7.3 Uendelige rekker og konvergens | Matematikk S2

Konvergens og divergens av uendelige rekker.

55 min

19 oppgaver

Uendelig rekkeKonvergensDivergensKonvergenskriterierGeometrisk sum

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 19 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

7.2Geometriske rekker

Brukes videre i

7.4Potensrekker og Taylor-rekker 7.5Rekker i praksis

Kan ein uendeleg sum bli endeleg?

Eit av dei mest fascinerande resultata i matematikken er at vi kan leggje saman uendeleg mange tal og likevel få eit endeleg svar. Tenk deg at du går halvparten av vegen til ein vegg, deretter halvparten av den gjenståande avstanden, og så vidare. Du legg altså saman $\displaystyle \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots$ Intuitivt nærmar du deg veggen, og summen nærmar seg $1$ .

I dette kapittelet skal vi formalisere denne ideen og finne ut nøyaktig når ei uendeleg geometrisk rekkje har ein endeleg sum.

Konvergens og divergens

\sum_{n=1}^{\infty} a_n = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots

📜Sum av uendeleg geometrisk rekkje

Ei uendeleg geometrisk rekkje med første ledd

a_1

og kvotient

k

konvergerer dersom

|k| < 1

, og summen er:

$S = \frac{a_1}{1 - k} \quad \text{når } |k| < 1$

Dersom $|k| \geq 1$ , divergerer rekkja.

Bevis: Vi startar med $\displaystyle S_n = a_1 \cdot \frac{k^n - 1}{k - 1} = \frac{a_1}{1-k}(1 - k^n)$ .

Når $|k| < 1$ , har vi $k^n \to 0$ når $n \to \infty$ , slik at:
$S = \lim_{n \to \infty} S_n = \frac{a_1}{1-k}(1 - 0) = \frac{a_1}{1-k}$

✏️Sum av uendeleg geometrisk rekkje

Avgjer om rekkja $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} 6 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^n$ konvergerer, og finn i så fall summen.

Vi identifiserer

a_1 = 6

(leddet for

n=0

) og

\displaystyle k = \frac{1}{3}

Sidan $\displaystyle |k| = \frac{1}{3} < 1$ , konvergerer rekkja.

$S = \frac{a_1}{1 - k} = \frac{6}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{6}{\frac{2}{3}} = 6 \cdot \frac{3}{2} = 9$

Kontroll med delsummar:
- $S_1 = 6$
- $S_2 = 6 + 2 = 8$
- $\displaystyle S_3 = 8 + \frac{2}{3} = 8{,}\overline{6}$
- $\displaystyle S_4 = 8{,}\overline{6} + \frac{2}{9} \approx 8{,}89$

Delsummane nærmar seg $9$ . ✓

📊Utforsk: Delsummar som nærmar seg summen av rekkja

Punkta viser delsummane $S_n$ av den geometriske rekkja med $a_1 = 2$ og $k = 0{,}5$ . Delsummane nærmar seg grensa $\displaystyle S = \frac{a_1}{1 - k} = 4$ (stipla linje), men når henne aldri.

Nødvendig vilkår for konvergens

\sum_{n=1}^{\infty} a_n

Periodiske desimaltal som rekkjer

Eit spennande bruksområde for uendelege geometriske rekkjer er å vise at periodiske desimaltal er rasjonale tal (brøkar).

Til dømes kan vi skrive $0{,}\overline{3} = 0{,}333\ldots$ som:

$0{,}333\ldots = \frac{3}{10} + \frac{3}{100} + \frac{3}{1000} + \cdots = \frac{\frac{3}{10}}{1 - \frac{1}{10}} = \frac{\frac{3}{10}}{\frac{9}{10}} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$

Dette stadfestar at $\displaystyle 0{,}\overline{3} = \frac{1}{3}$ .

✏️Periodisk desimaltal som brøk

Skriv $0{,}\overline{27} = 0{,}272727\ldots$ som ein brøk.

Vi skriv desimaltalet som ei uendeleg geometrisk rekkje:

$0{,}272727\ldots = \frac{27}{100} + \frac{27}{10\,000} + \frac{27}{1\,000\,000} + \cdots$

Her er $\displaystyle a_1 = \frac{27}{100}$ og $\displaystyle k = \frac{1}{100}$ .

$S = \frac{\frac{27}{100}}{1 - \frac{1}{100}} = \frac{\frac{27}{100}}{\frac{99}{100}} = \frac{27}{99} = \frac{3}{11}$

Altså er $\displaystyle 0{,}\overline{27} = \frac{3}{11}$ .

Geometrisk rekkje med startindeks 0

n = 0

✏️Praktisk bruk: sprettball

Ein ball blir sleppt frå 10 meters høgd. Kvar gong han treffer bakken, sprett han tilbake til $60\%$ av førre høgd. Finn den totale distansen ballen tilbakelegg.

Nedover: Ballen fell 10 m, deretter

10 \cdot 0{,}6 = 6

m, deretter

6 \cdot 0{,}6 = 3{,}6

m, osv.

Oppover: Ballen sprett opp $6$ m, deretter $3{,}6$ m, osv.

Total distanse nedover: $\displaystyle 10 + 6 + 3{,}6 + \cdots = \frac{10}{1 - 0{,}6} = \frac{10}{0{,}4} = 25$ m

Total distanse oppover: $\displaystyle 6 + 3{,}6 + \cdots = \frac{6}{1 - 0{,}6} = \frac{6}{0{,}4} = 15$ m

Total distanse: $25 + 15 = 40$ m.

Alternativt: Total $= 10 + 2(6 + 3{,}6 + \cdots) = 10 + 2 \cdot 15 = 40$ m.

Konvergensvilkåret i praksis

Vilkåret $|k| < 1$ tyder at kvart ledd er mindre enn det føregåande i absoluttverdi. Ledda blir stadig mindre og bidreg mindre og mindre til summen.

For $|k| \geq 1$ veks ledda (eller held seg like store), og summen veks utan grense:
- $k = 1$ : $a + a + a + \cdots \to \infty$
- $k = -1$ : $a - a + a - a + \cdots$ oscillerer (alternerer utan å nærme seg ein verdi)
- $|k| > 1$ : ledda veks i absoluttverdi, rekkja divergerer

📝Oppgave 1

Løys oppgåvene:

Avgjer om rekkja $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{2}{3}\right)^n$ konvergerer. Finn i så fall summen.

Avgjer om rekkja $\sum_{n=1}^{\infty} 3 \cdot 1{,}5^n$ konvergerer.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 2

Løys oppgåvene:

Finn summen av $\displaystyle 8 + 4 + 2 + 1 + \frac{1}{2} + \cdots$

Finn summen av $\displaystyle 12 - 4 + \frac{4}{3} - \frac{4}{9} + \cdots$

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 3

Løys oppgåvene:

Skriv $0{,}\overline{5} = 0{,}555\ldots$ som ein brøk.

Skriv $0{,}\overline{12} = 0{,}121212\ldots$ som ein brøk.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 4

Løys oppgåvene:

Finn summen av $\sum_{n=1}^{\infty} 10 \cdot 0{,}2^n$ .

Finn summen av $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{5}{4^n}$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 5

Løys oppgåvene:

Ei uendeleg geometrisk rekkje har $a_1 = 12$ og sum $S = 18$ . Finn $k$ .

Finn $a_2$ og $a_3$ for rekkja i a).

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 6

Løys oppgåvene:

For kva verdiar av $x$ konvergerer rekkja $\sum_{n=0}^{\infty} x^n$ ?

For kva verdiar av $x$ konvergerer rekkja $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{x-1}{3}\right)^n$ ?

📝Oppgave 7

Løys oppgåvene:

Ein ball blir sleppt frå 5 meters høgd og sprett tilbake til $70\%$ av førre høgd kvar gong. Finn den totale distansen ballen tilbakelegg.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 8

Løys oppgåvene:

Vis at $0{,}\overline{9} = 0{,}999\ldots = 1$ .

📝Oppgave 9

Løys oppgåvene:

I ei uendeleg geometrisk rekkje er summen dobbelt så stor som det første leddet. Finn $k$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 10

Løys oppgåvene:

Finn $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^n + 3^n}{6^n}$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 11

Løys oppgåvene:

Summen av ei uendeleg geometrisk rekkje er $20$ , og summen av dei tre første ledda er $19$ . Finn $a_1$ og $k$ .

📝Oppgave 12

Løys oppgåvene:

Ein pendel svingar $40$ cm i første sving, og kvar sving er $95\%$ av den førre. Finn den totale distansen pendelen tilbakelegg.

Kor mange heile svingingar gjennomfører pendelen før den totale distansen overstig 700 cm?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 13

Løys oppgåvene:

Vis at $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} = 1$ . (Hint: skriv $\displaystyle \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$ .)

📝Oppgave 14

Løys oppgåvene:

Eit medisinpreparat har ei halveringstid på 6 timar. Ein pasient tek $200$ mg kvar 6. time. Finn den totale mengda medisin i kroppen rett etter den $n$ -te dosen.

Kva er den stabile mengda medisin i kroppen på lang sikt (rett etter ein dose)?

Løs oppgaven Tren

Oppsummering

Konvergens: Ei uendeleg rekkje konvergerer dersom delsummane nærmar seg ein bestemt verdi.

Sum av uendeleg geometrisk rekkje:
$S = \frac{a_1}{1-k} \quad \text{for } |k| < 1$

Konvergensvilkår: $|k| < 1$ (ledda må avta mot null).

Nyttige resultat:
- Nødvendig vilkår for konvergens: $a_n \to 0$
- Periodiske desimaltal kan skrivast som brøkar ved hjelp av geometriske rekkjer
- Praktiske bruksområde: sprettball, medisin, pendel, økonomi

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.