7.2
Geometriske følgjer og rekkjer

7.2 Geometriske følgjer og rekkjer

Alle fag for VG3

Lær om geometriske følgjer, kvotienten mellom ledd, og sum av endeleg geometrisk rekkje.

50 min
17 oppgaver
Geometrisk følgjeEksplisitt formel for geometrisk følgjeSum av endeleg geometrisk rekkjeVekstfaktor og prosentvis endring
Du leser den tradisjonelle versjonen
Din fremgang i kapitlet
0 / 17 oppgaver
Kapitlets plass i kurset

Frå addisjon til multiplikasjon

I førre kapittel såg vi på aritmetiske følgjer der vi la til eit fast tal for å kome til neste ledd. I ei geometrisk følgje multipliserer vi i staden med eit fast tal. Geometriske følgjer modellerer eksponentiell vekst og er heilt sentrale i økonomi (renter, lån, investeringar).

Geometrisk følgje
Ei geometrisk følgje er ei talrekkje der forholdet (kvotienten) mellom kvart ledd og det føregåande er konstant:

an+1an=kfor alle n≥1, an≠0\frac{a_{n+1}}{a_n} = k \quad \text{for alle } n \geq 1, \ a_n \neq 0

Her er kk den faste kvotienten (også kalla fellesforholdet).

Døme:
- 2,6,18,54,…2, 6, 18, 54, \ldots har k=3k = 3
- 100,50,25,12,5,…100, 50, 25, 12{,}5, \ldots har k=12\displaystyle k = \frac{1}{2}
- 1,−2,4,−8,16,…1, -2, 4, -8, 16, \ldots har k=−2k = -2

Eksplisitt formel for geometrisk følgje
Det nn-te leddet i ei geometrisk følgje med første ledd a1a_1 og kvotient kk er:

an=a1⋅kn−1a_n = a_1 \cdot k^{n-1}

Merk likskapen med eksponentiell vekst: f(x)=a⋅bxf(x) = a \cdot b^x.

✏️Finn formel og bestemte ledd

Ei geometrisk følgje har a1=5a_1 = 5 og k=2k = 2. Finn a10a_{10} og ein formel for ana_n.

Det nn-te leddet:
an=5⋅2n−1a_n = 5 \cdot 2^{n-1}

Det 10. leddet:
a10=5⋅29=5⋅512=2560a_{10} = 5 \cdot 2^{9} = 5 \cdot 512 = 2560

Kontroll: Dei første ledda er 5,10,20,40,80,…5, 10, 20, 40, 80, \ldots som stemmer med an=5⋅2n−1a_n = 5 \cdot 2^{n-1}.

Svar: an=5⋅2n−1a_n = 5 \cdot 2^{n-1} og a10=2560a_{10} = 2560

Sum av geometrisk rekkje

For å finne summen av ei geometrisk rekkje bruker vi eit elegant triks. Vi multipliserer summen SnS_n med kvotienten kk og trekkjer frå:

Sn=a1+a1k+a1k2+⋯+a1kn−1S_n = a_1 + a_1 k + a_1 k^2 + \cdots + a_1 k^{n-1}
k⋅Sn=a1k+a1k2+⋯+a1knk \cdot S_n = a_1 k + a_1 k^2 + \cdots + a_1 k^n

Nesten alle ledd kansellerer, og vi står att med ein enkel formel.

📜Sum av endeleg geometrisk rekkje
Summen av dei nn første ledda i ei geometrisk følgje med k≠1k \neq 1 er:

Sn=a1⋅kn−1k−1S_n = a_1 \cdot \frac{k^n - 1}{k - 1}

Bevis: Lat Sn=a1+a1k+a1k2+⋯+a1kn−1S_n = a_1 + a_1k + a_1k^2 + \cdots + a_1k^{n-1}.

Multipliser med kk: kSn=a1k+a1k2+⋯+a1knkS_n = a_1k + a_1k^2 + \cdots + a_1k^n.

Trekk frå: kSn−Sn=a1kn−a1kS_n - S_n = a_1k^n - a_1, altså Sn(k−1)=a1(kn−1)S_n(k-1) = a_1(k^n - 1).

Dermed: Sn=a1⋅kn−1k−1\displaystyle S_n = a_1 \cdot \frac{k^n - 1}{k - 1}.

✏️Rekn ut sum av geometrisk rekkje

Finn summen S8S_8 av dei 8 første ledda i følgja 3,6,12,24,…3, 6, 12, 24, \ldots

Vi identifiserer a1=3a_1 = 3 og k=2k = 2.

S8=3⋅28−12−1=3⋅256−11=3⋅255=765S_8 = 3 \cdot \frac{2^8 - 1}{2 - 1} = 3 \cdot \frac{256 - 1}{1} = 3 \cdot 255 = 765

Kontroll: 3+6+12+24+48+96+192+384=7653 + 6 + 12 + 24 + 48 + 96 + 192 + 384 = 765

Svar: S8=765S_8 = 765

Vekstfaktor og prosentvis endring

I økonomiske samanhengar er kvotienten kk ofte ein vekstfaktor:

- Vekst på p%p\%: k=1+p100\displaystyle k = 1 + \frac{p}{100}
- Reduksjon på p%p\%: k=1−p100\displaystyle k = 1 - \frac{p}{100}

Døme: Ei investering som veks 5%5\% per år har k=1,05k = 1{,}05. Er a1a_1 startverdien, er verdien etter nn år an+1=a1⋅1,05na_{n+1} = a_1 \cdot 1{,}05^{n} (ledd nummer n+1n + 1 i følgja).

Geometriske rekkjer i økonomi

Geometriske rekkjer er heilt sentrale i finansmatematikk:

- Samansett rente: Innskot som veks med fast rentesats
- Regelmessig sparing: Faste innskot med renter gir ei geometrisk rekkje
- Avskriving: Verdien av utstyr som synk med fast prosent

Vi skal utforske desse økonomiske bruksområda grundig i kapittel 7.4.

✏️Praktisk bruk: smittespreiing

I starten av eit sjukdomsutbrot blir talet på nye smittetilfelle dobla kvar dag. Første dag er det 500 nye tilfelle. Finn talet på nye tilfelle dag 10 og det totale talet på smitta dei 10 første dagane.

Talet på nye tilfelle per dag dannar ei geometrisk følgje med a1=500a_1 = 500 og k=2k = 2.

Nye tilfelle dag 10:
a10=500⋅29=500⋅512=256 000a_{10} = 500 \cdot 2^{9} = 500 \cdot 512 = 256\,000

Totalt tal på smitta (sum):
S10=500⋅210−12−1=500⋅(1024−1)=500⋅1023=511 500\begin{aligned} S_{10} &= 500 \cdot \frac{2^{10} - 1}{2 - 1} \\ &= 500 \cdot (1024 - 1) \\ &= 500 \cdot 1023 \\ &= 511\,500 \end{aligned}

Svar: Dag 10 kjem det 256 000256\,000 nye tilfelle, og totalt er 511 500511\,500 smitta dei 10 første dagane.

📝Oppgave 1

Løys oppgåvene:

a

Avgjer om følgja 4,12,36,108,…4, 12, 36, 108, \ldots er geometrisk. Bestem i så fall kk.

b

Finn det 8. leddet i følgja frå oppgåve a).

Løs oppgaven
📝Oppgave 2

Løys oppgåvene:

a

Ei geometrisk følgje har a1=1000a_1 = 1000 og k=0,5k = 0{,}5. Finn a5a_5.

b

Finn S5S_5 for følgja i a).

Løs oppgaven
📝Oppgave 3

Løys oppgåvene:

a

Skriv ut dei fem første ledda i følgja gitt ved an=3⋅2na_n = 3 \cdot 2^n.

b

Vis at følgja i a) er geometrisk og bestem kk.

Løs oppgaven
📝Oppgave 4

Løys oppgåvene:

a

Finn summen 1+3+9+27+⋯+391 + 3 + 9 + 27 + \cdots + 3^9.

Løs oppgaven
📝Oppgave 5

Løys oppgåvene:

a

I ei geometrisk følgje er a2=6a_2 = 6 og a5=162a_5 = 162. Finn a1a_1 og kk.

b

Finn S8S_8 for følgja i a).

Løs oppgaven
📝Oppgave 6

Løys oppgåvene:

a

Ei maskin kostar 200 000 kr og mistar 20%20\% av verdien sin kvart år. Kva er verdien etter 5 år?

b

Etter kor mange heile år er verdien under 50 000 kr?

Løs oppgaven
📝Oppgave 7

Løys oppgåvene:

a

Finn summen ∑k=075⋅2k\sum_{k=0}^{7} 5 \cdot 2^k.

Løs oppgaven
📝Oppgave 8

Løys oppgåvene:

a

Eit smittestoff spreier seg slik at talet på smitta blir tredobla kvar veke. I veke 1 er det 10 smitta. Kor mange er smitta totalt etter 6 veker?

Løs oppgaven
📝Oppgave 9

Løys oppgåvene:

a

Tre tal i ei geometrisk følgje har sum 21 og produkt 216. Finn tala.

📝Oppgave 10

Løys oppgåvene:

a

Vis at dersom aa, bb og cc er tre etterfølgjande ledd i ei geometrisk følgje, så er b2=acb^2 = ac.

📝Oppgave 11

Løys oppgåvene:

a

Ei investering på 50 000 kr veks 8%8\% per år. Etter kor mange år er investeringa verdt meir enn 100 000 kr?

b

Anta i staden at du set inn 50 000 kr ved starten av kvart år i 10 år, med 8 % rente per år. Kor mykje er sparinga verdt ved slutten av år 10?

Løs oppgaven
📝Oppgave 12

Løys oppgåvene:

a

I ei geometrisk rekkje er S3=7S_3 = 7 og S6=63S_6 = 63. Finn kk og a1a_1.

Oppsummering

Geometrisk følgje: Kvotienten k=an+1an\displaystyle k = \frac{a_{n+1}}{a_n} er konstant.

Eksplisitt formel: an=a1⋅kn−1a_n = a_1 \cdot k^{n-1}

Sum av endeleg geometrisk rekkje (k≠1k \neq 1):
Sn=a1⋅kn−1k−1S_n = a_1 \cdot \frac{k^n - 1}{k - 1}

Samanheng med eksponentiell vekst:
- Vekst på p%p\%: k=1+p100\displaystyle k = 1 + \frac{p}{100}
- Geometriske følgjer modellerer multiplikativ (eksponentiell) endring

Skilnad mellom aritmetisk og geometrisk:
- Aritmetisk: vi legg til ein fast verdi dd (lineær vekst)
- Geometrisk: vi multipliserer med ein fast verdi kk (eksponentiell vekst)

Repetisjonsoppgåver
Din fremgang
0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.