5.8 Avstand punkt-linje og punkt-plan

Hvor nær er for nær?

En drone holder posisjonen over et anleggsområde. Under den strekker en kraftledning seg som en rett linje gjennom luften, og til siden skrår en glassfasade — et plan — opp fra bakken. Sikkerhetssystemet stiller hele tiden samme spørsmål: hvor langt unna er vi? Ikke avstanden til et tilfeldig punkt på ledningen eller fasaden, men den korteste avstanden — den som avgjør om alarmen skal gå.

Korteste avstand i rommet måles alltid vinkelrett: fra punktet, rett ned på planet langs normalen, eller rett bort på linjen langs den vinkelrette. Og her høster vi igjen fruktene av vektorverktøyene våre. Normalvektoren fra planligningen gir avstanden punkt–plan gjennom en formel så kompakt at den nesten virker som juks. Kryssproduktet, med sin parallellogramtolkning, gir avstanden punkt–linje. Og for rommets særegne fenomen — to vindskjeve linjer som passerer hverandre uten å møtes — kombinerer vi begge produktene for å finne den korteste broen mellom dem.

I denne fortellingen utleder og bruker vi alle avstandsformlene: punkt til plan (med fotpunktet som bonus), punkt til linje, avstanden mellom parallelle plan og parallelle linjer, og til slutt vindskjeve linjer — med en innebygd advarsel om å alltid sjekke hva slags linjepar du faktisk har, før du velger formel. Det er presisjonen sikkerhetssystemet lever av: arkitektur, ingeniørkunst, datagrafikk og flykontroll bruker nøyaktig disse beregningene hver eneste dag.

Avstanden til et plan

Glassfasaden har ligningen $ax + by + cz = e$, og dronen står i punktet $P = (x_0, y_0, z_0)$. Den korteste avstanden måles langs normalvektoren $\vec{n} = [a, b, c]$, og formelen er bemerkelsesverdig enkel:

$$d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 - e|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$$

Huskeregelen: sett punktet inn i ligningen, ta avviket fra høyresiden i absoluttverdi, og del på lengden av normalvektoren. Avviket i telleren måler hvor mye punktet «bommer» på planligningen, og divisjonen med $|\vec{n}|$ oversetter bommen til faktiske lengdeenheter.

Konkret: dronen i $P = (2, 3, 1)$, fasaden $2x - 2y + z = 6$. Innsetting gir $4 - 6 + 1 = -1$, avviket fra $6$ er $|-1 - 6| = 7$, og normalvektoren har lengde $\sqrt{4 + 4 + 1} = 3$. Avstanden er $\displaystyle \frac{7}{3} \approx 2{,}33$.

Av og til trenger vi mer enn avstanden — vi vil vite nøyaktig hvilket punkt på planet som er nærmest: fotpunktet. Da går vi fra $P$ langs normalen til vi treffer planet. For $P = (1, 0, 2)$ og planet $x + 2y + 2z = 9$: normalen er $[1, 2, 2]$, og linjen $\vec{r} = [1, 0, 2] + t[1, 2, 2]$ settes inn i planligningen: $(1 + t) + 4t + (4 + 4t) = 9$ gir $9t = 4$, altså $\displaystyle t = \frac{4}{9}$. Fotpunktet er $\displaystyle \left(\frac{13}{9}, \frac{8}{9}, \frac{26}{9}\right)$.

Og er det to parallelle plan som skal måles mot hverandre? Da har de samme normalvektor, $ax + by + cz = e_1$ og $= e_2$, og avstanden er bare $\displaystyle d = \frac{|e_1 - e_2|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$. Planene $2x - y + 2z = 3$ og $2x - y + 2z = 12$ ligger $\displaystyle \frac{9}{3} = 3$ enheter fra hverandre.

Avstanden til en linje

Så til kraftledningen: linjen $\ell: \vec{r} = \vec{r}_0 + t\vec{v}$, og dronen i punktet $P$. Velg et hvilket som helst punkt $Q$ på linjen (basispunktet $\vec{r}_0$ er nærmest), og se på vektoren $\overrightarrow{QP}$. Kryssproduktet kommer oss til unnsetning med sin arealtolkning: $|\overrightarrow{QP} \times \vec{v}|$ er arealet av parallellogrammet utspent av $\overrightarrow{QP}$ og $\vec{v}$ — og det arealet er også grunnlinje ganger høyde, der grunnlinjen er $|\vec{v}|$ og høyden er nettopp avstanden fra $P$ til linjen. Altså:

$$d = \frac{|\overrightarrow{QP} \times \vec{v}|}{|\vec{v}|}$$

La oss måle. Dronen står i $P = (3, 4, 5)$, ledningen er $\ell: \vec{r} = [1, 1, 1] + t[1, 2, 2]$. Med $Q = (1, 1, 1)$ er $\overrightarrow{QP} = [2, 3, 4]$. Kryssproduktet: $[3 \cdot 2 - 4 \cdot 2, \; 4 \cdot 1 - 2 \cdot 2, \; 2 \cdot 2 - 3 \cdot 1] = [-2, 0, 1]$, med lengde $\sqrt{5}$. Retningsvektoren har lengde $3$, så avstanden er $\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{3} \approx 0{,}75$ — antagelig for nær; alarmen går.

Samme formel løser parallelle linjer: siden de holder konstant avstand, plukker du bare et punkt på den ene og måler til den andre. For $\ell_1: \vec{r} = [1, 0, 0] + s[2, 1, 2]$ og $\ell_2: \vec{r} = [0, 3, 1] + t[2, 1, 2]$ tar vi punktet $(0, 3, 1)$ fra $\ell_2$ og $Q = (1, 0, 0)$ på $\ell_1$: $\overrightarrow{QP} = [-1, 3, 1]$, kryssproduktet med $[2, 1, 2]$ blir $[5, 4, -7]$ med lengde $\sqrt{90}$, og avstanden er $\displaystyle \frac{\sqrt{90}}{3} = \sqrt{10} \approx 3{,}16$.

(En alternativ vei går via projeksjon: spalt $\overrightarrow{QP}$ i en komponent langs $\vec{v}$ og en vinkelrett på; den vinkelrette komponentens lengde er avstanden. Kryssproduktformelen gjør samme jobb i ett steg.)

Vindskjeve linjer — broen mellom to baner

Det vanskeligste tilfellet: to vindskjeve linjer, $\ell_1: \vec{r} = \vec{a} + s\vec{u}$ og $\ell_2: \vec{r} = \vec{b} + t\vec{v}$, som verken er parallelle eller møtes. Hvor er den korteste broen mellom dem? Nøkkelinnsikten: det korteste forbindelsesstykket må stå vinkelrett på begge linjene — og en vektor vinkelrett på både $\vec{u}$ og $\vec{v}$ kjenner vi: kryssproduktet $\vec{u} \times \vec{v}$. Avstanden er da projeksjonen av forbindelsesvektoren $\vec{b} - \vec{a}$ på denne fellesnormalen:

$$d = \frac{|(\vec{b} - \vec{a}) \cdot (\vec{u} \times \vec{v})|}{|\vec{u} \times \vec{v}|}$$

Et rent eksempel: $\ell_1$ er selve $x$-aksen, $\vec{r} = s[1, 0, 0]$, og $\ell_2: \vec{r} = [0, 1, 1] + t[0, 0, 1]$. Kryssproduktet er $[1,0,0] \times [0,0,1] = [0, -1, 0]$, forbindelsesvektoren er $[0, 1, 1]$, og skalarproduktet blir $-1$. Avstanden: $\displaystyle \frac{|-1|}{1} = 1$ — linjene passerer hverandre med nøyaktig én enhets klaring.

Men formelen har en felle, og den er lærerik. Prøv $\ell_1: \vec{r} = [1, 0, 0] + s[1, 1, 0]$ og $\ell_2: \vec{r} = [0, 0, 1] + t[0, 1, 1]$: her er $\vec{u} \times \vec{v} = [1, -1, 1]$, $\vec{b} - \vec{a} = [-1, 0, 1]$, og skalarproduktet $-1 + 0 + 1 = 0$. Avstand null? Ja — fordi linjene faktisk skjærer hverandre: løser du likningssettet, møtes de i $(0, -1, 0)$. Null avstand betyr kontakt.

Derfor, alltid samme kontrollrutine før du velger formel: sjekk først om retningsvektorene er parallelle (da gjelder punkt–linje-metoden); hvis ikke, sjekk om linjene skjærer (avstand $0$); først når begge svar er nei, er linjene vindskjeve, og fellesnormal-formelen gjør jobben.

Oppsummering

Sikkerhetssystemets spørsmål — hvor nær er for nær? — fikk presise svar for alle rommets konstellasjoner, og alle målte vi vinkelrett, langs den korteste veien.

Mot planet $ax + by + cz = e$ ga normalvektoren formelen $\displaystyle d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 - e|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$: sett inn punktet, ta avviket i absoluttverdi, del på normalens lengde — dronen sto $\displaystyle \frac{7}{3}$ fra glassfasaden. Fotpunktet fant vi ved å følge normalen fra punktet til den traff planet, og parallelle plan fikk kortversjonen $\displaystyle d = \frac{|e_1 - e_2|}{|\vec{n}|}$.

Mot linjen brukte vi kryssproduktets arealtolkning: $\displaystyle d = \frac{|\overrightarrow{QP} \times \vec{v}|}{|\vec{v}|}$ — parallellogramareal delt på grunnlinje gir høyden. Samme formel tok parallelle linjer, ved å låne et punkt fra den ene.

For vindskjeve linjer bygget vi den korteste broen langs fellesnormalen $\vec{u} \times \vec{v}$: $\displaystyle d = \frac{|(\vec{b} - \vec{a}) \cdot (\vec{u} \times \vec{v})|}{|\vec{u} \times \vec{v}|}$ — og lærte fellen å kjenne: blir telleren null for ikke-parallelle linjer, skjærer de hverandre. Derav kontrollrutinen: parallelle? skjærende? først da vindskjeve.

Med dette er romgeometriens verktøykasse komplett: punkter, vektorer, produkter, linjer, plan — og avstandene mellom alt sammen. Det som gjenstår i R2, er å sette rommet i bevegelse: vektorfunksjoner, der posisjonen endrer seg med tiden. Det er neste hovedkapittel.