $P(x) = x^4 + x^3 - 7x^2 - x + 6$ . Faktoriser polynomet fullstendig.

📝Oppgave 7

Vis at $P(x) = x^3 - 3x + 2$ har et dobbelt nullpunkt, og finn alle nullpunkter.

📝Oppgave 8

Finn polynomet $P(x)$ av grad 3 med ledende koeffisient 1 som har nullpunkter $x = -2$ , $x = 1$ og $x = 3$ .

📝Oppgave 9

Bestem verdien av $k$ slik at $(x + 2)$ er en faktor i $P(x) = x^3 + kx^2 - x - 6$ .

📝Oppgave 10

Et polynom $P(x)$ av grad 3 med ledende koeffisient 2 har nullpunkter $x = 1$ og $\displaystyle x = -\frac{1}{2}$ . Det tredje nullpunktet er dobbelt så stort som det første. Finn $P(x)$ .

📝Oppgave 11

Utfør divisjonen $(x^4 - 1) : (x - 1)$ og bruk resultatet til å faktorisere $x^4 - 1$ fullstendig.

📝Oppgave 12

Del $P(x) = x^4 + 2x^3 - 3x^2 + 4x - 4$ på $D(x) = x^2 + x - 2$ og uttrykk $P(x)$ på formen $P(x) = D(x) \cdot Q(x) + R(x)$ .

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Polynom: Et uttrykk på formen $P(x) = a_n x^n + \ldots + a_1 x + a_0$ der graden $n$ er høyeste eksponent.
- Polynomdivisjon: Vi kan dele $P(x)$ på $D(x)$ og få $P(x) = D(x) \cdot Q(x) + R(x)$ , der $R(x)$ har lavere grad enn $D(x)$ .
- Faktorsetningen: $(x - a)$ er en faktor i $P(x)$ hvis og bare hvis $P(a) = 0$ .
- Faktorisering: Gjett et nullpunkt $a$ , del på $(x - a)$ med polynomdivisjon, og faktoriser kvotienten videre.

Nøkkelbegreper

Begrep	Forklaring
Polynom	Sum av ledd $a_k x^k$ med ikke-negative heltallseksponenter
Grad	Høyeste eksponent i polynomet
Kvotient	Svaret i en polynomdivisjon
Rest	Det som blir igjen etter divisjonen
Nullpunkt	Verdi $a$ der $P(a) = 0$

Viktige formler

- Divisjonsidentiteten:

P(x) = D(x) \cdot Q(x) + R(x)

- Faktorsetningen:

P(a) = 0 \Leftrightarrow (x - a)

er faktor i

P(x)

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.