Tilbake
7.4
Potensrekker og Taylor-rekker

7.4 Potensrekker og Taylor-rekker

Alle fag for VG3

Representere funksjoner som potensrekker og Taylor-tilnærminger.

65 min
19 oppgaver
PotensrekkeTaylor-rekkeMaclaurin-rekkeKonvergensradiusTilnærming
Du leser den tradisjonelle versjonen
Din fremgang i kapitlet
0 / 19 oppgaver
Kapitlets plass i kurset

Rekkjer i personleg økonomi

Geometriske rekkjer er grunnlaget for det meste av finansmatematikk. Når du sparer regelmessig med fast rente, eller betaler ned eit lån, er det geometriske rekkjer som ligg bak utrekningane.

I dette kapittelet skal vi utleie formlar for sparing med faste innskot, annuitetslån og serielån. Dette er svært relevant for S2-eksamen og for din eigen personlege økonomi.

Vi bruker følgjande notasjon:
- rr er renta per termin (t.d. r=0,05r = 0{,}05 for 5%5\%)
- Vekstfaktoren per termin er v=1+rv = 1 + r

Sparing med faste innskot
Dersom du set inn eit fast beløp bb ved slutten av kvar termin i nn terminar, og renta per termin er rr (vekstfaktor v=1+rv = 1 + r), er sluttkapitalen (verdien etter nn terminar):

Kn=b⋅vn−1v−1=b⋅(1+r)n−1rK_n = b \cdot \frac{v^n - 1}{v - 1} = b \cdot \frac{(1+r)^n - 1}{r}

Dette er summen av ei geometrisk rekkje der kvart innskot veks med renter over ulik tid.

✏️Sparing til bustad

Du sparer 5000 kr per månad i 10 år. Månadleg rente er 0,3%0{,}3\% (dvs. r=0,003r = 0{,}003). Kor mykje har du spart totalt?

Vi har b=5000b = 5000, r=0,003r = 0{,}003, v=1,003v = 1{,}003 og n=120n = 120 (månader).

K120=5000⋅1,003120−10,003K_{120} = 5000 \cdot \frac{1{,}003^{120} - 1}{0{,}003}

Rekn ut 1,0031201{,}003^{120}: 1,003120≈1,43081{,}003^{120} \approx 1{,}4308

K120=5000⋅1,4308−10,003=5000⋅0,43080,003=5000⋅143,6≈718 000 krK_{120} = 5000 \cdot \frac{1{,}4308 - 1}{0{,}003} = 5000 \cdot \frac{0{,}4308}{0{,}003} = 5000 \cdot 143{,}6 \approx 718\,000 \text{ kr}

Totalt innskot: 5000⋅120=600 0005000 \cdot 120 = 600\,000 kr
Opptente renter: 718 000−600 000=118 000718\,000 - 600\,000 = 118\,000 kr

📜Annuitetsformelen
Eit annuitetslån er eit lån der terminbeløpet (summen av avdrag og renter) er konstant gjennom heile løpetida til lånet.

Dersom lånebeløpet er LL, renta per termin er rr (vekstfaktor v=1+rv = 1 + r) og talet på terminar er nn, er det faste terminbeløpet:

T=L⋅r⋅vnvn−1=L⋅r(1+r)n(1+r)n−1T = L \cdot \frac{r \cdot v^n}{v^n - 1} = L \cdot \frac{r(1+r)^n}{(1+r)^n - 1}

Utleiing: Etter nn terminar skal restgjelda vere null. Lånet med renter etter nn terminar er L⋅vnL \cdot v^n. Innbetalingane TT per termin med renter utgjer ei geometrisk rekkje med sum T⋅vn−1r\displaystyle T \cdot \frac{v^n - 1}{r}. Sett lik: L⋅vn=T⋅vn−1r\displaystyle L \cdot v^n = T \cdot \frac{v^n - 1}{r}, og løys for TT.

Noverdi
Noverdien av eit beløp BB som blir motteke om nn terminar ved rente rr er:

NV=B(1+r)n\text{NV} = \frac{B}{(1+r)^n}

Noverdien av ei rekkje like betalingar TT over nn terminar er:

NV=T⋅1−(1+r)−nr\text{NV} = T \cdot \frac{1 - (1+r)^{-n}}{r}

Noverdi blir brukt til å samanlikne betalingsstraumar som skjer på ulike tidspunkt.

Serielån vs. annuitetslån

I eit serielån er avdraga (ikkje terminbeløpet) konstante. Sidan restgjelda synk, synk også rentedelen, og dermed synk terminbeløpet over tid.

EigenskapAnnuitetslånSerielån
TerminbeløpKonstantSynk over tid
AvdragAukar over tidKonstant
RentedelSynk over tidSynk over tid
Total renteHøgareLågare
Populært tilBustadlån (føreseielegheit)Bedriftslån

Serielånet gir lågare total rentekostnad fordi du betaler ned raskare i starten.
✏️Rekn ut terminbeløp for annuitetslån

Eit bustadlån på 3\,000\,000 kr har årleg rente 4%4\% og løpetid 25 år med årlege terminar. Finn terminbeløpet.

Vi har L=3 000 000L = 3\,000\,000, r=0,04r = 0{,}04, v=1,04v = 1{,}04 og n=25n = 25.

T=3 000 000⋅0,04⋅1,04251,0425−1T = 3\,000\,000 \cdot \frac{0{,}04 \cdot 1{,}04^{25}}{1{,}04^{25} - 1}

Rekn ut 1,0425≈2,66581{,}04^{25} \approx 2{,}6658.

T=3 000 000⋅0,04⋅2,66582,6658−1=3 000 000⋅0,106631,6658T = 3\,000\,000 \cdot \frac{0{,}04 \cdot 2{,}6658}{2{,}6658 - 1} = 3\,000\,000 \cdot \frac{0{,}10663}{1{,}6658}

T=3 000 000⋅0,06401≈192 040 krT = 3\,000\,000 \cdot 0{,}06401 \approx 192\,040 \text{ kr}

Total innbetaling: 192 040⋅25=4 801 000192\,040 \cdot 25 = 4\,801\,000 kr
Total rente: 4 801 000−3 000 000=1 801 0004\,801\,000 - 3\,000\,000 = 1\,801\,000 kr

Restgjeld etter m terminar
Restgjelda på eit annuitetslån etter mm terminar (av totalt nn) er:

Rm=L⋅vm−T⋅vm−1rR_m = L \cdot v^m - T \cdot \frac{v^m - 1}{r}

der TT er terminbeløpet, v=1+rv = 1 + r er vekstfaktoren.

Alternativt kan restgjelda uttrykkjast som noverdien av dei gjenståande n−mn - m terminbeløpa:

Rm=T⋅1−v−(n−m)rR_m = T \cdot \frac{1 - v^{-(n-m)}}{r}

✏️Samanlikning av serielån og annuitetslån

Eit lån på 500\,000 kr skal tilbakebetalast over 5 år med årleg rente 6%6\%. Samanlikn total rentekostnad for annuitetslån og serielån.

Annuitetslån:
T=500 000⋅0,06⋅1,0651,065−1=500 000⋅0,06⋅1,33820,3382=500 000⋅0,23740=118 698\displaystyle T = 500\,000 \cdot \frac{0{,}06 \cdot 1{,}06^5}{1{,}06^5 - 1} = 500\,000 \cdot \frac{0{,}06 \cdot 1{,}3382}{0{,}3382} = 500\,000 \cdot 0{,}23740 = 118\,698 kr

Total: 118 698⋅5=593 490118\,698 \cdot 5 = 593\,490 kr. Rente: 93 49093\,490 kr.

Serielån:
Avdrag per år: 500 0005=100 000\displaystyle \frac{500\,000}{5} = 100\,000 kr.

ÅrRestgjeldRenteAvdragTermin
1500 00030 000100 000130 000
2400 00024 000100 000124 000
3300 00018 000100 000118 000
4200 00012 000100 000112 000
5100 0006 000100 000106 000

Total rente serielån: 30 000+24 000+18 000+12 000+6 000=90 00030\,000 + 24\,000 + 18\,000 + 12\,000 + 6\,000 = 90\,000 kr.
Serielånet gir 3 4903\,490 kr lågare total rentekostnad.

Tips for eksamen

Oppgåver om lån og sparing er svært vanlege på S2-eksamen. Nokre viktige punkt:

1. Ver nøye med terminlengd: Sjekk om renta er årleg og terminane er månadlege (då må du dele renta på 12)
2. Skil mellom spareformel og låneformel: Sparing gir sluttkapital, lån gir terminbeløp
3. Noverdi: Bruk noverdi for å samanlikne betalingar på ulike tidspunkt
4. Vis utleiinga: Sensor gir poeng for å vise korleis formlane kjem fram frå geometriske rekkjer

📝Oppgave 1

Løys oppgåvene:

a

Du set inn 2000 kr per månad i 5 år. Månadleg rente er 0,4%0{,}4\%. Finn sluttkapitalen.

b

Kor mykje av sluttkapitalen er opptente renter?

Løs oppgavenTren
📝Oppgave 2

Løys oppgåvene:

a

Eit lån på 200\,000 kr har årleg rente 5%5\% og løpetid 10 år med årlege terminar. Finn det årlege terminbeløpet.

b

Finn total rentekostnad over heile løpetida til lånet.

Løs oppgavenTren
📝Oppgave 3

Løys oppgåvene:

a

Finn noverdien av 100\,000 kr som blir motteke om 8 år, gitt 6%6\% årleg rente.

b

Kva tyder svaret i a) praktisk?

Løs oppgavenTren
📝Oppgave 4

Løys oppgåvene:

a

Eit serielån på 300\,000 kr blir betalt tilbake over 6 år med årleg rente 4%4\%. Rekn ut terminbeløpet for det første og siste året.

📝Oppgave 5

Løys oppgåvene:

a

Du ønskjer å ha 1\,000\,000 kr om 15 år. Kor mykje må du spare per månad dersom månadleg rente er 0,35%0{,}35\%?

Løs oppgavenTren
📝Oppgave 6

Løys oppgåvene:

a

Eit annuitetslån på 1\,500\,000 kr har årleg rente 3,5%3{,}5\% og løpetid 20 år. Finn terminbeløpet.

b

Finn restgjelda etter 10 år.

Løs oppgavenTren
📝Oppgave 7

Løys oppgåvene:

a

Utlei spareformelen Kn=b⋅vn−1v−1\displaystyle K_n = b \cdot \frac{v^n - 1}{v - 1} frå ei geometrisk rekkje.

📝Oppgave 8

Løys oppgåvene:

a

Finn noverdien av 20 årlege utbetalingar på 80\,000 kr, gitt 4%4\% årleg rente.

Løs oppgavenTren
📝Oppgave 9

Løys oppgåvene:

a

Eit lån på 400\,000 kr med 5%5\% årleg rente skal tilbakebetalast over 4 år. Rekn ut total rentekostnad for høvesvis annuitetslån og serielån.

📝Oppgave 10

Løys oppgåvene:

a

Eit bustadlån på 4\,000\,000 kr har månadlege terminar og nominell rente 3,6%3{,}6\%. Løpetida er 30 år. Finn det månadlege terminbeløpet.

b

Kor mykje betaler du totalt i renter over heile løpetida til lånet?

Løs oppgavenTren
📝Oppgave 11

Løys oppgåvene:

a

Ein pensjonist ønskjer å ta ut 15\,000 kr per månad i 20 år frå ein sparekonto med 0,3%0{,}3\% månadleg rente. Kor mykje må stå på kontoen ved pensjonsstart?

Løs oppgavenTren
📝Oppgave 12

Løys oppgåvene:

a

Eit annuitetslån på 600\,000 kr med 4%4\% årleg rente og 15 års løpetid har vore betent i 8 år. Låntakaren ønskjer å auke terminbeløpet for å nedbetale resten av lånet på 5 år (i staden for 7). Finn det nye terminbeløpet.

Løs oppgavenTren
📝Oppgave 13

Løys oppgåvene:

a

Vis at terminbeløpet for eit serielån med nn terminar dannar ei aritmetisk følgje, og finn differansen.

📝Oppgave 14

Løys oppgåvene:

a

To investeringar blir tilbydde: A) 50\,000 kr no, eller B) 10\,000 kr per år i 6 år (første betaling om eitt år). Kva er best ved 5%5\% rente?

Oppsummering

Spareformel (faste innskot):
Kn=b⋅(1+r)n−1rK_n = b \cdot \frac{(1+r)^n - 1}{r}

Annuitetsformel (fast terminbeløp):
T=L⋅r(1+r)n(1+r)n−1T = L \cdot \frac{r(1+r)^n}{(1+r)^n - 1}

Noverdi av betalingsrekkje:
NV=T⋅1−(1+r)−nr\text{NV} = T \cdot \frac{1 - (1+r)^{-n}}{r}

Serielån: Konstant avdrag A=Ln\displaystyle A = \frac{L}{n}, avtakande terminbeløp.

Hugs:
- Sjekk om renta er per termin eller per år
- Bruk noverdi for å samanlikne betalingsalternativ
- Vis utleiing frå geometriske rekkjer på eksamen

Repetisjonsoppgåver
Din fremgang
0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.