6.1 Parameterframstilling av kurver

Ferdskriveren forteller

Dronen fra kapittel 5 har landet trygt, og du sitter med ferdskriveren — loggen over hele flyturen. Den inneholder ikke noen «kurve» i matematisk forstand. Den inneholder noe bedre: For hvert tidspunkt $t$ står posisjonen oppført, en $x$-koordinat og en $y$-koordinat. Flyruten er ikke gitt som $y = f(x)$ — den er gitt som to funksjoner av tiden.

Og godt er det, for $y = f(x)$ ville aldri klart jobben. Dronen fløy en runde i sløyfe og krysset sin egen bane — da hører det to $y$-verdier til samme $x$, og ingen funksjon $f$ tillater det. Den fløy også et helt sirkulært søk over et område, og en sirkel har samme problem: øvre og nedre halvdel deler $x$-verdier. Formen $y = f(x)$ er rett og slett for trang for virkelige bevegelser.

Parameterframstilling er løsningen, og den er nøyaktig det ferdskriveren gjør: la både $x$ og $y$ avhenge av en tredje variabel — parameteren $t$:

$$\begin{cases} x = x(t) \\ y = y(t) \end{cases}, \quad t \in I$$

For hver $t$ i parameterintervallet $I$ får vi et punkt $(x(t), y(t))$, og kurven er banen punktet tegner opp. Tolker vi $t$ som tid, får vi mer enn formen på kurven med på kjøpet: vi får retningen bevegelsen går i, farten langs banen, og start- og sluttpunkt når intervallet er begrenset. En kartesisk likning viser hvor dronen har vært — parameterframstillingen viser selve flyturen.

De første flyrutene: linjer og parabler

Vi leser ferdskriveren nedenfra. Det enkleste loggutdraget ser slik ut: $x = 1 + 2t$, $y = 3 - t$ for $t \in \mathbb{R}$. Sett inn noen tider: ved $t = 0$ er dronen i $(1, 3)$, ved $t = 1$ i $(3, 2)$, ved $t = 2$ i $(5, 1)$. Hvert tidssteg flytter den $2$ i $x$-retning og $-1$ i $y$-retning — punktene ligger på en rett linje, og forflytningen per tidsenhet er retningsvektoren $[2, -1]$. Mønsteret er helt generelt: linjen gjennom $(x_0, y_0)$ med retningsvektor $[a, b]$ har parameterframstillingen

$$\begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \end{cases}$$

— du kjenner den igjen fra linjene i rommet i kapittel 5, bare med én koordinat mindre.

Neste loggutdrag: $x = t$, $y = t^2$. Siden $x = t$ kan vi bytte ut $t$ med $x$ i den andre likningen og få $y = x^2$ — dronen fulgte parabelen, fra venstre mot høyre siden $x$ vokser med $t$.

Og her kommer en detalj med stor virkning: parameterintervallet. Den samme parametriseringen med $t \in [0, 2]$ gir ikke hele parabelen, men bare buen fra startpunktet $(0, 0)$ ved $t = 0$ til sluttpunktet $(2, 4)$ ved $t = 2$. Intervallet bestemmer hvilken del av kurven som faktisk ble fløyet — en flytur har tross alt en avgang og en landing. Skal du tegne en parameterkurve for hånd, gjør du som vi nettopp gjorde: lag en verditabell over $t$, plott punktene $(x(t), y(t))$, forbind dem i $t$-rekkefølge, og marker retningen med en pil.

Søkemønsteret: sirkler og ellipser

Så til dronens sirkulære søk — kapittelets viktigste kurve. Et punkt som går rundt en sirkel med radius $r$ og sentrum i origo, beskrives naturlig med vinkelen som parameter. Når punktet står ved vinkelen $t$ (i radianer, målt fra positiv $x$-akse), er koordinatene per definisjon av sinus og cosinus:

$$\begin{cases} x = r\cos t \\ y = r\sin t \end{cases}, \quad t \in [0, 2\pi]$$

Kontrollen er identiteten du kjenner så godt: $x^2 + y^2 = r^2\cos^2 t + r^2\sin^2 t = r^2$ — avstanden til origo er konstant $r$, akkurat som en sirkel krever. Ved $t = 0$ står punktet i $(r, 0)$, ved $\displaystyle t = \frac{\pi}{2}$ i $(0, r)$, ved $\pi$ i $(-r, 0)$: bevegelsen går mot klokka. Skal sirkelen ha sentrum i $(a, b)$, flytter vi bare hele bevegelsen dit: $x = a + r\cos t$, $y = b + r\sin t$. Sirkelen med sentrum $(2, -1)$ og radius $3$ blir $x = 2 + 3\cos t$, $y = -1 + 3\sin t$, med start i $(5, -1)$ — tre enheter rett til høyre for sentrum.

Retningen sitter i fortegnene: $x = r\cos t$, $y = -r\sin t$ gir samme sirkel gjennomløpt med klokka, og $x = r\sin t$, $y = r\cos t$ starter på toppen $(0, r)$ og går med klokka.

Ellipsen er en strukket sirkel: skaler enhetssirkelen med faktor $a$ i $x$-retning og $b$ i $y$-retning, og du får $x = a\cos t$, $y = b\sin t$. Den kartesiske likningen er $\displaystyle \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$, med halvakser $a$ og $b$. Likningen $\displaystyle \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ har $a = 3$ og $b = 2$ — en liggende ellipse, parametrisert ved $x = 3\cos t$, $y = 2\sin t$ — og kontrollen $\displaystyle \frac{9\cos^2 t}{9} + \frac{4\sin^2 t}{4} = \cos^2 t + \sin^2 t = 1$ stemmer på øret.

Å eliminere parameteren — og hva som går tapt

Noen ganger vil vi gå motsatt vei: fra ferdskriverens tidslogg til et rent kart — en likning i bare $x$ og $y$. Det kalles å eliminere parameteren, og strategien har to varianter. Variant én: løs den ene likningen for $t$ og sett inn i den andre. For linjen $x = 1 + 2t$, $y = 3 - t$ gir den første $\displaystyle t = \frac{x-1}{2}$, og innsetting i den andre gir $\displaystyle y = 3 - \frac{x-1}{2}$, som ryddes til $x + 2y = 7$ — en rett linje, som ventet.

Variant to brukes når trigonometrien er involvert: isoler $\cos t$ og $\sin t$, og la identiteten $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$ gjøre jobben. For $x = 2 + 3\cos t$, $y = -1 + 3\sin t$ er $\displaystyle \cos t = \frac{x-2}{3}$ og $\displaystyle \sin t = \frac{y+1}{3}$, og identiteten gir

$$\left(\frac{x-2}{3}\right)^2 + \left(\frac{y+1}{3}\right)^2 = 1 \quad \Longrightarrow \quad (x-2)^2 + (y+1)^2 = 9$$

— sirkelen med sentrum $(2, -1)$ og radius $3$, avslørt.

Men pass på begrensningene parameteren bærer med seg. Kurven $\displaystyle x = \frac{1}{t}$, $y = t$ med $t > 0$ gir $xy = 1$ — men siden $y = t > 0$ og dermed $x > 0$, er det bare hyperbelgrenen i første kvadrant som faktisk ligger på kurven. Likningen $xy = 1$ alene påstår mer enn loggen dekker.

Og det peker mot det viktigste: eliminering kaster bort informasjon. Den kartesiske likningen viser bare hvor kurven ligger. Parametriseringen vet i tillegg retningen, tidsskjemaet og hvilken del som ble gjennomløpt. Både $(\cos t, \sin t)$ og $(\cos t, -\sin t)$ gir likningen $x^2 + y^2 = 1$ — men bevegelsene går hver sin vei rundt. Og $(\cos 2t, \sin 2t)$ med $t \in [0, \pi]$ gir samme sirkel i dobbelt tempo. Samme kart — helt forskjellige flyturer.

Tangentvektoren — fartsmåleren i loggen

Ferdskriveren har én skatt igjen: den kan fortelle hvor fort og i hvilken retning dronen beveget seg i hvert øyeblikk. Deriver komponentene hver for seg, og du får tangentvektoren

$$\vec{v}(t) = [x'(t), y'(t)]$$

Den peker i bevegelsesretningen — tangentielt til kurven — og lengden $|\vec{v}(t)| = \sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2}$ er farten, hvis $t$ er tid. På sirkelen $x = 2\cos t$, $y = 2\sin t$ blir $\vec{v}(t) = [-2\sin t, 2\cos t]$, og skalarproduktet med posisjonsvektoren er $-4\cos t \sin t + 4\sin t \cos t = 0$ for alle $t$: tangentvektoren står alltid vinkelrett på radien — geometriens gamle sannhet om sirkeltangenter, gjenfunnet med derivasjon.

Tangentvektoren gir også tangentlinjer. For kurven $x = t^2$, $y = t^3$ i $t = 2$: punktet er $(4, 8)$, tangentvektoren $\vec{v}(2) = [2t, 3t^2]_{t=2} = [4, 12]$, og stigningstallet er forholdet $\displaystyle \frac{y'(2)}{x'(2)} = \frac{12}{4} = 3$. Linjen gjennom $(4, 8)$ med stigningstall $3$ er $y = 3x - 4$.

Spesialtilfellene leses rett av komponentene: tangenten er horisontal der $y'(t) = 0$ (og $x'(t) \neq 0$), vertikal der $x'(t) = 0$ (og $y'(t) \neq 0$). For $x = t^2 - 4t$, $y = t^2 - 2t$ gir $y' = 2t - 2 = 0$ tidspunktet $t = 1$ og det horisontale tangentpunktet $(-3, -1)$, mens $x' = 2t - 4 = 0$ gir $t = 2$ og det vertikale tangentpunktet $(-4, 0)$.

Verktøykassen tåler mer enn flyruter: sykloiden $x = r(t - \sin t)$, $y = r(1 - \cos t)$ er banen til et punkt på kanten av et rullende hjul — buer som berører bakken ved hver $2\pi$ — og Lissajous-kurvene $x = \sin(3t)$, $y = \sin(2t)$ fletter selvkryssende mønstre som fysikere bruker til å sammenligne svingefrekvenser. Parameterframstillingen tegner dem alle like ubesværet.

Oppsummering

Ferdskriveren viste seg å være matematikk: en parameterframstilling $x = x(t)$, $y = y(t)$, $t \in I$, der hver tid gir et punkt og kurven er banen som tegnes opp. Formen rommer alt $y = f(x)$ ikke makter — selvkryssende sløyfer, sirkler, hele bevegelser med retning, tidsskjema og start og slutt bestemt av parameterintervallet.

Linjen gjennom $(x_0, y_0)$ med retningsvektor $[a, b]$ fikk formen $x = x_0 + at$, $y = y_0 + bt$. Sirkelen med sentrum $(a, b)$ og radius $r$ ble $x = a + r\cos t$, $y = b + r\sin t$, gjennomløpt mot klokka, med $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$ som kontroll, og ellipsen $x = a\cos t$, $y = b\sin t$ svarte til $\displaystyle \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$.

Å eliminere parameteren — løse for $t$ og sette inn, eller la trig-identiteten rydde — ga det kartesiske kartet: $x + 2y = 7$ for linjen, $(x-2)^2 + (y+1)^2 = 9$ for sirkelen, hyperbelgrenen $xy = 1$ i første kvadrant. Men kartet glemmer flyturen: retning, fart og gjennomløpt del finnes bare i parametriseringen.

Tangentvektoren $\vec{v}(t) = [x'(t), y'(t)]$ ga bevegelsesretning og fart $|\vec{v}(t)|$, stigningstall $\displaystyle \frac{y'}{x'}$ for tangentlinjer, horisontale tangenter der $y' = 0$ og vertikale der $x' = 0$ — og på sirkelen sto den alltid vinkelrett på radien.

I neste kapittel får parameterkurven nytt navn — vektorfunksjon — og derivasjonen av den blir hovedpersonen: hastighet, fart, akselerasjon og lengden av selve flyturen.