5.5 Bayesiansk statistikk | Matematikk S2

Introduksjon til bayesiansk tankegang og oppdatering av sannsynligheter.

50 min

12 oppgaver

Bayes teoremPriorPosteriorBayesiansk oppdateringBetinget sannsynlighet

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 12 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

5.1Estimering

Når normalfordelingen ikke holder

Z-testen og t-testen forutsetter at dataene er (tilnærmet) normalfordelte. Men hva gjør vi når:
- Dataene er sterkt skjeve?
- Vi har ordinale data (rangordnede kategorier)?
- Vi vil teste om en fordeling passer en bestemt modell?

Ikke-parametriske tester krever ikke spesifikke fordelingsantagelser. De er robuste, men generelt noe svakere enn parametriske tester når normalfordelingen faktisk holder.

Fortegnstesten (tegntest)

m_0

✏️Fortegnstest for median

Produsenten hevder median levetid er 1000 timer. 15 komponenter: 11 over, 4 under. Test med $\alpha = 0{,}05$ (tosidig).

H_0: m = 1000

H_1: m \neq 1000

n_+ = 11

n = 15

n_+ \sim \text{Bin}(15, 0{,}5)

$P = 2 \cdot P(X \geq 11) = 2 \cdot \frac{1941}{32768} \approx 0{,}118 > 0{,}05$

Forkaster ikke $H_0$ .

Wilcoxons rangtest

|d_i|

Kjikvadrattest som ikke-parametrisk test

Tilpasningstest: Tester om observerte frekvenser passer en forventet fordeling.
$\chi^2 = \sum_{i=1}^{k} \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}, \quad df = k - 1$

Uavhengighetstest: Tester om to kategoriske variabler er uavhengige.
$E_{ij} = \frac{R_i \cdot C_j}{N}, \quad df = (r-1)(c-1)$

Krav: Alle $E_i \geq 5$ .

✏️Kjikvadrattest for uavhengighet

God søvn	Dårlig søvn	Sum
Trener	45	15	60
Trener ikke	30	30	60
Sum	75	45	120

Test uavhengighet med

\alpha = 0{,}05

E_{11} = 37{,}5

E_{12} = 22{,}5

E_{21} = 37{,}5

E_{22} = 22{,}5

$\chi^2 = 1{,}5 + 2{,}5 + 1{,}5 + 2{,}5 = 8{,}0$

$df = 1$ , $\chi^2_{krit} = 3{,}841$ . $8{,}0 > 3{,}841$ — forkaster $H_0$ . Signifikant sammenheng.

📝Oppgave 1

Løs oppgavene:

I et utvalg på 20 er 14 over $m_0$ og 6 under. Hva er testobservatoren?

Nevn to situasjoner der ikke-parametriske tester passer bedre.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 2

Løs oppgavene:

Mynt kastes 80 ganger: 50 krone, 30 mynt. Beregn $\chi^2$ .

Signifikant ved $\alpha = 0{,}05$ ? ( $\chi^2_{0{,}05;1} = 3{,}841$ )

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 3

Løs oppgavene:

200 fødselsdager over 4 kvartal: 58, 45, 52, 45. Test lik fordeling, $\alpha = 0{,}05$ . ( $\chi^2_{0{,}05;3} = 7{,}815$ )

📝Oppgave 4

Løs oppgavene:

Krysstabell $r = 2$ , $c = 4$ . Frihetsgrader?

R_i = 80

C_j = 50

N = 200

. Finn

E_{ij}

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 5

Løs oppgavene:

12 pasienter: 9 bedring, 2 forverring, 1 uendret. Fortegnstest, $\alpha = 0{,}05$ , ensidig.

📝Oppgave 6

Løs oppgavene:

Røyking vs. lungesykdom: Røyker+syk 40, Røyker+frisk 60, Ikke-røyker+syk 20, Ikke-røyker+frisk 80. Test med $\alpha = 0{,}05$ .

📝Oppgave 7

Løs oppgavene:

Forskjell mellom fortegnstesten og Wilcoxon? Når velge Wilcoxon?

Fordel og ulempe med ikke-parametriske tester?

Oppsummering

- Fortegnstesten: Tester medianen, $n_+ \sim \text{Bin}(n, 0{,}5)$ under $H_0$
- Wilcoxons rangtest: Sterkere, bruker rangert informasjon
- Kjikvadrattest: $\chi^2 = \sum (O_i - E_i)^2/E_i$ , krav $E_i \geq 5$
- Ikke-parametriske tester er robuste men har lavere styrke

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.