6.1 Parameterframstilling av kurver

Vi setter inn noen verdier av $t$:

Kurven er en rett linje gjennom $(1, 3)$ med retningsvektor $[2, -1]$.

Siden $x = t$, kan vi skrive $t = x$ og sette inn i den andre likningen:
$$y = t^2 = x^2$$

Kurven er parabelen $y = x^2$.

Dette er samme parametrisering som i forrige eksempel, men nå er $t$ begrenset til intervallet $[0, 2]$.

- Startpunkt ($t = 0$): $(0, 0)$
- Sluttpunkt ($t = 2$): $(2, 4)$

Kurven er den delen av parabelen $y = x^2$ som går fra $(0, 0)$ til $(2, 4)$.

Merk: Parameterintervallet bestemmer hvilken del av kurven vi får.

Vi bruker den trigonometriske identiteten $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$:

$$x^2 + y^2 = \cos^2 t + \sin^2 t = 1$$

Dette er likningen for enhetssirkelen (sirkel med sentrum i origo og radius 1).

Retning rundt sirkelen:

Vi bruker formelen for sirkel med sentrum $(a, b)$ og radius $r$:

$$\begin{cases} x = a + r\cos t \\ y = b + r\sin t \end{cases}$$

Med $a = 2$, $b = -1$ og $r = 3$ får vi:

$$\begin{cases} x = 2 + 3\cos t \\ y = -1 + 3\sin t \end{cases}, \quad t \in [0, 2\pi]$$

Kontroll: Startpunktet ($t = 0$) er $(2 + 3, -1 + 0) = (5, -1)$, som ligger på sirkelen (3 enheter til høyre for sentrum).

a) Fra likningen ser vi at $a^2 = 9$ og $b^2 = 4$, altså $a = 3$ og $b = 2$.

Parameterframstillingen blir:
$$\begin{cases} x = 3\cos t \\ y = 2\sin t \end{cases}, \quad t \in [0, 2\pi]$$

b) Ellipsens form:
- Halvaksen langs $x$-aksen er $a = 3$
- Halvaksen langs $y$-aksen er $b = 2$
- Ellipsen krysser $x$-aksen i $(-3, 0)$ og $(3, 0)$
- Ellipsen krysser $y$-aksen i $(0, -2)$ og $(0, 2)$

Siden $a > b$, er ellipsen "liggende" (bredere enn den er høy).

Kontroll:
$$\frac{(3\cos t)^2}{9} + \frac{(2\sin t)^2}{4} = \frac{9\cos^2 t}{9} + \frac{4\sin^2 t}{4} = \cos^2 t + \sin^2 t = 1 \checkmark$$

Metode 1: Løs for $t$

Fra den første likningen:
$$x = 1 + 2t \implies t = \frac{x - 1}{2}$$

Setter inn i den andre:
$$y = 3 - t = 3 - \frac{x - 1}{2} = 3 - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} = \frac{7}{2} - \frac{x}{2}$$

Ganger med 2:
$$2y = 7 - x$$
$$x + 2y = 7$$

Metode 2: Kombinere likningene

Fra $y = 3 - t$ har vi $t = 3 - y$.
Fra $x = 1 + 2t$ har vi $x = 1 + 2(3 - y) = 7 - 2y$.
Altså $x + 2y = 7$.

Den kartesiske likningen er $x + 2y = 7$ (en rett linje).

Vi isolerer $\cos t$ og $\sin t$:
$$\cos t = \frac{x - 2}{3}, \quad \sin t = \frac{y + 1}{3}$$

Bruker identiteten $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$:
$$\left(\frac{x - 2}{3}\right)^2 + \left(\frac{y + 1}{3}\right)^2 = 1$$

$$\frac{(x - 2)^2}{9} + \frac{(y + 1)^2}{9} = 1$$

$$(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 9$$

Dette er likningen for en sirkel med sentrum $(2, -1)$ og radius $3$.

Fra den andre likningen har vi $t = y$.

Setter inn i den første:
$$x = \frac{1}{t} = \frac{1}{y}$$

Altså:
$$xy = 1 \quad \text{eller} \quad y = \frac{1}{x}$$

Siden $t > 0$ og $y = t$, har vi $y > 0$, og dermed også $\displaystyle x = \frac{1}{y} > 0$.

Kurven er grenen av hyperbelen $xy = 1$ i første kvadrant.

Vi lager en verditabell:

Når hjulet har rullet vinkelen $t$ (i radianer), har sentrum flyttet seg en avstand $rt$ langs $x$-aksen. Sentrum er da i punktet $(rt, r)$.

Punktet på kanten av hjulet er forskjøvet fra sentrum med:
- $-r\sin t$ i $x$-retning
- $-r\cos t$ i $y$-retning

(Merk: Minus fordi vi starter med punktet i bunn av hjulet.)

Dette gir:
$$x = rt - r\sin t = r(t - \sin t)$$
$$y = r - r\cos t = r(1 - \cos t)$$

Noen punkter for $r = 1$:

a) Vi deriverer:
$$x'(t) = -2\sin t, \quad y'(t) = 2\cos t$$
$$\vec{v}(t) = [-2\sin t, 2\cos t]$$

b) Ved $\displaystyle t = \frac{\pi}{4}$:
$$\vec{v}\left(\frac{\pi}{4}\right) = \left[-2\sin\frac{\pi}{4}, 2\cos\frac{\pi}{4}\right] = \left[-2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}, 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\right] = [-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$$

Punktet er $\displaystyle (2\cos\frac{\pi}{4}, 2\sin\frac{\pi}{4}) = (\sqrt{2}, \sqrt{2})$.

c) Posisjonsvektoren er $\vec{r}(t) = [2\cos t, 2\sin t]$.

Skalarproduktet:
$$\vec{r}(t) \cdot \vec{v}(t) = (2\cos t)(-2\sin t) + (2\sin t)(2\cos t)$$
$$= -4\cos t \sin t + 4\sin t \cos t = 0$$

Siden skalarproduktet er 0 for alle $t$, står tangentvektoren alltid vinkelrett på posisjonsvektoren. Dette gir mening geometrisk - tangenten til en sirkel står alltid vinkelrett på radiusen!

Punktet: Ved $t = 2$ har vi $(x, y) = (4, 8)$.

Tangentvektoren:
$$x'(t) = 2t, \quad y'(t) = 3t^2$$
$$\vec{v}(2) = [2 \cdot 2, 3 \cdot 4] = [4, 12]$$

Stigningstall:
$$a = \frac{y'(2)}{x'(2)} = \frac{12}{4} = 3$$

Tangentlinje gjennom $(4, 8)$ med stigningstall $3$:
$$y - 8 = 3(x - 4)$$
$$y = 3x - 12 + 8$$
$$y = 3x - 4$$

Alternativ metode: Tangentlinjen har parameterframstilling:
$$\begin{cases} x = 4 + 4s \\ y = 8 + 12s \end{cases}$$
(der $s$ er en ny parameter).

Først finner vi de deriverte:
$$x'(t) = 2t - 4, \quad y'(t) = 2t - 2$$

a) Horisontal tangent: Tangenten er horisontal når $y'(t) = 0$ (og $x'(t) \neq 0$).
$$y'(t) = 2t - 2 = 0 \implies t = 1$$

Sjekker at $x'(1) = 2(1) - 4 = -2 \neq 0$ ✓

Ved $t = 1$: $(x, y) = (1 - 4, 1 - 2) = (-3, -1)$

Horisontal tangent i $(-3, -1)$.

b) Vertikal tangent: Tangenten er vertikal når $x'(t) = 0$ (og $y'(t) \neq 0$).
$$x'(t) = 2t - 4 = 0 \implies t = 2$$

Sjekker at $y'(2) = 2(2) - 2 = 2 \neq 0$ ✓

Ved $t = 2$: $(x, y) = (4 - 8, 4 - 4) = (-4, 0)$

Vertikal tangent i $(-4, 0)$.

Alle tre gir $x^2 + y^2 = 1$, som er enhetssirkelen.

Forskjeller:

a) Standard parametrisering:
- Start: $(1, 0)$ ved $t = 0$
- Retning: Mot klokka
- Hastighet: Punktet går rundt én gang når $t$ øker fra $0$ til $2\pi$

b) Dobbel hastighet:
- Start: $(1, 0)$ ved $t = 0$
- Retning: Mot klokka
- Hastighet: Punktet går rundt én gang når $t$ øker fra $0$ til $\pi$ (dobbel hastighet!)

c) Forskjøvet startpunkt og motsatt retning:
- Start: $(0, 1)$ ved $t = 0$ (på toppen av sirkelen)
- Retning: Med klokka!
- Ved $\displaystyle t = \frac{\pi}{2}$: $(1, 0)$ (punktet har gått ned og til høyre)

Konklusjon: Samme kurve, men ulik bevegelse langs kurven.

Vi har:
$$\begin{cases} x = \sin(3t) \\ y = \sin(2t) \end{cases}$$

Noen punkter: