6.1 Lineær regresjon | Matematikk S2

Minste kvadraters metode og regresjonsanalyse.

55 min

21 oppgaver

Lineær regresjonMinste kvadratRegresjonslinjePrediksjon

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 21 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Brukes videre i

6.2Korrelasjon 6.4Residualanalyse og modellvalidering 6.5Multippel regresjon

Kva er lineær regresjon?

Lineær regresjon er ein statistisk metode for å finne den rette linja som best skildrar samanhengen mellom to variablar.

Forklaringsvariabel $x$ (uavhengig variabel): den vi brukar til å forklare eller predikere.
Responsvariabel $y$ (avhengig variabel): den vi ønskjer å forklare eller predikere.

Når vi har $n$ observasjonspar $(x_1, y_1), (x_2, y_2), \ldots, (x_n, y_n)$ , ønskjer vi å finne den rette linja:
$\hat{y} = ax + b$

som passar best til dataa. Her er $\hat{y}$ den predikerte verdien av $y$ for ein gitt $x$ .

Minste kvadraters metode (MKM)

a

📜Regresjonskoeffisientar

Stigingstalet (helninga) og konstantleddet i regresjonslinja

\hat{y} = ax + b

er:

$a = \frac{n\sum x_i y_i - \sum x_i \sum y_i}{n\sum x_i^2 - (\sum x_i)^2} = \frac{S_{xy}}{S_{xx}}$

$b = \bar{y} - a\bar{x}$

der:
- $S_{xy} = \sum(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})$
- $S_{xx} = \sum(x_i - \bar{x})^2$
- $\bar{x}$ og $\bar{y}$ er gjennomsnitta

Regresjonslinja går alltid gjennom punktet $(\bar{x}, \bar{y})$ .

✏️Rekne ut regresjonslinje

Ei bedrift måler samanhengen mellom annonsering ( $x$ , i tusen kroner) og sal ( $y$ , i tusen einingar):

$x$	1	2	3	4	5
$y$	3	5	6	8	9

Finn regresjonslinja

\hat{y} = ax + b

Rekn ut hjelpestorleikar:

n = 5

\bar{x} = 3

\bar{y} = 6{,}2

$\sum x_i y_i = 1 \cdot 3 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 6 + 4 \cdot 8 + 5 \cdot 9 = 3 + 10 + 18 + 32 + 45 = 108$

$\sum x_i = 15$ , $\sum y_i = 31$ , $\sum x_i^2 = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55$

Stigingstal:
$a = \frac{5 \cdot 108 - 15 \cdot 31}{5 \cdot 55 - 15^2} = \frac{540 - 465}{275 - 225} = \frac{75}{50} = 1{,}5$

Konstantledd:
$b = 6{,}2 - 1{,}5 \cdot 3 = 6{,}2 - 4{,}5 = 1{,}7$

Regresjonslinje: $\hat{y} = 1{,}5x + 1{,}7$

Tolking: For kvar ekstra tusen kroner i annonsering aukar salet med ca. 1500 einingar.

📊Utforsk: Regresjonslinja

Datapunkt med regresjonslinja frå RegLin-kommandoen. Linja minimerer summen av dei kvadrerte residuala. Dra eitt punkt langt vekk frå dei andre og sjå kor mykje eit avvikande punkt påverkar linja.

Residual

Eit residual er forskjellen mellom observert og predikert verdi:
$e_i = y_i - \hat{y}_i$

Residuala fortel oss kor godt modellen passar til kvart datapunkt.

Residualplott er eit diagram der residuala $e_i$ blir plotta mot $x_i$ (eller $\hat{y}_i$ ). Eit godt residualplott viser:
- Ingen systematisk mønster (tilfeldig spreiing rundt null)
- Omtrent lik spreiing over heile $x$ -området

Problematiske mønster:
- Krumming: Lineær modell passar ikkje, prøv ikkje-lineær regresjon
- Vifte: Aukande variasjon, føresetnaden om konstant varians er broten
- Klynger: Mogleg gruppering i dataa

✏️Rekne ut residual

Med regresjonslinja $\hat{y} = 1{,}5x + 1{,}7$ frå førre eksempel, rekn ut residuala for alle datapunkta.

$x_i$	$y_i$	$\hat{y}_i = 1{,}5x_i + 1{,}7$	$e_i = y_i - \hat{y}_i$
1	3	3,2	$-0{,}2$
2	5	4,7	$0{,}3$
3	6	6,2	$-0{,}2$
4	8	7,7	$0{,}3$
5	9	9,2	$-0{,}2$

Kontroll:

\sum e_i = -0{,}2 + 0{,}3 - 0{,}2 + 0{,}3 - 0{,}2 = 0

✓
Residuala er små og vekslar i forteikn, noko som tyder på ei god tilpassing.

Forklaringsgraden

R^2

R^2

✏️Rekne ut $R^2$

Rekn ut $R^2$ for eksempelet med annonsering og sal.

SSE (uforklart variasjon):

\text{SSE} = (-0{,}2)^2 + 0{,}3^2 + (-0{,}2)^2 + 0{,}3^2 + (-0{,}2)^2 = 0{,}04 + 0{,}09 + 0{,}04 + 0{,}09 + 0{,}04 = 0{,}30

SST (total variasjon): $\bar{y} = 6{,}2$
$\text{SST} = (3-6{,}2)^2 + (5-6{,}2)^2 + (6-6{,}2)^2 + (8-6{,}2)^2 + (9-6{,}2)^2$
$= 10{,}24 + 1{,}44 + 0{,}04 + 3{,}24 + 7{,}84 = 22{,}80$

Forklaringsgrad:
$R^2 = 1 - \frac{0{,}30}{22{,}80} = 1 - 0{,}0132 = 0{,}987$

Heile 98,7 % av variasjonen i sal blir forklart av annonsering. Svært god tilpassing!

Prediksjon og ekstrapolering

Prediksjon betyr å bruke regresjonsmodellen til å anslå $y$ for ein gitt $x$ -verdi.

Interpolering: Prediksjon for $x$ -verdiar innanfor området til observerte data. Vanlegvis påliteleg.

Ekstrapolering: Prediksjon for $x$ -verdiar utanfor det observerte området. Kan vere svært upåliteleg fordi vi ikkje veit om det lineære mønsteret held fram.

Eksempel: Viss vi har data for annonsering mellom 1 og 5 tusen kroner, er det rimeleg å predikere sal for $x = 3{,}5$ (interpolering), men risikabelt for $x = 20$ (ekstrapolering). Ved $x = 20$ ville modellen gi $\hat{y} = 1{,}5 \cdot 20 + 1{,}7 = 31{,}7$ , men i røyndommen kan det finnast ein metningseffekt.

📝Oppgave 1

Løys oppgåvene:

Kva betyr $a$ og $b$ i regresjonslinja $\hat{y} = ax + b$ ?

Regresjonslinja er $\hat{y} = 2{,}3x + 5$ . Kva er predikert $y$ for $x = 4$ ?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 2

Løys oppgåvene:

Kva er eit residual, og kva betyr det at residualet er positivt?

Kva er alltid $\sum e_i$ for ei regresjonslinje funne med MKM?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 3

Løys oppgåvene:

Kva fortel $R^2 = 0{,}72$ oss?

Kva er forskjellen mellom interpolering og ekstrapolering?

📝Oppgave 4

Løys oppgåvene:

Gitt $\bar{x} = 5$ , $\bar{y} = 12$ , $a = 1{,}8$ . Finn $b$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 5

Løys oppgåvene:

Data: $(1, 2)$ , $(2, 4)$ , $(3, 5)$ , $(4, 7)$ . Finn regresjonslinja.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 6

Løys oppgåvene:

Bruk regresjonslinja frå oppgåve 5 til å rekne ut residuala for alle fire datapunkta.

📝Oppgave 7

Løys oppgåvene:

Rekn ut $R^2$ for modellen frå oppgåve 5.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 8

Løys oppgåvene:

Studietid ( $x$ , timar) og testresultat ( $y$ , poeng): $(2, 50)$ , $(3, 60)$ , $(5, 75)$ , $(6, 80)$ , $(8, 90)$ . Finn regresjonslinja og tolk stigingstalet.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 9

Løys oppgåvene:

Bruk regresjonsmodellen $\hat{y} = 6{,}62x + 39{,}2$ til å predikere poengsummen for ein elev som studerer 7 timar. Er dette interpolering eller ekstrapolering?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 10

Løys oppgåvene:

Forklar kva det betyr dersom residualplottet viser eit bua mønster.

📝Oppgave 11

Løys oppgåvene:

Vis at regresjonslinja alltid går gjennom punktet $(\bar{x}, \bar{y})$ .

📝Oppgave 12

Løys oppgåvene:

Alder ( $x$ , år) og blodtrykk ( $y$ , mmHg): $(25, 118)$ , $(30, 120)$ , $(40, 128)$ , $(50, 135)$ , $(60, 142)$ , $(65, 148)$ . Finn regresjonslinja, rekn ut $R^2$ , og prediker blodtrykket for ein 45-åring.

📝Oppgave 13

Løys oppgåvene:

I oppgåve 12 fekk vi ein modell for blodtrykk. Ville du brukt modellen til å predikere blodtrykket for ein 5-åring? For ein 90-åring? Grunngi svaret.

📝Oppgave 14

Løys oppgåvene:

Vis at SST = SSR + SSE, der SSR $= \sum(\hat{y}_i - \bar{y})^2$ er variasjonen forklart av modellen. Forklar kva dette betyr.

📝Oppgave 15

Løys oppgåvene:

Temperatur ( $x$ , °C) og iskremsal ( $y$ , einingar): $(15, 200)$ , $(20, 350)$ , $(22, 400)$ , $(25, 500)$ , $(28, 620)$ , $(30, 700)$ . Finn regresjonslinja og gi eit 95 % prediksjonsintervall for sal ved 24°C (du kan anta at $R^2$ er svært høg).

📝Oppgave 16

Løys oppgåvene:

Forklar kvifor $R^2$ åleine ikkje er tilstrekkeleg for å vurdere ein regresjonsmodell. Kva andre verktøy bør brukast?

Oppsummering

Læringspunkt:
- Regresjonslinja $\hat{y} = ax + b$ blir funnen med minste kvadraters metode (MKM): ho minimerer summen av kvadrerte residual.
- Stigingstalet $a$ angir endringa i $\hat{y}$ per eining auke i $x$ ; konstantleddet $b$ er predikert verdi når $x = 0$ .
- Residualet $e_i = y_i - \hat{y}_i$ er avviket mellom observert og predikert verdi; for MKM er $\sum e_i = 0$ .
- Forklaringsgraden $\displaystyle R^2 = 1 - \frac{SS_E}{SS_T}$ angir delen av variasjonen i $y$ som modellen forklarer.
- Linja går alltid gjennom tyngdepunktet $(\bar{x}, \bar{y})$ , og $b = \bar{y} - a\bar{x}$ .
- Ver varsam med ekstrapolering — prediksjonar utanfor dataområdet kan vere misvisande.

Nøkkelomgrep	Forklaring
Regresjonslinje	$\hat{y} = ax + b$ , beste lineære tilpassing
Residual	$e_i = y_i - \hat{y}_i$
MKM	Minimerer $\sum e_i^2$
$R^2$	Del forklart variasjon
Ekstrapolering	Prediksjon utanfor observert $x$ -område

Viktige formlar:

a = \frac{\sum(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum(x_i - \bar{x})^2}, \qquad b = \bar{y} - a\bar{x}, \qquad R^2 = 1 - \frac{SS_E}{SS_T}

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.