1.3 Likninger og ulikheter

Når lønner det seg?

Du har fått sommerjobb som analyseassistent i et lite konsulentfirma. Den første oppgaven din: en kunde vil vite for hvilke produksjonsnivåer overskuddsmodellen deres er lik null — og enda viktigere, når den er positiv. Det første spørsmålet er en likning, det andre en ulikhet. Dette kapittelet gir deg verktøyene til å svare på begge.

En polynomlikning har formen $P(x) = 0$ der $P(x)$ er et polynom. Vi har tre hovedmetoder for å løse slike: faktorisering ved hjelp av nullpunktene, polynomdivisjon når ett nullpunkt er kjent, og abc-formelen for andregradslikninger.

Selve grunnprinsippet bak faktorisering kalles nullpunktsmetoden: et produkt er null hvis og bare hvis minst én faktor er null. Hvis $P(x) = (x - a_1)(x - a_2) \cdots (x - a_n) = 0$, så er løsningene rett og slett $x = a_1, a_2, \ldots, a_n$. Klarer du å skrive modellen som et produkt, kan du lese av løsningene direkte.

Det høres nesten for enkelt ut, men det er nettopp dette som gjør faktorisering så verdifullt: en komplisert tredjegradslikning blir til tre små førstegradslikninger. Og som du skal se, er den samme faktoriseringen også nøkkelen når kunden spør om ulikheter — for da trenger vi å vite ikke bare hvor uttrykket er null, men hvilket fortegn det har imellom nullpunktene.

Polynomlikninger — fra gjetning til løsning

Kundens modell koker ned til likningen $x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = 0$. En tredjegradslikning har ingen enkel formel du kan slå opp, så vi bruker strategien fra kapittel 1.1.

Først leter vi etter ett nullpunkt blant divisorene av konstantleddet 6, altså $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$. Vi prøver $x = 1$: $P(1) = 1 - 2 - 5 + 6 = 0$. Treff på første forsøk! Faktorsetningen forteller oss da at $(x - 1)$ er en faktor.

Så utfører vi polynomdivisjonen $(x^3 - 2x^2 - 5x + 6) \div (x - 1) = x^2 - x - 6$, og dette andregradsuttrykket faktoriserer vi videre: $x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2)$, siden $-3 \cdot 2 = -6$ og $-3 + 2 = -1$. Dermed er

$$x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = (x - 1)(x - 3)(x + 2) = 0$$

og nullpunktsmetoden gir løsningene $x = 1$, $x = 3$ og $x = -2$. Tre tall som forteller kunden nøyaktig hvor modellen krysser null.

Oppskriften er alltid den samme: gjett et nullpunkt blant divisorene av konstantleddet, verifiser ved innsetting, del bort faktoren med polynomdivisjon, og løs resten med faktorisering eller abc-formelen $\displaystyle x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$. Slik reduserer du gradvis en vanskelig likning til noe du kan fra før.

Rasjonale likninger — og fellen med falske løsninger

Neste oppdrag fra kunden inneholder brøker: $\displaystyle \frac{1}{x} + \frac{2}{x-1} = 3$. En rasjonal likning inneholder rasjonale uttrykk, og metoden er å finne fellesnevneren, multiplisere hele likningen med den, løse polynomlikningen som oppstår — og til slutt sjekke at ingen av løsningene gjør en nevner til null.

Her er fellesnevneren $x(x-1)$. Vi ganger hvert ledd med den: $\displaystyle \frac{x(x-1)}{x} + \frac{2x(x-1)}{x-1} = 3x(x-1)$, som forenkles til $(x-1) + 2x = 3x(x-1)$. Venstresiden blir $3x - 1$, høyresiden $3x^2 - 3x$, så vi samler alt: $0 = 3x^2 - 6x + 1$.

Abc-formelen med $a = 3$, $b = -6$ og $c = 1$ gir

$$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 12}}{6} = \frac{6 \pm \sqrt{24}}{6} = \frac{6 \pm 2\sqrt{6}}{6} = 1 \pm \frac{\sqrt{6}}{3}$$

Før vi leverer svaret, kontrollerer vi: ingen av løsningene er $x = 0$ eller $x = 1$, så begge er gyldige.

Hvorfor er denne sjekken så viktig? Når vi multipliserer en likning med et uttrykk som inneholder $x$, kan vi innføre falske løsninger — verdier som løser den nye polynomlikningen, men som gjør en nevner i originalen til null. En falsk løsning er som et regnestykke som ser riktig ut i rapporten, men beskriver en situasjon som ikke finnes. Profesjonelle analytikere sjekker alltid; det bør du også gjøre.

Ulikheter og fortegnslinjer — når er overskuddet positivt?

Nå til kundens egentlige spørsmål: ikke bare hvor modellen er null, men når den er positiv. For å løse polynomulikheter bruker vi fortegnsskjema, også kalt fortegnslinje. Metoden: flytt alt over på én side slik at høyre side blir 0, faktoriser venstresiden, finn nullpunktene, tegn fortegnslinje for hver faktor, og kombiner fortegnene.

Ta ulikheten $(x - 1)(x + 2) > 0$. Nullpunktene er $x = 1$ og $x = -2$, og de deler tallinja i tre intervaller. For $x < -2$ er begge faktorene negative, og produktet $(-)(-) = +$ er positivt. For $-2 < x < 1$ er $(x+2)$ positiv men $(x-1)$ negativ, så produktet er negativt. For $x > 1$ er begge positive, og produktet er positivt. Løsningen blir $x < -2$ eller $x > 1$, i intervallnotasjon $(-\infty, -2) \cup (1, \infty)$.

For rasjonale ulikheter gjelder samme idé, men med to viktige tillegg. For det første: vi kan ikke multiplisere med et uttrykk som kan være negativt uten å snu ulikhetstegnet — derfor samler vi heller alt på én side og bruker fortegnslinje. For det andre: nullpunktene i nevneren er aldri med i løsningen, for der er uttrykket udefinert.

Se på $\displaystyle \frac{x+1}{x-2} > 0$. De kritiske punktene er $x = -1$ (teller null) og $x = 2$ (nevner null, udefinert). Brøken er positiv når teller og nevner har samme fortegn: for $x < -1$ er begge negative, for $x > 2$ er begge positive. Løsningen er $x < -1$ eller $x > 2$, altså $(-\infty, -1) \cup (2, \infty)$. Fortegn skifter bare i nullpunktene til teller eller nevner — derfor er fortegnslinja et komplett kart over modellens oppførsel.

Oppsummering: analytikerens metode

Rapporten til kunden er klar, og den bygger på fire teknikker du nå mestrer. Polynomlikninger løser du ved å flytte alt over på én side, faktorisere — om nødvendig med et gjettet nullpunkt og polynomdivisjon — og bruke nullpunktsmetoden: et produkt er null når minst én faktor er null. For andregradsuttrykk har du alltid abc-formelen $\displaystyle x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ i bakhånd.

Rasjonale likninger løser du ved å multiplisere med fellesnevneren og løse polynomlikningen som oppstår — men husk kontrollen: en løsning som gjør en nevner til null, er en falsk løsning og må forkastes.

Polynomulikheter krever fortegnslinje. Faktoriser, finn nullpunktene, og les av hvor produktet er positivt eller negativt. Rasjonale ulikheter behandles på samme måte, med to ekstra regler: multipliser aldri med et uttrykk som kan skifte fortegn, og husk at nullpunkter i nevneren aldri er med i løsningen.

Den røde tråden er fortegnslinja: fortegn skifter bare i nullpunktene til teller eller nevner, så når du kjenner disse punktene, kjenner du hele oppførselen til uttrykket. For kunden betyr det et presist svar på når virksomheten lønner seg. For deg betyr det at likninger og ulikheter ikke lenger er to ulike verdener, men én sammenhengende analyse av nullpunkter og fortegn.