5.8 Avstand punkt-linje og punkt-plan | Matematikk R2

Beregne avstander i rommet.

55 min

15 oppgaver

AvstandProjeksjonPunkt til linjePunkt til plan

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 15 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

5.6Ligninger for plan 5.7Linjer i rommet

Innledning

I dette kapittelet skal vi lære å beregne avstander i rommet:
- Avstand fra et punkt til et plan
- Avstand fra et punkt til en linje
- Avstand mellom parallelle plan og linjer
- Avstand mellom vindskjeve linjer

Disse avstandsberegningene har mange praktiske anvendelser, fra arkitektur og ingeniørfag til datagrafikk og fysikk.

📜Avstand fra punkt til plan

Avstanden

d

fra punktet

P = (x_0, y_0, z_0)

til planet

ax + by + cz = e

er:

$d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 - e|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$

Formelen kan huskes som: |Venstre side minus høyre side| delt på lengden av normalvektoren.

✏️Avstand fra punkt til plan

Finn avstanden fra punktet $P = (2, 3, 1)$ til planet $\alpha: 2x - 2y + z = 6$ .

Vi bruker formelen med

a = 2

b = -2

c = 1

e = 6

(x_0, y_0, z_0) = (2, 3, 1)

$d = \frac{|2 \cdot 2 + (-2) \cdot 3 + 1 \cdot 1 - 6|}{\sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2}}$

$= \frac{|4 - 6 + 1 - 6|}{\sqrt{4 + 4 + 1}}$

$= \frac{|-7|}{\sqrt{9}} = \frac{7}{3}$

Svar: Avstanden er $\displaystyle \frac{7}{3} \approx 2.33$ lengdeenheter.

Geometrisk tolkning:

Avstanden fra punkt til plan måles langs normalen til planet. Fotpunktet (det nærmeste punktet i planet) finner vi ved å gå fra punktet i retning $\pm\vec{n}$ til vi treffer planet.

✏️Finn fotpunktet

Finn det nærmeste punktet (fotpunktet) i planet $x + 2y + 2z = 9$ til punktet $P = (1, 0, 2)$ .

Steg 1: Normalvektoren til planet er

\vec{n} = [1, 2, 2]

Steg 2: Linjen gjennom $P$ vinkelrett på planet:
$\vec{r} = [1, 0, 2] + t[1, 2, 2]$

Steg 3: Finn $t$ der linjen treffer planet:
$(1 + t) + 2(2t) + 2(2 + 2t) = 9$
$1 + t + 4t + 4 + 4t = 9$
$5 + 9t = 9$
$t = \frac{4}{9}$

Steg 4: Fotpunktet:
$F = \left(1 + \frac{4}{9}, 0 + \frac{8}{9}, 2 + \frac{8}{9}\right) = \left(\frac{13}{9}, \frac{8}{9}, \frac{26}{9}\right)$

Avstand fra punkt til linje

P

✏️Avstand fra punkt til linje

Finn avstanden fra punktet $P = (3, 4, 5)$ til linjen $\ell: \vec{r} = [1, 1, 1] + t[1, 2, 2]$ .

Vi velger

Q = (1, 1, 1)

på linjen og

\vec{v} = [1, 2, 2]

Vektor fra Q til P:
$\overrightarrow{QP} = [3-1, 4-1, 5-1] = [2, 3, 4]$

Kryssprodukt $\overrightarrow{QP} \times \vec{v}$ :
$= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 2 \end{vmatrix}$
$= \vec{i}(3 \cdot 2 - 4 \cdot 2) - \vec{j}(2 \cdot 2 - 4 \cdot 1) + \vec{k}(2 \cdot 2 - 3 \cdot 1)$
$= \vec{i}(6 - 8) - \vec{j}(4 - 4) + \vec{k}(4 - 3)$
$= [-2, 0, 1]$

Lengder:
$|\overrightarrow{QP} \times \vec{v}| = \sqrt{4 + 0 + 1} = \sqrt{5}$
$|\vec{v}| = \sqrt{1 + 4 + 4} = 3$

Avstand:
$d = \frac{\sqrt{5}}{3} \approx 0.745$

📜Avstand mellom parallelle plan

Avstanden mellom de parallelle planene

ax + by + cz = e_1

ax + by + cz = e_2

er:

$d = \frac{|e_1 - e_2|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$

Merk: Planene må ha samme normalvektor (samme koeffisienter) for å være parallelle.

✏️Avstand mellom parallelle plan

Finn avstanden mellom planene $\alpha: 2x - y + 2z = 3$ og $\beta: 2x - y + 2z = 12$ .

Planene har samme normalvektor

\vec{n} = [2, -1, 2]

, så de er parallelle.

Avstand:
$d = \frac{|3 - 12|}{\sqrt{4 + 1 + 4}} = \frac{9}{3} = 3$

Svar: Avstanden mellom planene er 3 lengdeenheter.

✏️Avstand mellom parallelle linjer

Finn avstanden mellom de parallelle linjene:
- $\ell_1: \vec{r} = [1, 0, 0] + s[2, 1, 2]$
- $\ell_2: \vec{r} = [0, 3, 1] + t[2, 1, 2]$

Siden linjene er parallelle, bruker vi avstand punkt-linje.

Vi finner avstanden fra et punkt på $\ell_2$ (f.eks. $(0, 3, 1)$ ) til $\ell_1$ .

$Q = (1, 0, 0)$ på $\ell_1$ , $\vec{v} = [2, 1, 2]$

$\overrightarrow{QP} = [0-1, 3-0, 1-0] = [-1, 3, 1]$

Kryssprodukt:
$\overrightarrow{QP} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \end{vmatrix}$
$= [3 \cdot 2 - 1 \cdot 1, 1 \cdot 2 - (-1) \cdot 2, (-1) \cdot 1 - 3 \cdot 2]$
$= [5, 4, -7]$

Avstand:
$d = \frac{\sqrt{25 + 16 + 49}}{\sqrt{4 + 1 + 4}} = \frac{\sqrt{90}}{3} = \frac{3\sqrt{10}}{3} = \sqrt{10} \approx 3.16$

Avstand mellom vindskjeve linjer

\ell_1: \vec{r} = \vec{a} + s\vec{u}

✏️Avstand mellom vindskjeve linjer

Finn avstanden mellom de vindskjeve linjene:
- $\ell_1: \vec{r} = [1, 0, 0] + s[1, 1, 0]$
- $\ell_2: \vec{r} = [0, 0, 1] + t[0, 1, 1]$

Vi har

\vec{a} = [1, 0, 0]

\vec{b} = [0, 0, 1]

\vec{u} = [1, 1, 0]

\vec{v} = [0, 1, 1]

Kryssprodukt $\vec{u} \times \vec{v}$ :
$= [1 \cdot 1 - 0 \cdot 1, 0 \cdot 0 - 1 \cdot 1, 1 \cdot 1 - 1 \cdot 0] = [1, -1, 1]$

Forbindelsesvektor:
$\vec{b} - \vec{a} = [0-1, 0-0, 1-0] = [-1, 0, 1]$

Skalarprodukt:
$(\vec{b} - \vec{a}) \cdot (\vec{u} \times \vec{v}) = (-1) \cdot 1 + 0 \cdot (-1) + 1 \cdot 1 = -1 + 0 + 1 = 0$

Vent, dette gir $d = 0$ ! La oss sjekke om linjene faktisk skjærer...

$[1 + s, s, 0] = [0, t, 1 + t]$

Fra tredje komponent: $0 = 1 + t \Rightarrow t = -1$

Fra første: $1 + s = 0 \Rightarrow s = -1$

Fra andre: $-1 = -1 \checkmark$

Linjene skjærer i punktet $(0, -1, 0)$ !

Kontroller alltid

Når du beregner avstand mellom linjer:
1. Sjekk først om linjene er parallelle (samme retningsvektor opp til skalering)
2. Hvis ikke parallelle, sjekk om de skjærer (avstand = 0)
3. Hvis de verken er parallelle eller skjærer, er de vindskjeve

✏️Ekte vindskjeve linjer

Finn avstanden mellom:
- $\ell_1: \vec{r} = [0, 0, 0] + s[1, 0, 0]$ ( $x$ -aksen)
- $\ell_2: \vec{r} = [0, 1, 1] + t[0, 0, 1]$

\vec{a} = [0, 0, 0]

\vec{b} = [0, 1, 1]

\vec{u} = [1, 0, 0]

\vec{v} = [0, 0, 1]

Kryssprodukt $\vec{u} \times \vec{v}$ :
$= [0 \cdot 1 - 0 \cdot 0, 0 \cdot 0 - 1 \cdot 1, 1 \cdot 0 - 0 \cdot 0] = [0, -1, 0]$

Forbindelsesvektor:
$\vec{b} - \vec{a} = [0, 1, 1]$

Skalarprodukt:
$(\vec{b} - \vec{a}) \cdot (\vec{u} \times \vec{v}) = 0 \cdot 0 + 1 \cdot (-1) + 1 \cdot 0 = -1$

Avstand:
$d = \frac{|-1|}{\sqrt{0 + 1 + 0}} = \frac{1}{1} = 1$

📝Oppgave 5.8.1

Finn avstanden fra punktet $P = (1, 2, 3)$ til planet $x + y + z = 0$ .

📝Oppgave 5.8.2

Finn avstanden fra origo til planet $3x - 4y + 12z = 26$ .

📝Oppgave 5.8.3

Finn avstanden fra punktet $P = (2, 1, 0)$ til linjen $\ell: \vec{r} = [0, 0, 0] + t[1, 1, 1]$ .

📝Oppgave 5.8.4

Finn avstanden mellom de parallelle planene $2x + 2y + z = 10$ og $2x + 2y + z = 1$ .

📝Oppgave 5.8.5

Finn det nærmeste punktet (fotpunktet) i planet $2x + y - 2z = 1$ til punktet $P = (3, 1, 2)$ .

📝Oppgave 5.8.6

Finn avstanden fra punktet $P = (4, 5, 6)$ til linjen $\ell: \vec{r} = [1, 2, 3] + t[1, 1, 1]$ .

📝Oppgave 5.8.7

Avgjør om linjene er parallelle, skjærende eller vindskjeve, og finn eventuelt avstanden:
- $\ell_1: \vec{r} = [1, 1, 0] + s[1, 0, 1]$
- $\ell_2: \vec{r} = [0, 2, 0] + t[1, 0, 1]$

📝Oppgave 5.8.8

Finn avstanden mellom de vindskjeve linjene:
- $\ell_1: \vec{r} = [2, 0, 1] + s[1, 1, 0]$
- $\ell_2: \vec{r} = [0, 1, 0] + t[0, 1, 1]$

📝Oppgave 5.8.9

Et plan $\alpha$ går gjennom punktet $A = (1, 1, 1)$ og er parallelt med vektorene $\vec{u} = [1, 2, 0]$ og $\vec{v} = [0, 1, 1]$ . Finn avstanden fra origo til dette planet.

📝Oppgave 5.8.10

Et tetraeder har hjørner i $A = (0, 0, 0)$ , $B = (3, 0, 0)$ , $C = (0, 4, 0)$ og $D = (0, 0, 5)$ .

a) Finn ligningen for planet gjennom $B$ , $C$ og $D$ .
b) Finn avstanden fra $A$ til dette planet.
c) Bruk resultatet til å beregne volumet av tetraederet.

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Avstand punkt–plan: $\displaystyle d = \frac{|ax_1 + by_1 + cz_1 - d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$ for planet $ax + by + cz = d$ .
- Avstand punkt–linje: $\displaystyle d = \frac{|\vec{AP} \times \vec{v}|}{|\vec{v}|}$ der $A$ er et punkt på linjen og $\vec{v}$ retningsvektoren.
- Avstand mellom parallelle plan: Velg et punkt i det ene planet og bruk punkt–plan-formelen.
- Avstand mellom vindskjeve linjer: $\displaystyle d = \frac{|(\vec{P_2} - \vec{P_1}) \cdot (\vec{u} \times \vec{v})|}{|\vec{u} \times \vec{v}|}$ .

Nøkkelbegreper

Begrep	Forklaring
Avstand punkt–plan	Korteste (vinkelrette) avstand
Fotpunkt	Punktet på planet/linjen nærmest punktet
Avstand punkt–linje	Via kryssprodukt med retningsvektoren
Vindskjeve linjer	Avstand via felles normal $\vec{u} \times \vec{v}$

Viktige formler

\displaystyle d(P, \pi) = \frac{|ax_1 + by_1 + cz_1 - d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}

\displaystyle d(P, \ell) = \frac{|\vec{AP} \times \vec{v}|}{|\vec{v}|}

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.