6.1 Lineær regresjon | Matematikk S2

Minste kvadrats metode og regresjonsanalyse.

55 min

21 oppgaver

Lineær regresjonMinste kvadratRegresjonslinjePrediksjon

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 21 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Brukes videre i

6.2Korrelasjon 6.5Modellvalidering og residualanalyse

Kva er lineær regresjon?

Lineær regresjon er ein statistisk metode for å finne den rette linja som best skildrar samanhengen mellom to variablar.

Forklaringsvariabel $x$ (uavhengig variabel): den vi brukar til å forklare eller predikere.
Responsvariabel $y$ (avhengig variabel): den vi ønskjer å forklare eller predikere.

Når vi har $n$ observasjonspar $(x_1, y_1), (x_2, y_2), \ldots, (x_n, y_n)$ , ønskjer vi å finne den rette linja:
$\hat{y} = ax + b$

som passar best til dataa. Her er $\hat{y}$ den predikerte verdien av $y$ for ein gitt $x$ .

Minste kvadraters metode (MKM)

a

📜Regresjonskoeffisientar

Stigingstalet (helninga) og konstantleddet i regresjonslinja

\hat{y} = ax + b

er:

$a = \frac{n\sum x_i y_i - \sum x_i \sum y_i}{n\sum x_i^2 - (\sum x_i)^2} = \frac{S_{xy}}{S_{xx}}$

$b = \bar{y} - a\bar{x}$

der:
- $S_{xy} = \sum(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})$
- $S_{xx} = \sum(x_i - \bar{x})^2$
- $\bar{x}$ og $\bar{y}$ er gjennomsnitta

Regresjonslinja går alltid gjennom punktet $(\bar{x}, \bar{y})$ .

✏️Rekne ut regresjonslinje

Ei bedrift måler samanhengen mellom annonsering ( $x$ , i tusen kroner) og sal ( $y$ , i tusen einingar):

$x$	$y$
1	3
2	5
3	6
4	8
5	9

Finn regresjonslinja

\hat{y} = ax + b

Rekn ut hjelpestorleikar:

n = 5

\bar{x} = 3

\bar{y} = 6{,}2

$\sum x_i y_i = 1 \cdot 3 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 6 + 4 \cdot 8 + 5 \cdot 9 = 3 + 10 + 18 + 32 + 45 = 108$

$\sum x_i = 15$ , $\sum y_i = 31$ , $\sum x_i^2 = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55$

Stigingstal:
$a = \frac{5 \cdot 108 - 15 \cdot 31}{5 \cdot 55 - 15^2} = \frac{540 - 465}{275 - 225} = \frac{75}{50} = 1{,}5$

Konstantledd:
$b = 6{,}2 - 1{,}5 \cdot 3 = 6{,}2 - 4{,}5 = 1{,}7$

Regresjonslinje: $\hat{y} = 1{,}5x + 1{,}7$

Tolking: For kvar ekstra tusen kroner i annonsering aukar salet med ca. 1500 einingar.

Svar: $\hat{y} = 1{,}5x + 1{,}7$

Gjør dette i GeoGebra

Utforsk: Regresjonslinja

Datapunkt med regresjonslinja frå RegLin-kommandoen. Linja minimerer summen av dei kvadrerte residuala. Dra eitt punkt langt vekk frå dei andre og sjå kor mykje eit avvikande punkt påverkar linja.

Skriv inn én linje om gangen i inntastingsfeltet:

l1 = {(1, 3.2), (2, 4.1), (3, 5.9), (4, 6.8), (5, 8.2), (6, 9.1)}
f = RegLin(l1)

Med språket satt til norsk forstår GeoGebra kommandonavnene både på norsk og engelsk.

Åpne GeoGebra

Residual

Eit residual er forskjellen mellom observert og predikert verdi:
$e_i = y_i - \hat{y}_i$

Residuala fortel oss kor godt modellen passar til kvart datapunkt.

Residualplott er eit diagram der residuala $e_i$ blir plotta mot $x_i$ (eller $\hat{y}_i$ ). Eit godt residualplott viser:
- Ingen systematisk mønster (tilfeldig spreiing rundt null)
- Omtrent lik spreiing over heile $x$ -området

Problematiske mønster:
- Krumming: Lineær modell passar ikkje, prøv ikkje-lineær regresjon
- Vifte: Aukande variasjon, føresetnaden om konstant varians er broten
- Klynger: Mogleg gruppering i dataa

✏️Rekne ut residual

Med regresjonslinja $\hat{y} = 1{,}5x + 1{,}7$ frå førre eksempel, rekn ut residuala for alle datapunkta.

$x_i$	$y_i$	$\hat{y}_i = 1{,}5x_i + 1{,}7$	$e_i = y_i - \hat{y}_i$
1	3	3,2	$-0{,}2$
2	5	4,7	$0{,}3$
3	6	6,2	$-0{,}2$
4	8	7,7	$0{,}3$
5	9	9,2	$-0{,}2$

Kontroll:

\sum e_i = -0{,}2 + 0{,}3 - 0{,}2 + 0{,}3 - 0{,}2 = 0

Residuala er små og vekslar i forteikn, noko som tyder på ei god tilpassing.
Svar: Residuala er

-0{,}2

0{,}3

-0{,}2

0{,}3

-0{,}2

Forklaringsgraden

R^2

R^2

✏️Rekne ut

R^2

Rekn ut $R^2$ for eksempelet med annonsering og sal.

SSE (uforklart variasjon):

\begin{aligned} \text{SSE} &= (-0{,}2)^2 + 0{,}3^2 + (-0{,}2)^2 + 0{,}3^2 + (-0{,}2)^2 \\ &= 0{,}04 + 0{,}09 + 0{,}04 + 0{,}09 + 0{,}04 \\ &= 0{,}30 \end{aligned}

SST (total variasjon): $\bar{y} = 6{,}2$
$\begin{aligned} &\text{SST} \\ = {}&(3-6{,}2)^2 + (5-6{,}2)^2 + (6-6{,}2)^2 \\ &\quad {} + (8-6{,}2)^2 + (9-6{,}2)^2 \end{aligned}$
$= 10{,}24 + 1{,}44 + 0{,}04 + 3{,}24 + 7{,}84 = 22{,}80$

Forklaringsgrad:
$R^2 = 1 - \frac{0{,}30}{22{,}80} \approx 1 - 0{,}0132 \approx 0{,}987$

Svar: $R^2 \approx 0{,}987$ . Modellen forklarer 98,7 % av variasjonen i salet.

Prediksjon og ekstrapolering

Prediksjon betyr å bruke regresjonsmodellen til å anslå $y$ for ein gitt $x$ -verdi.

Interpolering: Prediksjon for $x$ -verdiar innanfor området til observerte data. Vanlegvis påliteleg.

Ekstrapolering: Prediksjon for $x$ -verdiar utanfor det observerte området. Kan vere svært upåliteleg fordi vi ikkje veit om det lineære mønsteret held fram.

Eksempel: Viss vi har data for annonsering mellom 1 og 5 tusen kroner, er det rimeleg å predikere sal for $x = 3{,}5$ (interpolering), men risikabelt for $x = 20$ (ekstrapolering). Ved $x = 20$ ville modellen gi $\hat{y} = 1{,}5 \cdot 20 + 1{,}7 = 31{,}7$ , men i røyndommen kan det finnast ein metningseffekt.

📝Oppgave 1

Løys oppgåvene:

Kva betyr $a$ og $b$ i regresjonslinja $\hat{y} = ax + b$ ?

Regresjonslinja er $\hat{y} = 2{,}3x + 5$ . Kva er predikert $y$ for $x = 4$ ?

Løs oppgaven

📝Oppgave 2

Løys oppgåvene:

Kva er eit residual, og kva betyr det at residualet er positivt?

Kva er alltid $\sum e_i$ for ei regresjonslinje funne med MKM?

Løs oppgaven

📝Oppgave 3

Løys oppgåvene:

Kva fortel $R^2 = 0{,}72$ oss?

Kva er forskjellen mellom interpolering og ekstrapolering?

📝Oppgave 4

Løys oppgåvene:

Gitt $\bar{x} = 5$ , $\bar{y} = 12$ , $a = 1{,}8$ . Finn $b$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 5

Løys oppgåvene:

Data: $(1, 2)$ , $(2, 4)$ , $(3, 5)$ , $(4, 7)$ . Finn regresjonslinja.

Løs oppgaven

📝Oppgave 6

Løys oppgåvene:

Bruk regresjonslinja frå oppgåve 5 til å rekne ut residuala for alle fire datapunkta.

📝Oppgave 7

Løys oppgåvene:

Rekn ut $R^2$ for modellen frå oppgåve 5.

Løs oppgaven

📝Oppgave 8

Løys oppgåvene:

Studietid ( $x$ , timar) og testresultat ( $y$ , poeng): $(2, 50)$ , $(3, 60)$ , $(5, 75)$ , $(6, 80)$ , $(8, 90)$ . Finn regresjonslinja og tolk stigingstalet.

Løs oppgaven

📝Oppgave 9

Løys oppgåvene:

Bruk regresjonsmodellen $\hat{y} = 6{,}62x + 39{,}2$ til å predikere poengsummen for ein elev som studerer 7 timar. Er dette interpolering eller ekstrapolering?

Løs oppgaven

📝Oppgave 10

Løys oppgåvene:

Forklar kva det betyr dersom residualplottet viser eit bua mønster.

📝Oppgave 11

Løys oppgåvene:

Vis at regresjonslinja alltid går gjennom punktet $(\bar{x}, \bar{y})$ .

📝Oppgave 12

Løys oppgåvene:

Alder ( $x$ , år) og blodtrykk ( $y$ , mmHg): $(25, 118)$ , $(30, 120)$ , $(40, 128)$ , $(50, 135)$ , $(60, 142)$ , $(65, 148)$ . Finn regresjonslinja, rekn ut $R^2$ , og prediker blodtrykket for ein 45-åring.

📝Oppgave 13

Løys oppgåvene:

I oppgåve 12 fekk vi ein modell for blodtrykk. Ville du brukt modellen til å predikere blodtrykket for ein 5-åring? For ein 90-åring? Grunngi svaret.

📝Oppgave 14

Løys oppgåvene:

Vis at SST = SSR + SSE, der SSR $= \sum(\hat{y}_i - \bar{y})^2$ er variasjonen forklart av modellen. Forklar kva dette betyr.

📝Oppgave 15

Løys oppgåvene:

Temperatur ( $x$ , °C) og iskremsal ( $y$ , einingar): $(15, 200)$ , $(20, 350)$ , $(22, 400)$ , $(25, 500)$ , $(28, 620)$ , $(30, 700)$ . Finn regresjonslinja og bruk ho til å anslå salet ved 24 °C.

📝Oppgave 16

Løys oppgåvene:

Forklar kvifor $R^2$ åleine ikkje er tilstrekkeleg for å vurdere ein regresjonsmodell. Kva andre verktøy bør brukast?

Oppsummering

Læringspunkt:
- Regresjonslinja $\hat{y} = ax + b$ blir funnen med minste kvadraters metode (MKM): ho minimerer summen av kvadrerte residual.
- Stigingstalet $a$ angir endringa i $\hat{y}$ per eining auke i $x$ ; konstantleddet $b$ er predikert verdi når $x = 0$ .
- Residualet $e_i = y_i - \hat{y}_i$ er avviket mellom observert og predikert verdi; for MKM er $\sum e_i = 0$ .
- Forklaringsgraden $\displaystyle R^2 = 1 - \frac{SS_E}{SS_T}$ angir delen av variasjonen i $y$ som modellen forklarer.
- Linja går alltid gjennom tyngdepunktet $(\bar{x}, \bar{y})$ , og $b = \bar{y} - a\bar{x}$ .
- Ver varsam med ekstrapolering — prediksjonar utanfor dataområdet kan vere misvisande.

Nøkkelomgrep	Forklaring
Regresjonslinje	$\hat{y} = ax + b$ , beste lineære tilpassing
Residual	$e_i = y_i - \hat{y}_i$
MKM	Minimerer $\sum e_i^2$
$R^2$	Del forklart variasjon
Ekstrapolering	Prediksjon utanfor observert $x$ -område

Viktige formlar:

a = \frac{\sum(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum(x_i - \bar{x})^2}, \qquad b = \bar{y} - a\bar{x}, \qquad R^2 = 1 - \frac{SS_E}{SS_T}

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.