8.3 Matematiske vekstmodeller | Matematikk S2

Eksponentiell, logistisk og begrenset vekst i økonomiske sammenhenger.

55 min

18 oppgaver

Eksponentiell vekstLogistisk vekstBegrenset vekstVekstmodellerBæreevne

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 18 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

8.1Annuitetsmodeller

Brukes videre i

8.4Differensiallikninger i økonomi

Marknadslikevekt

I ein marknad vert prisen bestemt av samspelet mellom tilbod og etterspurnad. Etterspurnadsfunksjonen skildrar kor mykje forbrukarane ønskjer å kjøpe ved ulike prisar, medan tilbodsfunksjonen skildrar kor mykje produsentane ønskjer å tilby.

Marknadslikevekt oppstår der tilboden mengd er lik etterspurd mengd. Matematisk finn vi dette skjeringspunktet mellom tilbods- og etterspurnadskurvene.

Tilbods- og etterspurnadsfunksjonar

p_E(x)

Marknadslikevekt

p_E(x) = p_T(x)

✏️Finne marknadslikevekt

Etterspurnaden etter ei vare er gjeven ved $p_E(x) = 120 - 2x$ og tilbodet er $p_T(x) = 20 + x$ , der $p$ er pris i kroner og $x$ er talet på tusen einingar.

a) Finn likevektsmengda og likevektsprisen.
b) Kva skjer dersom prisen vert sett til 80 kroner?

a) Likevekt:

p_E(x) = p_T(x)

120 - 2x = 20 + x

100 = 3x

x^* = \frac{100}{3} \approx 33{,}3 \text{ tusen einingar}

$p^* = 20 + \frac{100}{3} = \frac{160}{3} \approx 53{,}3 \text{ kroner}$

b) Pris = 80 kr:
Etterspurd mengd: $80 = 120 - 2x \Rightarrow x_E = 20$ tusen einingar.
Tilboden mengd: $80 = 20 + x \Rightarrow x_T = 60$ tusen einingar.

Det er overskotstilbod på $60 - 20 = 40$ tusen einingar. Prisen er for høg og vil verte pressa nedover mot likevektsprisen.

📊Utforsk: Likevekt mellom tilbod og etterspurnad

Etterspurnadsfunksjonen $E(x) = 120 - 4x$ (blå) og tilbodsfunksjonen $T(x) = 20 + 6x$ (raud). Skjeringspunktet gjev likevektsmengd og likevektspris. Flytt på funksjonane og sjå korleis likevekta endrar seg.

Priselastisitet

Priselastisiteten måler kor følsam etterspurnaden er for prisendringar. Han fortel oss den prosentvise endringa i etterspurd mengd per prosent prisendring.

I S2 bruker vi den deriverte til å rekne ut priselastisiteten punktvis:

$E_p = \frac{\frac{dx}{x}}{\frac{dp}{p}} = \frac{p}{x} \cdot \frac{dx}{dp}$

Sidan etterspurnaden vanlegvis er avtakande, er $\displaystyle \frac{dx}{dp} < 0$ , og elastisiteten er negativ. Vi bruker ofte absoluttverdien $|E_p|$ .

Priselastisitet

E_p = \frac{p}{x} \cdot \frac{dx}{dp}

📜Elastisitet og inntektsmaksimum

For ein lineær etterspurnadsfunksjon

p(x) = a - bx

er:

$E_p = \frac{p}{x} \cdot \frac{1}{-b} = \frac{a - bx}{-bx} = \frac{a}{-bx} + 1$

Totalinntekta er maksimal der $|E_p| = 1$ .

Bevis: $I(x) = px = (a-bx)x$ . $\displaystyle I'(x) = a - 2bx = 0 \Rightarrow x = \frac{a}{2b}$ .

Då er $\displaystyle p = a - b \cdot \frac{a}{2b} = \frac{a}{2}$ og $\displaystyle E_p = \frac{a/2}{a/(2b)} \cdot \frac{1}{-b} = -1$ .

Altså er $|E_p| = 1$ nøyaktig i inntektsmaksimum.

✏️Priselastisitet

Etterspurnaden etter ei vare er gjeven ved $x = 100 - 2p$ der $x$ er talet på einingar og $p$ er pris i kroner.

a) Rekn ut priselastisiteten når $p = 20$ .
b) Er etterspurnaden elastisk eller uelastisk ved denne prisen?
c) For kva pris er totalinntekta maksimal?

a) Priselastisitet:
Vi har

\displaystyle \frac{dx}{dp} = -2

Når $p = 20$ : $x = 100 - 40 = 60$ .

$E_p = \frac{p}{x} \cdot \frac{dx}{dp} = \frac{20}{60} \cdot (-2) = -\frac{2}{3}$

b) Tolking:
$\displaystyle |E_p| = \frac{2}{3} < 1$ , altså er etterspurnaden uelastisk. Ein prisauke på 1 % gjev berre om lag 0,67 % nedgang i etterspurd mengd. Bedrifta kan auke inntekta ved å heve prisen.

c) Maksimal totalinntekt:
$|E_p| = 1$ gjev: $\displaystyle \frac{p}{100-2p} \cdot 2 = 1 \Rightarrow 2p = 100 - 2p \Rightarrow p = 25$ .

Alternativt: $I(p) = p(100-2p) = 100p - 2p^2$ . $I'(p) = 100 - 4p = 0 \Rightarrow p = 25$ .

Totalinntekta er maksimal ved pris 25 kroner, med $x = 50$ einingar og $I = 1250$ kroner.

Avgifter og skatt

Når styresmaktene legg ei avgift $t$ kroner per eining på ei vare, endrar marknadslikevekta seg. Vi kan analysere dette matematisk.

Avgift på produsentane gjer at tilbodskurva skiftar oppover med $t$ :
$p_T^{\text{ny}}(x) = p_T(x) + t$

Det nye likevektspunktet finn vi ved å løyse:
$p_E(x) = p_T(x) + t$

Viktig resultat: Avgifta vert delt mellom produsent og forbrukar. Kor mykje kvar ber avheng av elastisitetane. Den parten med mest uelastisk kurve ber størst del av avgifta.

✏️Verknaden av ei avgift

I ein marknad er etterspurnaden $p_E(x) = 100 - x$ og tilbodet $p_T(x) = 10 + 2x$ , der $p$ er i kroner og $x$ i tusen einingar.

a) Finn likevektspris og likevektsmengd utan avgift.
b) Staten innfører ei avgift på 15 kroner per eining. Finn ny likevektsmengd og dei prisane forbrukaren og produsenten betaler/mottek.

a) Utan avgift:

100 - x = 10 + 2x \quad \Rightarrow \quad 3x = 90 \quad \Rightarrow \quad x^* = 30

p^* = 100 - 30 = 70 \text{ kr}

b) Med avgift $t = 15$ kr:
Ny tilbodskurve: $p_T^{\text{ny}}(x) = 10 + 2x + 15 = 25 + 2x$

Ny likevekt:
$100 - x = 25 + 2x \quad \Rightarrow \quad 3x = 75 \quad \Rightarrow \quad x^{**} = 25$

Forbrukarpris: $p_F = 100 - 25 = 75$ kr (forbrukaren betaler 5 kr meir enn før)
Produsentpris: $p_P = 75 - 15 = 60$ kr (produsenten mottek 10 kr mindre enn før)

Avgifta på 15 kr vert delt slik: forbrukaren ber 5 kr og produsenten ber 10 kr. Produsenten ber meir fordi tilbodskurva er brattare (meir uelastisk i dette tilfellet).

Mengda søkk frå 30 til 25 tusen einingar.

📝Oppgave 1

Løys oppgåvene:

Etterspurnaden er $p_E(x) = 80 - 4x$ og tilbodet er $p_T(x) = 20 + 2x$ . Finn likevektsmengda og likevektsprisen.

Kva er overskotstilbodet dersom prisen vert sett til 60 kr?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 2

Løys oppgåvene:

Etterspurnaden er $p_E(x) = 150 - 3x$ og tilbodet er $p_T(x) = 30 + x$ . Finn likevekt.

Dersom prisen vert sett til 40 kr, er det overskotstilbod eller overskotsetterspurnad?

📝Oppgave 3

Løys oppgåvene:

Etterspurnaden er $x = 200 - 4p$ . Rekn ut priselastisiteten $E_p$ når $p = 30$ .

For kva pris er etterspurnaden einingselastisk?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 4

Løys oppgåvene:

Forklar med eigne ord kva det tyder at etterspurnaden er elastisk.

Gje eit døme på ei vare med uelastisk etterspurnad og forklar kvifor.

📝Oppgave 5

Løys oppgåvene:

Etterspurnaden er $p_E(x) = 200 - 5x$ og tilbodet er $p_T(x) = 50 + 5x$ . Staten innfører ei avgift på 20 kr per eining. Finn ny likevekt.

Kor mykje av avgifta vert boren av forbrukaren og kor mykje av produsenten?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 6

Løys oppgåvene:

Etterspurnaden er $x = 500 - 10p$ . Totalinntekta er $I = px$ . Vis at $I(p) = 500p - 10p^2$ og finn prisen som gjev størst inntekt.

Vis at $|E_p| = 1$ ved denne prisen.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 7

Løys oppgåvene:

Etterspurnaden etter ei vare er $p(x) = 60e^{-0{,}02x}$ . Finn priselastisiteten som funksjon av $x$ .

For kva $x$ er etterspurnaden einingselastisk? Finn tilhøyrande pris.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 8

Løys oppgåvene:

Etterspurnaden er $p_E(x) = 100 - 2x$ og tilbodet er $p_T(x) = 10 + x$ . Ei avgift på $t$ kroner vert innført. Finn den nye likevektsmengda som funksjon av $t$ .

Avgiftsinntekta til staten er $T = t \cdot x(t)$ . Finn avgifta $t$ som maksimerer inntekta til staten.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 9

Løys oppgåvene:

Etterspurnaden er $\displaystyle p_E(x) = \frac{400}{x+5}$ og tilbodet er $p_T(x) = 2x + 10$ . Finn likevektsmengda.

Finn likevektsprisen og rekn ut priselastisiteten i likevektspunktet.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 10

Løys oppgåvene:

For ein lineær etterspurnadsfunksjon $p = a - bx$ , vis at priselastisiteten er $\displaystyle E_p = \frac{bx - a}{bx}$ .

Vis at etterspurnaden er elastisk ( $|E_p| > 1$ ) for $\displaystyle x < \frac{a}{2b}$ og uelastisk for $\displaystyle x > \frac{a}{2b}$ .

📝Oppgave 11

Løys oppgåvene:

Tilbodet er $p_T(x) = 5 + 0{,}5x$ og etterspurnaden er $p_E(x) = 80 - x$ . Ei avgift $t = 12$ vert innført. Rekn ut dødvektstapet (effektivitetstapet), altså den tapte handelen målt som areal av trekanten mellom gammal og ny likevekt.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 12

Løys oppgåvene:

Ei bedrift har etterspurnad $p(x) = 300 - 0{,}5x$ . Vis at inntekta til bedrifta aukar ved prisauke dersom $x > 300$ , og at inntekta søkk ved prisauke dersom $x < 300$ .

📝Oppgave 13

Løys oppgåvene:

Ei vare har etterspurnad $x = 1000p^{-2}$ . Vis at priselastisiteten er konstant og lik $-2$ for alle prisar.

Kva tyder det at ei vare har konstant priselastisitet lik $-2$ ?

Oppsummering

Marknadslikevekt: Set $p_E(x) = p_T(x)$ og løys for $x^*$ (likevektsmengd) og $p^*$ (likevektspris).

Priselastisitet:
$E_p = \frac{p}{x} \cdot \frac{dx}{dp}$
- $|E_p| > 1$ : elastisk (mengda er prisfølsam)
- $|E_p| = 1$ : einingselastisk (totalinntekt er maksimal)
- $|E_p| < 1$ : uelastisk (mengda er lite prisfølsam)

Avgifter: Skiftar tilbodskurva oppover med $t$ . Ny likevekt: $p_E(x) = p_T(x) + t$ . Avgifta vert delt mellom forbrukar og produsent avhengig av elastisitetane.

Tommelfingerregel: Den parten med mest uelastisk kurve ber størst del av avgifta.

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.