5.4 Estimering og konfidensintervall | Matematikk S2

Avanserte metoder for estimering og konstruksjon av konfidensintervall.

55 min

13 oppgaver

KonfidensintervallT-fordelingUtvalgsstørrelseFeilmarginKonfidensgrad

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 13 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

5.3Feiltyper og teststyrke

Presisjon i statistiske undersøkelser

Når vi planlegger en undersøkelse, er et av de viktigste spørsmålene: Hvor mange observasjoner trenger vi? Et for lite utvalg gir upresise resultater, mens et for stort utvalg koster unødvendig mye tid og penger.

Feilmarginen $E$ forteller oss hvor langt konfidensintervallet strekker seg fra punktestimatet. Jo smalere intervallet er, desto mer presist er estimatet.

Feilmargin

E

✏️Effekten av utvalgsstørrelse på feilmargin

En produsent av lyspærer har $\sigma = 60$ timer. Sammenlign feilmarginen ved 95 % konfidens for $n = 25$ , $n = 100$ og $n = 400$ .

Vi bruker $\displaystyle E = 1{,}960 \cdot \frac{60}{\sqrt{n}}$ :

$n$	$\sqrt{n}$	$E$
25	5	$1{,}960 \cdot 12 = 23{,}52$
100	10	$1{,}960 \cdot 6 = 11{,}76$
400	20	$1{,}960 \cdot 3 = 5{,}88$

Firedobling av

n

halverer feilmarginen.

📜Nødvendig utvalgsstørrelse for

\mu

For å oppnå feilmargin

E

ved konfidensnivå

(1-\alpha)

$n \geq \left(\frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E}\right)^2$

- Bruk et estimat for $\sigma$ fra tidligere studier eller pilotstudie
- Rund alltid opp til nærmeste heltall

✏️Planlegging av undersøkelse

En bedrift vil estimere gjennomsnittlig kundetilfredshet (skala 1-10) med feilmargin $E = 0{,}3$ og 95 % konfidens. Et pilotstudie ga $s = 1{,}8$ . Hvor mange kunder trengs?

Gitt:

E = 0{,}3

\sigma \approx 1{,}8

z_{0{,}025} = 1{,}960

$n \geq \left(\frac{1{,}960 \cdot 1{,}8}{0{,}3}\right)^2 = 11{,}76^2 = 138{,}3$

Rund opp: $n \geq 139$ . Bedriften trenger minst 139 kunder.

📜Nødvendig utvalgsstørrelse for andel

p

For å estimere en andel

p

med feilmargin

E

$n \geq \frac{z_{\alpha/2}^2 \cdot p(1-p)}{E^2}$

- Dersom $p$ er ukjent, bruk $p = 0{,}5$ (konservativt, gir størst $n$ )
- Produktet $p(1-p)$ er størst når $p = 0{,}5$

✏️Utvalgsstørrelse for valgundersøkelse

En avis vil estimere et partis oppslutning med feilmargin 2 prosentpoeng og 95 % konfidens. Partiet ligger trolig rundt 15 %. Finn nødvendig $n$ .

Gitt:

E = 0{,}02

p \approx 0{,}15

z_{0{,}025} = 1{,}960

$n \geq \frac{1{,}960^2 \cdot 0{,}15 \cdot 0{,}85}{0{,}02^2} = \frac{0{,}4898}{0{,}0004} \approx 1224{,}5$

Rund opp: $n \geq 1225$ . Med $p = 0{,}5$ ville vi fått $n \geq 2401$ .

Avveining mellom presisjon og kostnad

Å halvere feilmarginen krever firedobling av utvalget ( $E \propto 1/\sqrt{n}$ ):

Ønsket reduksjon i $E$	Nødvendig økning i $n$
Halvere $E$	$4 \times n$
Tredele $E$	$9 \times n$
Tidele $E$	$100 \times n$

📝Oppgave 1

Løs oppgavene:

Beregn feilmarginen for $\bar{x}$ med $s = 12$ , $n = 144$ og 95 % konfidens.

Hva blir feilmarginen dersom $n$ økes til 576?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 2

Løs oppgavene:

Finn $n$ for $E = 5$ , $\sigma = 20$ , 95 % konfidens.

Hva blir $n$ ved 99 % konfidens?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 3

Løs oppgavene:

Finn $n$ for andel med $E = 0{,}04$ , 95 % konfidens, ukjent $p$ .

Dersom $p \approx 0{,}3$ , hva blir $n$ ?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 4

Løs oppgavene:

KI for $\mu$ er $[82{,}4 \,,\, 89{,}6]$ med $n = 64$ . Finn $\bar{x}$ , $E$ og estimat for $\sigma$ .

📝Oppgave 5

Løs oppgavene:

Med $n = 200$ , $\sigma = 10$ , 95 % konfidens: hva er $E$ ?

For $E \leq 1{,}0$ : minste $n$ ?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 6

Løs oppgavene:

Vis algebraisk at halvering av $E$ firedobler $n$ .

📝Oppgave 7

Løs oppgavene:

Returandel med $E = 0{,}015$ , 99 % konfidens, $p \approx 0{,}08$ . Finn $n$ .

Hva med $p = 0{,}5$ ?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 8

Løs oppgavene:

Forklar hvorfor det koster mer å gå fra $E = 2$ til $E = 1$ enn fra $E = 4$ til $E = 2$ .

Oppsummering

- Feilmarginen $E$ er halvparten av konfidensintervallets bredde
- For $\mu$ : $n \geq (z_{\alpha/2} \cdot \sigma / E)^2$
- For $p$ : $n \geq z_{\alpha/2}^2 \cdot p(1-p) / E^2$ , bruk $p = 0{,}5$ hvis ukjent
- Halvering av $E$ krever firedobling av $n$

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.