1.4 Rasjonale uttrykk

Avvik teller — uansett retning

Du har fått ansvar for kvalitetskontrollen i en liten bedrift som pakker kaffeposer. Hver pose skal veie 500 gram, men ingen maskin er perfekt: noen poser blir litt for tunge, andre litt for lette. Når du skal vurdere kvaliteten, bryr du deg ikke om retningen på feilen — en pose på 493 gram er like problematisk som en på 507. Det du trenger, er et mål på avstanden fra målverdien. Det målet heter absoluttverdi.

Absoluttverdien til et tall $x$ angir avstanden fra $x$ til 0 på tallinja, og defineres slik:

$$|x| = \begin{cases} x & \text{hvis } x \geq 0 \\ -x & \text{hvis } x < 0 \end{cases}$$

For eksempel er $|3| = 3$, $|-5| = 5$ og $|0| = 0$. Er tallet positivt eller null, skjer ingenting; er det negativt, bytter vi fortegn. Resultatet er aldri negativt — en avstand kan jo ikke være det.

Funksjonen $f(x) = |x|$ har en karakteristisk V-formet graf med bunnpunkt i origo. Mer generelt gir $f(x) = |g(x)|$ en graf der alle de negative verdiene av $g(x)$ speiles opp om $x$-aksen. Og grafen til $f(x) = |x - a|$ er V-formet med bunnpunkt i $(a, 0)$ — den måler avstanden fra $x$ til $a$. I kaffeposeeksempelet er avviket til en pose som veier $x$ gram nettopp $|x - 500|$. I dette kapittelet skal du lære regnereglene for absoluttverdi og hvordan du løser likninger og ulikheter der den dukker opp.

Regneregler og likninger med absoluttverdi

Før du kan bruke absoluttverdien i kontrollrapportene, trenger du regnereglene. For alle reelle tall $a$ og $b$ gjelder at $|a| \geq 0$, at $|a \cdot b| = |a| \cdot |b|$ og at $\displaystyle \left|\frac{a}{b}\right| = \frac{|a|}{|b|}$ når $b \neq 0$ — absoluttverdien fordeler seg altså pent over multiplikasjon og divisjon. Videre gjelder trekantulikheten $|a + b| \leq |a| + |b|$: absoluttverdien av en sum kan aldri overstige summen av absoluttverdiene. Til slutt er $|a|^2 = a^2$, siden kvadrering uansett fjerner fortegnet.

Så til likningene. Hvordan løser vi $|2x - 3| = 5$? Tenk på hva likningen sier: uttrykket $2x - 3$ har avstand 5 fra null. Det kan skje på to måter — uttrykket er enten $5$ eller $-5$. Vi deler derfor i to tilfeller.

Tilfelle 1: $2x - 3 = 5$, som gir $2x = 8$ og $x = 4$.

Tilfelle 2: $2x - 3 = -5$, som gir $2x = -2$ og $x = -1$.

Løsningen er altså $x = 4$ eller $x = -1$. Generelt gjelder at $|u| = a$ (med $a > 0$) alltid gir de to tilfellene $u = a$ eller $u = -a$. Denne tilfelledelingen er selve nøkkelteknikken for absoluttverdilikninger: du fjerner absoluttverditegnet ved å vurdere begge fortegnsmulighetene hver for seg, og løser to vanlige likninger i stedet for én uvanlig.

Toleransegrenser — ulikheter med absoluttverdi

Tilbake til kaffeposene. Bedriften har bestemt at en pose godkjennes hvis avviket fra 500 gram er mindre enn 10 gram. Som ulikhet: $|x - 500| < 10$. Hvordan løser vi slike?

Nøkkelen er igjen å tenke avstand. At $|u| < a$, betyr at $u$ ligger nærmere null enn $a$ — altså mellom $-a$ og $a$. Generelt gjelder

$$|u| < a \iff -a < u < a$$

For kaffeposene gir det $-10 < x - 500 < 10$, og ved å legge til 500 i alle ledd: $490 < x < 510$. Godkjente poser veier altså mellom 490 og 510 gram.

Den motsatte varianten, $|u| > a$, betyr at $u$ ligger lenger fra null enn $a$, og det kan skje på to kanter:

$$|u| > a \iff u < -a \text{ eller } u > a$$

Hvis kontrollsystemet skal slå alarm når avviket er større enn 10 gram, skjer det altså for $x < 490$ eller $x > 510$.

La oss ta et rent matematisk eksempel også: $|x + 1| < 4$ gir $-4 < x + 1 < 4$, altså $-5 < x < 3$, som vi skriver $x \in \langle -5, 3 \rangle$.

Grafisk er alt dette lett å se: grafen til $f(x) = |x - a|$ er en V med bunnpunkt i $(a, 0)$. Ulikheten $|x - a| < t$ beskriver de $x$-verdiene der V-en ligger under den horisontale linja $y = t$ — et symmetrisk intervall rundt $a$. Toleransegrenser i industrien er bokstavelig talt absoluttverdiulikheter i arbeid.

Oppsummering: avstand som matematikk

Kvalitetskontrollen i kaffebedriften ga oss en konkret måte å forstå absoluttverdien på: den måler avvik uten å bry seg om retning. Absoluttverdien $|x|$ er avstanden fra $x$ til null på tallinja, definert ved at $|x| = x$ når $x \geq 0$ og $|x| = -x$ når $x < 0$. Den er aldri negativ, og den følger regnereglene $|ab| = |a||b|$, $\displaystyle \left|\frac{a}{b}\right| = \frac{|a|}{|b|}$, trekantulikheten $|a+b| \leq |a| + |b|$ og $|a|^2 = a^2$.

Likninger med absoluttverdi løser du med tilfelledeling: $|u| = a$ (med $a > 0$) gir de to tilfellene $u = a$ eller $u = -a$, og dermed som regel to løsninger.

Ulikheter leser du som avstandsutsagn. $|u| < a$ betyr at $u$ ligger mellom $-a$ og $a$, mens $|u| > a$ betyr at $u < -a$ eller $u > a$. Det er nøyaktig slik toleransegrenser fungerer: $|x - 500| \leq 10$ beskriver et symmetrisk godkjenningsintervall rundt målverdien.

Grafisk husker du absoluttverdifunksjonen som en V: $f(x) = |x - a|$ har bunnpunkt i $(a, 0)$, og $|g(x)|$ speiler de negative delene av $g$ opp om $x$-aksen. Avstand, tilfelledeling og V-grafen — det er hele kapittelet i tre stikkord, og du kommer til å møte alle tre igjen når vi senere arbeider med delte funksjonsuttrykk.