5.8 Avstand punkt-linje og punkt-plan | Matematikk R2

Beregne avstander i rommet.

55 min

15 oppgaver

AvstandProjeksjonPunkt til linjePunkt til plan

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 15 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

5.6Ligninger for plan 5.7Linjer i rommet

Innledning

I dette kapittelet skal vi lære å beregne avstander i rommet:
- Avstand fra et punkt til et plan
- Avstand fra et punkt til en linje
- Avstand mellom parallelle plan og linjer
- Avstand mellom vindskjeve linjer
- Kuleflater, tangentplan og avstanden fra en kuleflate til et plan

📜Avstand fra punkt til plan

Avstanden

d

fra punktet

P = (x_0, y_0, z_0)

til planet

ax + by + cz = e

er:

$d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 - e|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$

Utledning: La $Q = (x_1, y_1, z_1)$ være et punkt i planet, så $ax_1 + by_1 + cz_1 = e$ . Avstanden fra $P$ til planet er lengden av projeksjonen av $\overrightarrow{QP}$ på normalvektoren $\vec{n} = [a, b, c]$ :
$d = \frac{|\vec{n} \cdot \overrightarrow{QP}|}{|\vec{n}|}$
Telleren blir
$\vec{n} \cdot \overrightarrow{QP} = a(x_0 - x_1) + b(y_0 - y_1) + c(z_0 - z_1) = ax_0 + by_0 + cz_0 - (ax_1 + by_1 + cz_1) = ax_0 + by_0 + cz_0 - e$
og nevneren er $|\vec{n}| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$ .

Formelen kan huskes som: |Venstre side minus høyre side| delt på lengden av normalvektoren.

✏️Avstand fra punkt til plan

Finn avstanden fra punktet $P = (2, 3, 1)$ til planet $\alpha: 2x - 2y + z = 6$ .

Vi bruker formelen med

a = 2

b = -2

c = 1

e = 6

(x_0, y_0, z_0) = (2, 3, 1)

$d = \frac{|2 \cdot 2 + (-2) \cdot 3 + 1 \cdot 1 - 6|}{\sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2}}$

$= \frac{|4 - 6 + 1 - 6|}{\sqrt{4 + 4 + 1}}$

$= \frac{|-7|}{\sqrt{9}} = \frac{7}{3}$

Svar: Avstanden er $\displaystyle \frac{7}{3} \approx 2{,}33$ lengdeenheter.

Geometrisk tolkning:

Avstanden fra punkt til plan måles langs normalen til planet. Fotpunktet (det nærmeste punktet i planet) finner vi ved å gå fra punktet i retning $\pm\vec{n}$ til vi treffer planet.

✏️Finn fotpunktet

Finn det nærmeste punktet (fotpunktet) i planet $x + 2y + 2z = 9$ til punktet $P = (1, 0, 2)$ .

Normalvektoren til planet er

\vec{n} = [1, 2, 2]

Linjen gjennom $P$ vinkelrett på planet:
$\vec{r} = [1, 0, 2] + t[1, 2, 2]$

Finn $t$ der linjen treffer planet:
$(1 + t) + 2(2t) + 2(2 + 2t) = 9$
$1 + t + 4t + 4 + 4t = 9$
$5 + 9t = 9$
$t = \frac{4}{9}$

Fotpunktet:
$F = \left(1 + \frac{4}{9}, 0 + \frac{8}{9}, 2 + \frac{8}{9}\right) = \left(\frac{13}{9}, \frac{8}{9}, \frac{26}{9}\right)$

Svar: Fotpunktet er $\displaystyle F = \left(\frac{13}{9}, \frac{8}{9}, \frac{26}{9}\right)$ .

Avstand fra punkt til linje

P

✏️Avstand fra punkt til linje

Finn avstanden fra punktet $P = (3, 4, 5)$ til linjen $\ell: \vec{r} = [1, 1, 1] + t[1, 2, 2]$ .

Vi velger

Q = (1, 1, 1)

på linjen og

\vec{v} = [1, 2, 2]

Vektor fra Q til P:
$\overrightarrow{QP} = [3-1, 4-1, 5-1] = [2, 3, 4]$

Kryssprodukt $\overrightarrow{QP} \times \vec{v}$ :
$= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 2 \end{vmatrix}$
$= \vec{i}(3 \cdot 2 - 4 \cdot 2) - \vec{j}(2 \cdot 2 - 4 \cdot 1) + \vec{k}(2 \cdot 2 - 3 \cdot 1)$
$= \vec{i}(6 - 8) - \vec{j}(4 - 4) + \vec{k}(4 - 3)$
$= [-2, 0, 1]$

Lengder:
$|\overrightarrow{QP} \times \vec{v}| = \sqrt{4 + 0 + 1} = \sqrt{5}$
$|\vec{v}| = \sqrt{1 + 4 + 4} = 3$

Avstand:
$d = \frac{\sqrt{5}}{3} \approx 0{,}745$

Svar: Avstanden er $\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{3} \approx 0{,}745$ .

📜Avstand mellom parallelle plan

Avstanden mellom de parallelle planene

ax + by + cz = e_1

ax + by + cz = e_2

er:

$d = \frac{|e_1 - e_2|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$

Merk: Planene må ha samme normalvektor (samme koeffisienter) for å være parallelle.

✏️Avstand mellom parallelle plan

Finn avstanden mellom planene $\alpha: 2x - y + 2z = 3$ og $\beta: 2x - y + 2z = 12$ .

Planene har samme normalvektor

\vec{n} = [2, -1, 2]

, så de er parallelle.

Avstand:
$d = \frac{|3 - 12|}{\sqrt{4 + 1 + 4}} = \frac{9}{3} = 3$

Svar: Avstanden mellom planene er 3 lengdeenheter.

✏️Avstand mellom parallelle linjer

Finn avstanden mellom de parallelle linjene:
- $\ell_1: \vec{r} = [1, 0, 0] + s[2, 1, 2]$
- $\ell_2: \vec{r} = [0, 3, 1] + t[2, 1, 2]$

Siden linjene er parallelle, bruker vi avstand punkt-linje.

Vi finner avstanden fra et punkt på $\ell_2$ (f.eks. $(0, 3, 1)$ ) til $\ell_1$ .

$Q = (1, 0, 0)$ på $\ell_1$ , $\vec{v} = [2, 1, 2]$

$\overrightarrow{QP} = [0-1, 3-0, 1-0] = [-1, 3, 1]$

Kryssprodukt:
$\overrightarrow{QP} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \end{vmatrix}$
$= [3 \cdot 2 - 1 \cdot 1, 1 \cdot 2 - (-1) \cdot 2, (-1) \cdot 1 - 3 \cdot 2]$
$= [5, 4, -7]$

Avstand:
$d = \frac{\sqrt{25 + 16 + 49}}{\sqrt{4 + 1 + 4}} = \frac{\sqrt{90}}{3} = \frac{3\sqrt{10}}{3} = \sqrt{10} \approx 3{,}16$

Svar: Avstanden mellom linjene er $\sqrt{10} \approx 3{,}16$ .

Avstand mellom vindskjeve linjer

\ell_1: \vec{r} = \vec{a} + s\vec{u}

✏️Linjer som ikke er parallelle, kan skjære hverandre

Avgjør om linjene er vindskjeve, og finn i så fall avstanden mellom dem:
- $\ell_1: \vec{r} = [1, 0, 0] + s[1, 1, 0]$
- $\ell_2: \vec{r} = [0, 0, 1] + t[0, 1, 1]$

Vi har

\vec{a} = [1, 0, 0]

\vec{b} = [0, 0, 1]

\vec{u} = [1, 1, 0]

\vec{v} = [0, 1, 1]

Kryssprodukt $\vec{u} \times \vec{v}$ :
$= [1 \cdot 1 - 0 \cdot 1, 0 \cdot 0 - 1 \cdot 1, 1 \cdot 1 - 1 \cdot 0] = [1, -1, 1]$

Forbindelsesvektor:
$\vec{b} - \vec{a} = [0-1, 0-0, 1-0] = [-1, 0, 1]$

Skalarprodukt:
$\begin{aligned} &(\vec{b} - \vec{a}) \cdot (\vec{u} \times \vec{v}) \\ = {}&(-1) \cdot 1 + 0 \cdot (-1) + 1 \cdot 1 \\ = {}&-1 + 0 + 1 = 0 \end{aligned}$

Skalarproduktet er $0$ , så formelen gir $d = 0$ . Linjene ligger da i samme plan, og siden retningsvektorene ikke er parallelle, skjærer de hverandre. Vi finner skjæringspunktet:

$[1 + s, s, 0] = [0, t, 1 + t]$

Fra tredje komponent: $0 = 1 + t \Rightarrow t = -1$

Fra første: $1 + s = 0 \Rightarrow s = -1$

Fra andre: $-1 = -1 \checkmark$

Svar: Linjene er ikke vindskjeve. De skjærer hverandre i punktet $(0, -1, 0)$ , så avstanden er $0$ .

Kontroller alltid

Når du beregner avstand mellom linjer:
- Sjekk først om linjene er parallelle (retningsvektorene er parallelle).
- Er de ikke parallelle, sjekk om de skjærer hverandre (avstand $0$ ).
- Er de verken parallelle eller skjærende, er de vindskjeve.

✏️Ekte vindskjeve linjer

Finn avstanden mellom:
- $\ell_1: \vec{r} = [0, 0, 0] + s[1, 0, 0]$ ( $x$ -aksen)
- $\ell_2: \vec{r} = [0, 1, 1] + t[0, 0, 1]$

\vec{a} = [0, 0, 0]

\vec{b} = [0, 1, 1]

\vec{u} = [1, 0, 0]

\vec{v} = [0, 0, 1]

Kryssprodukt $\vec{u} \times \vec{v}$ :
$= [0 \cdot 1 - 0 \cdot 0, 0 \cdot 0 - 1 \cdot 1, 1 \cdot 0 - 0 \cdot 0] = [0, -1, 0]$

Forbindelsesvektor:
$\vec{b} - \vec{a} = [0, 1, 1]$

Skalarprodukt:
$(\vec{b} - \vec{a}) \cdot (\vec{u} \times \vec{v}) = 0 \cdot 0 + 1 \cdot (-1) + 1 \cdot 0 = -1$

Avstand:
$d = \frac{|-1|}{\sqrt{0 + 1 + 0}} = \frac{1}{1} = 1$

Svar: Avstanden mellom linjene er $1$ .

Kuleflater og tangentplan

En kuleflate med sentrum $S = (a, b, c)$ og radius $r$ består av alle punkter $P = (x, y, z)$ som har avstanden $r$ fra $S$ :

$|\overrightarrow{SP}| = r$

Med $\overrightarrow{SP} = [x - a, y - b, z - c]$ gir avstandsformelen

$\sqrt{(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2} = r$

Begge sider er positive, så vi kan kvadrere:

$(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2$

📜Likningen for en kuleflate

Kuleflaten med sentrum

S = (a, b, c)

og radius

r

har likningen

$(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2$

Er likningen gitt på formen $x^2 + y^2 + z^2 + Ax + By + Cz + D = 0$ , finner vi sentrum og radius ved å fullføre kvadratene: $\displaystyle x^2 + Ax = \left(x + \frac{A}{2}\right)^2 - \left(\frac{A}{2}\right)^2$ , og tilsvarende for $y$ og $z$ .

✏️Sentrum og radius

En kuleflate

K

er gitt ved

$x^2 + y^2 + z^2 - 6x + 4y - 2z + 5 = 0$

a) Bestem sentrum og radius til $K$ .

b) Vis at punktet $A = (5, -1, 3)$ ligger på $K$ .

a) Vi fullfører kvadratene:

$\begin{aligned} &(x^2 - 6x + 9) + (y^2 + 4y + 4) + (z^2 - 2z + 1) \\ = {}&-5 + 9 + 4 + 1 \end{aligned}$

$(x - 3)^2 + (y + 2)^2 + (z - 1)^2 = 9$

Svar: Sentrum er $S = (3, -2, 1)$ og radius er $r = \sqrt{9} = 3$ .

b) Vi setter inn $A = (5, -1, 3)$ i venstre side:

$(5 - 3)^2 + (-1 + 2)^2 + (3 - 1)^2 = 4 + 1 + 4 = 9$

Svar: Venstre side blir $9 = r^2$ , så $A$ ligger på $K$ .

📜Tangentplanet i et punkt på kuleflaten

Et plan tangerer kuleflaten i punktet

P

når planet og kuleflaten bare har punktet

P

felles. Tangentplanet står vinkelrett på radien

SP

, så

$\vec{n} = \overrightarrow{SP}$

er en normalvektor for tangentplanet. Med $\vec{n} = [n_1, n_2, n_3]$ og $P = (x_0, y_0, z_0)$ blir likningen

$n_1(x - x_0) + n_2(y - y_0) + n_3(z - z_0) = 0$

📜Kuleflate og plan

La $d$ være avstanden fra sentrum $S$ til planet $\alpha$ , og $r$ radien til kuleflaten.

- $d < r$ : planet skjærer kuleflaten. Skjæringen er en sirkel med radius $\sqrt{r^2 - d^2}$ .
- $d = r$ : planet tangerer kuleflaten. Tangeringspunktet er fotpunktet for $S$ i planet.
- $d > r$ : planet og kuleflaten har ingen felles punkter. Den minste avstanden mellom dem er $d - r$ .

Fotpunktet finner vi som i eksempelet om fotpunkt over: linjen gjennom $S$ med normalvektoren til planet som retningsvektor skjæres med planet.

✏️Tangentplan og skjæring

Kuleflaten $K$ har sentrum $S = (3, -2, 1)$ og radius $3$ , og punktet $A = (5, -1, 3)$ ligger på $K$ .

a) Bestem en likning for tangentplanet $\alpha$ til $K$ i punktet $A$ .

b) Planet $\beta$ er gitt ved $x - 2y + 2z = 4$ . Avgjør om $\beta$ skjærer $K$ . Bestem i så fall radien i skjæringssirkelen.

a) Normalvektoren er radiusvektoren fra

S

til

A

$\vec{n} = \overrightarrow{SA} = [5 - 3, -1 + 2, 3 - 1] = [2, 1, 2]$

Planet gjennom $A = (5, -1, 3)$ :

$2(x - 5) + 1(y + 1) + 2(z - 3) = 0$

$2x + y + 2z - 15 = 0$

Svar: $\alpha: 2x + y + 2z = 15$

b) Avstanden fra $S = (3, -2, 1)$ til $\beta$ :

$d = \frac{|3 - 2 \cdot (-2) + 2 \cdot 1 - 4|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2}} = \frac{|5|}{3} = \frac{5}{3}$

$\displaystyle d = \frac{5}{3} < 3 = r$ , så $\beta$ skjærer $K$ .

$\rho = \sqrt{r^2 - d^2} = \sqrt{9 - \frac{25}{9}} = \sqrt{\frac{56}{9}} = \frac{2\sqrt{14}}{3}$

Svar: $\beta$ skjærer $K$ i en sirkel med radius $\displaystyle \frac{2\sqrt{14}}{3} \approx 2{,}49$ .

✏️Bestem k slik at kuleflaten tangerer planet

En kuleflate

K

er gitt ved

$x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 4y - 6z + k = 0$

og planet $\alpha$ ved $2x - y + 2z = 1$ .

a) Bestem $k$ slik at $K$ tangerer $\alpha$ .

b) Bestem tangeringspunktet $T$ .

a) Vi fullfører kvadratene:

$\begin{aligned} &(x - 1)^2 + (y + 2)^2 + (z - 3)^2 \\ = {}&1 + 4 + 9 - k \\ = {}&14 - k \end{aligned}$

Sentrum er $S = (1, -2, 3)$ og $r^2 = 14 - k$ .

Avstanden fra $S$ til $\alpha$ :

$d = \frac{|2 \cdot 1 - (-2) + 2 \cdot 3 - 1|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2}} = \frac{9}{3} = 3$

$K$ tangerer $\alpha$ når $r = d$ :

$14 - k = 3^2$

$k = 5$

Svar: $k = 5$

b) Linjen gjennom $S$ vinkelrett på $\alpha$ :

$\ell: [x, y, z] = [1 + 2t, -2 - t, 3 + 2t]$

Vi setter inn i likningen for $\alpha$ :

$2(1 + 2t) - (-2 - t) + 2(3 + 2t) = 1$

$10 + 9t = 1$

$t = -1$

$T = (1 - 2, -2 + 1, 3 - 2) = (-1, -1, 1)$

Kontroll: $(-1 - 1)^2 + (-1 + 2)^2 + (1 - 3)^2 = 9 = r^2$ og $2 \cdot (-1) - (-1) + 2 \cdot 1 = 1$ .

Svar: $T = (-1, -1, 1)$

📝Oppgave 5.8.1

Finn avstanden fra punktet $P = (1, 2, 3)$ til planet $x + y + z = 0$ .

📝Oppgave 5.8.2

Finn avstanden fra origo til planet $3x - 4y + 12z = 26$ .

📝Oppgave 5.8.3

Finn avstanden fra punktet $P = (2, 1, 0)$ til linjen $\ell: \vec{r} = [0, 0, 0] + t[1, 1, 1]$ .

📝Oppgave 5.8.4

Finn avstanden mellom de parallelle planene $2x + 2y + z = 10$ og $2x + 2y + z = 1$ .

📝Oppgave 5.8.5

Finn det nærmeste punktet (fotpunktet) i planet $2x + y - 2z = 1$ til punktet $P = (3, 1, 2)$ .

📝Oppgave 5.8.6

Finn avstanden fra punktet $P = (4, 5, 6)$ til linjen $\ell: \vec{r} = [1, 2, 3] + t[1, 1, 1]$ .

📝Oppgave 5.8.7

Avgjør om linjene er parallelle, skjærende eller vindskjeve, og finn eventuelt avstanden:
- $\ell_1: \vec{r} = [1, 1, 0] + s[1, 0, 1]$
- $\ell_2: \vec{r} = [0, 2, 0] + t[1, 0, 1]$

📝Oppgave 5.8.8

Finn avstanden mellom de vindskjeve linjene:
- $\ell_1: \vec{r} = [2, 0, 1] + s[1, 1, 0]$
- $\ell_2: \vec{r} = [0, 1, 0] + t[0, 1, 1]$

📝Oppgave 5.8.9

Et plan $\alpha$ går gjennom punktet $A = (1, 1, 1)$ og er parallelt med vektorene $\vec{u} = [1, 2, 0]$ og $\vec{v} = [0, 1, 1]$ . Finn avstanden fra origo til dette planet.

📝Oppgave 5.8.10

Et tetraeder har hjørner i $A = (0, 0, 0)$ , $B = (3, 0, 0)$ , $C = (0, 4, 0)$ og $D = (0, 0, 5)$ .

a) Finn likningen for planet gjennom $B$ , $C$ og $D$ .
b) Finn avstanden fra $A$ til dette planet.
c) Bruk resultatet til å beregne volumet av tetraederet.

📝Oppgave 5.8.11

En kuleflate $K$ har sentrum $S = (2, -1, 0)$ og radius $4$ .

Skriv opp en likning for $K$ .

Avgjør om punktet $P = (2, 3, 0)$ ligger på $K$ .

📝Oppgave 5.8.12

En kuleflate er gitt ved $x^2 + y^2 + z^2 + 4x - 8z + 11 = 0$ . Bestem sentrum og radius.

📝Oppgave 5.8.13

Kuleflaten $K$ er gitt ved $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z + 1)^2 = 6$ .

Vis at punktet $P = (2, 4, 0)$ ligger på $K$ .

Bestem en likning for tangentplanet til $K$ i $P$ .

📝Oppgave 5.8.14

Kuleflaten

K

er gitt ved

(x - 1)^2 + (y - 1)^2 + (z - 1)^2 = 4

, og vi har planene

$\begin{aligned} &\alpha: x + 2y + 2z = 5, \quad \beta: 2x + y - 2z \\ = {}&9, \quad \gamma: x - 2y + 2z = 7 \end{aligned}$

Avgjør for hvert plan om det skjærer, tangerer eller ikke treffer $K$ .

Bestem den minste avstanden mellom $K$ og planet $\beta$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 5.8.15

Kuleflaten $K$ er gitt ved $(x - 2)^2 + (y + 1)^2 + (z - 1)^2 = 9$ , og planet $\alpha_k$ ved $2x + 2y - z = k$ .

Bestem $k$ slik at $\alpha_k$ tangerer $K$ .

Bestem tangeringspunktet for den største verdien av $k$ .

📝Oppgave 5.8.16

En kuleflate $K$ er gitt ved $x^2 + y^2 + z^2 - 2y - 4z - 4 = 0$ , og planet $\gamma$ ved $x + 2y + 2z = 21$ .

Bestem den minste avstanden fra $K$ til $\gamma$ .

Bestem likningene for de to planene som er parallelle med $\gamma$ og tangerer $K$ .

Planet $\alpha$ er parallelt med $\gamma$ , ligger på motsatt side av $K$ og har samme minste avstand til $K$ som $\gamma$ . Bestem en likning for $\alpha$ .

Løs oppgaven

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Avstand punkt–plan: $\displaystyle d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 - e|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$ for punktet $(x_0, y_0, z_0)$ og planet $ax + by + cz = e$ .
- Avstand punkt–linje: $\displaystyle d = \frac{|\overrightarrow{QP} \times \vec{v}|}{|\vec{v}|}$ der $Q$ er et punkt på linjen og $\vec{v}$ retningsvektoren.
- Avstand mellom parallelle plan: $\displaystyle d = \frac{|e_1 - e_2|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$ .
- Avstand mellom vindskjeve linjer: $\displaystyle d = \frac{|(\vec{b} - \vec{a}) \cdot (\vec{u} \times \vec{v})|}{|\vec{u} \times \vec{v}|}$ .
- Kuleflate: $(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2$ , sentrum og radius ved å fullføre kvadratene.
- Tangentplan i punktet $P$ på kuleflaten: normalvektor $\vec{n} = \overrightarrow{SP}$ .
- Kuleflate og plan: sammenlikn avstanden $d$ fra sentrum til planet med radien $r$ .

Nøkkelbegreper

Begrep	Forklaring
Avstand punkt–plan	Korteste (vinkelrette) avstand
Fotpunkt	Punktet på planet/linjen nærmest punktet
Avstand punkt–linje	Via kryssprodukt med retningsvektoren
Vindskjeve linjer	Avstand via felles normal $\vec{u} \times \vec{v}$
Tangentplan	Planet som bare har ett punkt felles med kuleflaten

Viktige formler

\displaystyle d(P, \alpha) = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 - e|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}

\displaystyle d(P, \ell) = \frac{|\overrightarrow{QP} \times \vec{v}|}{|\vec{v}|}

(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2

d < r

: skjærer,

d = r

: tangerer,

d > r

: ingen felles punkter

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.