7.2 Geometriske rekker | Matematikk S2

Geometriske følger og rekker med kvotient og sumformel.

50 min

17 oppgaver

Geometrisk følgeGeometrisk rekkeKvotientSumformel

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 17 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

7.1Aritmetiske rekker

Brukes videre i

7.3Uendelige rekker og konvergens

Frå addisjon til multiplikasjon

I førre kapittel såg vi på aritmetiske følgjer der vi la til eit fast tal for å kome til neste ledd. I ei geometrisk følgje multipliserer vi i staden med eit fast tal. Geometriske følgjer modellerer eksponentiell vekst og er heilt sentrale i økonomi (renter, lån, investeringar).

Geometrisk følgje

\frac{a_{n+1}}{a_n} = k \quad \text{for alle } n \geq 1, \ a_n \neq 0

Eksplisitt formel for geometrisk følgje

n

✏️Finn formel og bestemte ledd

Ei geometrisk følgje har $a_1 = 5$ og $k = 2$ . Finn $a_{10}$ og ein formel for $a_n$ .

Det $n$ -te leddet:

a_n = 5 \cdot 2^{n-1}

Det 10. leddet:
$a_{10} = 5 \cdot 2^{9} = 5 \cdot 512 = 2560$

Kontroll: Dei første ledda er $5, 10, 20, 40, 80, \ldots$ som stemmer med $a_n = 5 \cdot 2^{n-1}$ .

Sum av geometrisk rekkje

For å finne summen av ei geometrisk rekkje bruker vi eit elegant triks. Vi multipliserer summen $S_n$ med kvotienten $k$ og trekkjer frå:

$S_n = a_1 + a_1 k + a_1 k^2 + \cdots + a_1 k^{n-1}$
$k \cdot S_n = a_1 k + a_1 k^2 + \cdots + a_1 k^n$

Nesten alle ledd kansellerer, og vi står att med ein enkel formel.

📜Sum av endeleg geometrisk rekkje

Summen av dei

n

første ledda i ei geometrisk følgje med

k \neq 1

er:

$S_n = a_1 \cdot \frac{k^n - 1}{k - 1}$

Bevis: Lat $S_n = a_1 + a_1k + a_1k^2 + \cdots + a_1k^{n-1}$ .

Multipliser med $k$ : $kS_n = a_1k + a_1k^2 + \cdots + a_1k^n$ .

Trekk frå: $kS_n - S_n = a_1k^n - a_1$ , altså $S_n(k-1) = a_1(k^n - 1)$ .

Dermed: $\displaystyle S_n = a_1 \cdot \frac{k^n - 1}{k - 1}$ .

✏️Rekn ut sum av geometrisk rekkje

Finn summen $S_8$ av dei 8 første ledda i følgja $3, 6, 12, 24, \ldots$

Vi identifiserer

a_1 = 3

k = 2

$S_8 = 3 \cdot \frac{2^8 - 1}{2 - 1} = 3 \cdot \frac{256 - 1}{1} = 3 \cdot 255 = 765$

Kontroll: $3 + 6 + 12 + 24 + 48 + 96 + 192 + 384 = 765$ ✓

Vekstfaktor og prosentvis endring

k

Geometriske rekkjer i økonomi

Geometriske rekkjer er heilt sentrale i finansmatematikk:

- Samansett rente: Innskot som veks med fast rentesats
- Regelmessig sparing: Faste innskot med renter gir ei geometrisk rekkje
- Avskriving: Verdien av utstyr som synk med fast prosent

Vi skal utforske desse økonomiske bruksområda grundig i kapittel 7.4.

✏️Praktisk bruk: bakterievekst

Ein bakteriekultur doblar seg kvar time. Det er 500 bakteriar ved start. Finn det totale talet på bakteriar som har eksistert i løpet av dei første 10 timane.

Talet på bakteriar per time dannar ei geometrisk følgje med

a_1 = 500

k = 2

Tal etter 10 timar:
$a_{10} = 500 \cdot 2^{9} = 500 \cdot 512 = 256\,000$

Totalt tal som har eksistert (sum):
$S_{10} = 500 \cdot \frac{2^{10} - 1}{2 - 1} = 500 \cdot (1024 - 1) = 500 \cdot 1023 = 511\,500$

Totalt har $511\,500$ bakteriar eksistert i løpet av dei 10 timane.

📝Oppgave 1

Løys oppgåvene:

Avgjer om følgja $4, 12, 36, 108, \ldots$ er geometrisk. Bestem i så fall $k$ .

Finn det 8. leddet i følgja frå oppgåve a).

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 2

Løys oppgåvene:

Ei geometrisk følgje har $a_1 = 1000$ og $k = 0{,}5$ . Finn $a_5$ .

Finn $S_5$ for følgja i a).

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 3

Løys oppgåvene:

Skriv ut dei fem første ledda i følgja gitt ved $a_n = 3 \cdot 2^n$ .

Vis at følgja i a) er geometrisk og bestem $k$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 4

Løys oppgåvene:

Finn summen $1 + 3 + 9 + 27 + \cdots + 3^9$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 5

Løys oppgåvene:

I ei geometrisk følgje er $a_2 = 6$ og $a_5 = 162$ . Finn $a_1$ og $k$ .

Finn $S_8$ for følgja i a).

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 6

Løys oppgåvene:

Ei maskin kostar 200\,000 kr og mistar $20\%$ av verdien sin kvart år. Kva er verdien etter 5 år?

Etter kor mange heile år er verdien under 50\,000 kr?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 7

Løys oppgåvene:

Finn summen $\sum_{k=0}^{7} 5 \cdot 2^k$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 8

Løys oppgåvene:

Eit smittestoff spreier seg slik at talet på smitta blir tredobla kvar veke. I veke 1 er det 10 smitta. Kor mange er smitta totalt etter 6 veker?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 9

Løys oppgåvene:

Tre tal i ei geometrisk følgje har sum 21 og produkt 216. Finn tala.

📝Oppgave 10

Løys oppgåvene:

Vis at dersom $a$ , $b$ og $c$ er tre etterfølgjande ledd i ei geometrisk følgje, så er $b^2 = ac$ .

📝Oppgave 11

Løys oppgåvene:

Ei investering på 50\,000 kr veks $8\%$ per år. Etter kor mange år er investeringa verdt meir enn 100\,000 kr?

Kva er den totale verdiskapinga (sum av verdiar ved slutten av kvart år) dei første 10 åra?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 12

Løys oppgåvene:

I ei geometrisk rekkje er $S_3 = 7$ og $S_6 = 63$ . Finn $k$ og $a_1$ .

Oppsummering

Geometrisk følgje: Kvotienten $\displaystyle k = \frac{a_{n+1}}{a_n}$ er konstant.

Eksplisitt formel: $a_n = a_1 \cdot k^{n-1}$

Sum av endeleg geometrisk rekkje ( $k \neq 1$ ):
$S_n = a_1 \cdot \frac{k^n - 1}{k - 1}$

Samanheng med eksponentiell vekst:
- Vekst på $p\%$ : $\displaystyle k = 1 + \frac{p}{100}$
- Geometriske følgjer modellerer multiplikativ (eksponentiell) endring

Skilnad mellom aritmetisk og geometrisk:
- Aritmetisk: vi legg til ein fast verdi $d$ (lineær vekst)
- Geometrisk: vi multipliserer med ein fast verdi $k$ (eksponentiell vekst)

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.