1.5 Ulikheter | Matematikk S1

Rasjonale uttrykk

Et rasjonalt uttrykk er en brøk der teller og nevner er polynomer. For å forenkle:
1. Faktoriser teller og nevner fullstendig
2. Forkort felles faktorer
3. Angi begrensninger på variabelen

Felles faktor:

6x^2 + 9x = 3x(2x + 3)

Andregradsuttrykk:

x^2 + 5x + 6 = (x+2)(x+3)

Konjugatsetningen:

x^2 - 9 = (x-3)(x+3)

Kvadratsetningene:

x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2

Gruppering:

x^3 + x^2 - x - 1 = x^2(x+1) - (x+1) = (x+1)(x^2-1)

✏️Eksempel 1: Forenkle rasjonalt uttrykk

Forenkle $\dfrac{x^2 - 4}{x^2 + 4x + 4}$ .

Teller:

(x-2)(x+2)

. Nevner:

(x+2)^2

\frac{(x-2)(x+2)}{(x+2)^2} = \frac{x-2}{x+2}, \quad x \neq -2

✏️Eksempel 2: Addere rasjonale uttrykk

Forenkle $\dfrac{1}{x-1} + \dfrac{2}{x+1}$ .

Fellesnevner

(x-1)(x+1)

\frac{(x+1) + 2(x-1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{3x-1}{x^2-1}

Vanlig feil

Man kan bare forkorte faktorer, ikke ledd! $\displaystyle \frac{x+3}{x+5} \neq \frac{3}{5}$ (FEIL). Men $\displaystyle \frac{x(x+3)}{x(x+5)} = \frac{x+3}{x+5}$ er riktig.

📝Oppgave 1.5.1

Faktoriser uttrykkene fullstendig.

x^2 - 6x + 9

2x^2 - 8

x^3 - x

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 1.5.2

Forenkle de rasjonale uttrykkene.

\dfrac{x^2 - 9}{x^2 - 6x + 9}

\dfrac{x^2 + 3x}{x^2 + 5x + 6}

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 1.5.3

Utfør regneoperasjonene og forenkle.

\dfrac{2}{x+1} - \dfrac{1}{x-1}

\dfrac{x}{x-2} \cdot \dfrac{x^2-4}{x^2}

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 1.5.4

Forenkle de sammensatte brøkuttrykkene.

\displaystyle \dfrac{\frac{1}{x} - \frac{1}{y}}{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}}

\displaystyle \dfrac{1 - \frac{4}{x^2}}{1 - \frac{4}{x} + \frac{4}{x^2}}

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 1.5.5

Vis at $\dfrac{x^3 - 8}{x^2 - 4} = \dfrac{x^2 + 2x + 4}{x + 2}$ for $x \neq 2$ .

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Faktoriseringsmetoder: Sett felles faktor utenfor, bruk kvadratsetningene og konjugatsetningen, eller finn nullpunkter med abc-formelen.
- Forenkling av rasjonale uttrykk: Faktoriser teller og nevner fullstendig før du forkorter — du kan bare stryke felles faktorer, aldri ledd.
- Addisjon av brøker: Faktoriser nevnerne for å finne minste fellesnevner.

Nøkkelbegreper

Begrep	Forklaring
Felles faktor	Faktor som finnes i alle ledd
Kvadratsetningene	$(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$
Konjugatsetningen	$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$
Minste fellesnevner	Det minste uttrykket alle nevnerne deler

Viktige formler

a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2

a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2

a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)

ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)

der

x_1, x_2

er nullpunktene

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver