7.3 Uendelege geometriske rekkjer | Matematikk S2

Lær om konvergens og divergens av følgjer og rekkjer, sum av uendeleg geometrisk rekkje, og praktiske bruksområde.

55 min

22 oppgaver

Konvergens og divergensSum av uendeleg geometrisk rekkjeKonvergens av følgjerGrenseverdiar av brøkfølgjerPeriodiske desimaltal

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 22 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

7.2Geometriske følger og rekker

Brukes videre i

7.4Annuitetslån og sparing 7.5Rekursive sammenhenger

Kan ein uendeleg sum bli endeleg?

Eit av dei mest fascinerande resultata i matematikken er at vi kan leggje saman uendeleg mange tal og likevel få eit endeleg svar. Tenk deg at du går halvparten av vegen til ein vegg, deretter halvparten av den gjenståande avstanden, og så vidare. Du legg altså saman $\displaystyle \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots$ Intuitivt nærmar du deg veggen, og summen nærmar seg $1$ .

I dette kapittelet skal vi formalisere denne ideen og finne ut nøyaktig når ei uendeleg geometrisk rekkje har ein endeleg sum.

Konvergens og divergens

\sum_{n=1}^{\infty} a_n = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots

📜Sum av uendeleg geometrisk rekkje

Ei uendeleg geometrisk rekkje med første ledd

a_1

og kvotient

k

konvergerer dersom

|k| < 1

, og summen er:

$S = \frac{a_1}{1 - k} \quad \text{når } |k| < 1$

Dersom $|k| \geq 1$ , divergerer rekkja.

Bevis: Vi startar med $\displaystyle S_n = a_1 \cdot \frac{k^n - 1}{k - 1} = \frac{a_1}{1-k}(1 - k^n)$ .

Når $|k| < 1$ , har vi $k^n \to 0$ når $n \to \infty$ , slik at:
$S = \lim_{n \to \infty} S_n = \frac{a_1}{1-k}(1 - 0) = \frac{a_1}{1-k}$

✏️Sum av uendeleg geometrisk rekkje

Avgjer om rekkja $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} 6 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^n$ konvergerer, og finn i så fall summen.

Vi identifiserer

a_1 = 6

(leddet for

n=0

) og

\displaystyle k = \frac{1}{3}

Sidan $\displaystyle |k| = \frac{1}{3} < 1$ , konvergerer rekkja.

$S = \frac{a_1}{1 - k} = \frac{6}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{6}{\frac{2}{3}} = 6 \cdot \frac{3}{2} = 9$

Kontroll med delsummar:
- $S_1 = 6$
- $S_2 = 6 + 2 = 8$
- $\displaystyle S_3 = 8 + \frac{2}{3} = 8{,}\overline{6}$
- $\displaystyle S_4 = 8{,}\overline{6} + \frac{2}{9} \approx 8{,}89$

Delsummane nærmar seg $9$ .

Svar: Rekkja konvergerer, og summen er $9$ .

Gjør dette i GeoGebra

Utforsk: Delsummar som nærmar seg summen av rekkja

Punkta viser delsummane

S_n

av den geometriske rekkja med

a_1 = 2

k = 0{,}5

. Delsummane nærmar seg grensa

\displaystyle S = \frac{a_1}{1 - k} = 4

(stipla linje), men når henne aldri.

Skriv inn én linje om gangen i inntastingsfeltet:

l1 = Sequence((n, 4 (1 - 0.5^n)), n, 1, 15)
g: y = 4
SetLineStyle(g, 2)
SetColor(g, "Red")

Med språket satt til norsk forstår GeoGebra kommandonavnene både på norsk og engelsk.

Åpne GeoGebra

Nødvendig vilkår for konvergens

\sum_{n=1}^{\infty} a_n

📜Konvergens og divergens av følgjer

Ei følgje

\{a_n\}

konvergerer mot

L

dersom ledda nærmar seg

L

vilkårleg nært når

n

veks utan grense. Vi skriv:

\lim_{n \to \infty} a_n = L

Ei følgje som ikkje konvergerer, seier vi divergerer.

Aritmetiske følgjer:
- Konvergerer berre dersom $d = 0$ (konstant følgje).
- Divergerer for alle $d \neq 0$ .

Geometriske følgjer:
- Konvergerer mot $0$ dersom $|k| < 1$ :
$\lim_{n \to \infty} a_1 \cdot k^{n-1} = 0 \quad \text{når } |k| < 1$
- Divergerer dersom $|k| > 1$ .
- Er konstant dersom $k = 1$ .
- Alternerer mellom $a_1$ og $-a_1$ utan å konvergere dersom $k = -1$ .

Teknisk resultat for brøkfølgjer: For å finne grenseverdien av eit rasjonalt uttrykk i $n$ , deler vi teljar og nemnar på den høgaste potensen av $n$ som opptrer.

For å finne

\lim_{n \to \infty} a_n

der

a_n

er eit rasjonalt uttrykk i

n

: del teljar og nemnar på den høgaste potensen av

n

som opptrer.

Døme: Finn $\lim_{n \to \infty} \dfrac{4n^2 + 3n}{2n^2 - 7}$ .

Del på $n^2$ :
$\frac{4n^2 + 3n}{2n^2 - 7} = \frac{4 + \frac{3}{n}}{2 - \frac{7}{n^2}} \xrightarrow{n \to \infty} \frac{4 + 0}{2 - 0} = 2$

Tommelfingerregel: Grenseverdien blir avgjord av ledda med høgast grad i teljar og nemnar. Dersom graden til teljaren er høgare enn nemnaren sin, divergerer følgja.

Periodiske desimaltal som rekkjer

Eit spennande bruksområde for uendelege geometriske rekkjer er å vise at periodiske desimaltal er rasjonale tal (brøkar).

Til dømes kan vi skrive $0{,}\overline{3} = 0{,}333\ldots$ som:

$0{,}333\ldots = \frac{3}{10} + \frac{3}{100} + \frac{3}{1000} + \cdots = \frac{\frac{3}{10}}{1 - \frac{1}{10}} = \frac{\frac{3}{10}}{\frac{9}{10}} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$

Dette stadfestar at $\displaystyle 0{,}\overline{3} = \frac{1}{3}$ .

✏️Periodisk desimaltal som brøk

Skriv $0{,}\overline{27} = 0{,}272727\ldots$ som ein brøk.

Vi skriv desimaltalet som ei uendeleg geometrisk rekkje:

$0{,}272727\ldots = \frac{27}{100} + \frac{27}{10\,000} + \frac{27}{1\,000\,000} + \cdots$

Her er $\displaystyle a_1 = \frac{27}{100}$ og $\displaystyle k = \frac{1}{100}$ .

$S = \frac{\frac{27}{100}}{1 - \frac{1}{100}} = \frac{\frac{27}{100}}{\frac{99}{100}} = \frac{27}{99} = \frac{3}{11}$

Svar: $\displaystyle 0{,}\overline{27} = \frac{3}{11}$

Geometrisk rekkje med startindeks 0

n = 0

✏️Praktisk bruk: sprettball

Ein ball blir sleppt frå 10 meters høgd. Kvar gong han treffer bakken, sprett han tilbake til $60\%$ av førre høgd. Finn den totale distansen ballen tilbakelegg.

Nedover: Ballen fell 10 m, deretter

10 \cdot 0{,}6 = 6

m, deretter

6 \cdot 0{,}6 = 3{,}6

m, osv.

Oppover: Ballen sprett opp $6$ m, deretter $3{,}6$ m, osv.

Total distanse nedover: $\displaystyle 10 + 6 + 3{,}6 + \cdots = \frac{10}{1 - 0{,}6} = \frac{10}{0{,}4} = 25$ m

Total distanse oppover: $\displaystyle 6 + 3{,}6 + \cdots = \frac{6}{1 - 0{,}6} = \frac{6}{0{,}4} = 15$ m

Total distanse: $25 + 15 = 40$ m.

Alternativt: Total $= 10 + 2(6 + 3{,}6 + \cdots) = 10 + 2 \cdot 15 = 40$ m.

Svar: Ballen tilbakelegg til saman 40 m.

Konvergensvilkåret i praksis

Vilkåret $|k| < 1$ tyder at kvart ledd er mindre enn det føregåande i absoluttverdi. Ledda blir stadig mindre og bidreg mindre og mindre til summen.

For $|k| \geq 1$ veks ledda (eller held seg like store), og summen veks utan grense:
- $k = 1$ : $a + a + a + \cdots \to \infty$
- $k = -1$ : $a - a + a - a + \cdots$ oscillerer (alternerer utan å nærme seg ein verdi)
- $|k| > 1$ : ledda veks i absoluttverdi, rekkja divergerer

📝Oppgave 1

Løys oppgåvene:

Avgjer om rekkja $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{2}{3}\right)^n$ konvergerer. Finn i så fall summen.

Avgjer om rekkja $\sum_{n=1}^{\infty} 3 \cdot 1{,}5^n$ konvergerer.

Løs oppgaven

📝Oppgave 2

Løys oppgåvene:

Finn summen av $\displaystyle 8 + 4 + 2 + 1 + \frac{1}{2} + \cdots$

Finn summen av $\displaystyle 12 - 4 + \frac{4}{3} - \frac{4}{9} + \cdots$

Løs oppgaven

📝Oppgave 3

Løys oppgåvene:

Skriv $0{,}\overline{5} = 0{,}555\ldots$ som ein brøk.

Skriv $0{,}\overline{12} = 0{,}121212\ldots$ som ein brøk.

Løs oppgaven

📝Oppgave 4

Løys oppgåvene:

Finn summen av $\sum_{n=1}^{\infty} 10 \cdot 0{,}2^n$ .

Finn summen av $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{5}{4^n}$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 5

Løys oppgåvene:

Ei uendeleg geometrisk rekkje har $a_1 = 12$ og sum $S = 18$ . Finn $k$ .

Finn $a_2$ og $a_3$ for rekkja i a).

Løs oppgaven

📝Oppgave 6

Løys oppgåvene:

For kva verdiar av $x$ konvergerer rekkja $\sum_{n=0}^{\infty} x^n$ ?

For kva verdiar av $x$ konvergerer rekkja $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{x-1}{3}\right)^n$ ?

📝Oppgave 7

Løys oppgåvene:

Ein ball blir sleppt frå 5 meters høgd og sprett tilbake til $70\%$ av førre høgd kvar gong. Finn den totale distansen ballen tilbakelegg.

Løs oppgaven

📝Oppgave 8

Løys oppgåvene:

Vis at $0{,}\overline{9} = 0{,}999\ldots = 1$ .

📝Oppgave 9

Løys oppgåvene:

I ei uendeleg geometrisk rekkje er summen dobbelt så stor som det første leddet. Finn $k$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 10

Løys oppgåvene:

Finn $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^n + 3^n}{6^n}$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 11

Løys oppgåvene:

Summen av ei uendeleg geometrisk rekkje er $20$ , og summen av dei tre første ledda er $19$ . Finn $a_1$ og $k$ .

📝Oppgave 12

Løys oppgåvene:

Ein pendel svingar $40$ cm i første sving, og kvar sving er $95\%$ av den førre. Finn den totale distansen pendelen tilbakelegg.

Kor mange heile svingingar gjennomfører pendelen før den totale distansen overstig 700 cm?

Løs oppgaven

📝Oppgave 13

Løys oppgåvene:

Vis at $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} = 1$ . (Hint: skriv $\displaystyle \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$ .)

📝Oppgave 14

Løys oppgåvene:

Eit medisinpreparat har ei halveringstid på 6 timar. Ein pasient tek $200$ mg kvar 6. time. Finn den totale mengda medisin i kroppen rett etter den $n$ -te dosen.

Kva er den stabile mengda medisin i kroppen på lang sikt (rett etter ein dose)?

Løs oppgaven

📝Oppgave 15

Konvergens og grenseverdiar

Avgjer om dei følgjande følgjene konvergerer eller divergerer. Finn eventuell grenseverdi.

(i) $a_n = \dfrac{5n - 3}{2n + 1}$

(ii) $a_n = 4 \cdot (-0{,}8)^n$

(iii) $a_n = \dfrac{3n^2 + n}{n + 1}$

Ei rekursiv følgje er gitt ved $a_1 = 8$ , $\displaystyle a_{n+1} = \frac{a_n + 4}{2}$ . Rekn ut dei seks første ledda og finn grenseverdien analytisk ved å setje $\displaystyle L = \frac{L+4}{2}$ .

Vis at dersom $b_n = a_n - 4$ (der $\{a_n\}$ er følgja frå b), så er $\{b_n\}$ geometrisk med $\displaystyle k = \frac{1}{2}$ . Bruk dette til å bevise at $a_n \to 4$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 16

Anvend problemløysing

Ein bank tilbyr 4 % nominell rente per år. Du set inn 25 000 kr. Set opp ein eksplisitt formel for beløpet $a_n$ etter $n$ år, og finn beløpet etter 15 år.

Eit selskap betaler ut 10 000 kr i dividende kvart år. Du diskonterer framtidige utbetalingar med ei rente på 8 % per år. Kva er nåverdien av alle framtidige utbetalingar? (Hint: uendeleg geometrisk rekkje med $\displaystyle a_1 = \frac{10\,000}{1{,}08}$ og $\displaystyle k = \frac{1}{1{,}08}$ .)

Ein ball blir sleppt frå 5 meters høgd. For kvart hopp returnerer ballen til $\displaystyle \frac{3}{5}$ av førre høgd. Finn den totale distansen ballen legg bak seg (opp og ned) over uendeleg mange hopp.

Løs oppgaven

Oppsummering

Konvergens: Ei uendeleg rekkje konvergerer dersom delsummane nærmar seg ein bestemt verdi.

Sum av uendeleg geometrisk rekkje:
$S = \frac{a_1}{1-k} \quad \text{for } |k| < 1$

Konvergensvilkår: $|k| < 1$ (ledda må avta mot null).

Nyttige resultat:
- Nødvendig vilkår for konvergens: $a_n \to 0$
- Ei følgje konvergerer når ledda nærmar seg ein grenseverdi; for brøkuttrykk i $n$ deler vi teljar og nemnar på høgaste potens av $n$
- Periodiske desimaltal kan skrivast som brøkar ved hjelp av geometriske rekkjer
- Praktiske bruksområde: sprettball, medisin, pendel, økonomi

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 6 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.