5.1 Estimering

Punktestimater og konfidensintervaller.

55 min

21 oppgaver

PunktestimatKonfidensintervallFeilmarginUtvalgsstørrelse

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 21 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Brukes videre i

5.2Hypotesetesting 5.5Bayesiansk statistikk 5.6Statistisk prosjektarbeid

Frå utval til populasjon

I statistikk ønskjer vi ofte å seie noko om ein heil populasjon ut frå eit utval. Til dømes kan vi måle høgda til 200 tilfeldig valde nordmenn for å seie noko om gjennomsnittshøgda i heile befolkninga.

Estimering handlar om å bruke utvalsobservasjonar til å anslå ukjende populasjonsparametrar. Vi skil mellom:
- Punktestimat: Eitt enkelt tal som anslår parameteren
- Intervallestimering: Eit intervall som med stor sannsynlegheit inneheld den sanne parameteren

Punktestimat

\bar{x}

✏️Punktestimat for gjennomsnitt

I ei undersøking målte ein talet på timar søvn per natt for 50 elevar. Utvalet gav $\bar{x} = 7{,}2$ timar og $s = 1{,}1$ timar. Kva er punktestimatet for den gjennomsnittlege søvnlengda i populasjonen?

Punktestimatet for populasjonsgjennomsnittet

\mu

er utvalsgjennomsnittet:

$\hat{\mu} = \bar{x} = 7{,}2 \text{ timar}$

Vår beste gjetting er at elevar i gjennomsnitt søv 7,2 timar per natt. Men dette eine talet gir ingen informasjon om kor usikkert estimatet er.

Konfidensintervall for forventningsverdi $\mu$

Eit punktestimat åleine fortel ikkje kor nøyaktig det er. Eit konfidensintervall gir oss eit intervall som med ein oppgitt sannsynlegheit inneheld den sanne parameteren.

Frå sentralgrenseteoremet veit vi at for store utval ( $n \geq 30$ ) er fordelinga til $\bar{X}$ tilnærma normalfordelt:
$\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$

Standardfeilen til gjennomsnittet er $\displaystyle \text{SE} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ . Når $\sigma$ er ukjend, bruker vi $s$ som estimat.

📜Konfidensintervall for

\mu

(stor

n

)

Eit

(1-\alpha) \cdot 100\%

konfidensintervall for

\mu

er:

\bar{x} \pm z_{\alpha/2} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}

der:
- $\bar{x}$ er utvalsgjennomsnittet
- $s$ er utvalsstandardavviket
- $n$ er utvalsstorleiken
- $z_{\alpha/2}$ er den kritiske verdien frå standardnormalfordelinga

Vanlege verdiar:

Konfidensnivå	$\alpha$	$z_{\alpha/2}$
90 %	0,10	1,645
95 %	0,05	1,960
99 %	0,01	2,576

✏️95 % konfidensintervall for gjennomsnitt

Eit tilfeldig utval på $n = 64$ batteri blir testa. Gjennomsnittleg levetid er $\bar{x} = 48{,}5$ timar med standardavvik $s = 4{,}2$ timar. Finn eit 95 % konfidensintervall for den sanne gjennomsnittlege levetida $\mu$ .

Gitt:

n = 64

\bar{x} = 48{,}5

s = 4{,}2

, konfidensnivå 95 % gir

z_{0{,}025} = 1{,}960

Utrekning av feilmargin:
$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}} = 1{,}960 \cdot \frac{4{,}2}{\sqrt{64}} = 1{,}960 \cdot 0{,}525 = 1{,}03$

Konfidensintervall:
$48{,}5 \pm 1{,}03 = [47{,}47 \,,\, 49{,}53]$

Vi er 95 % sikre på at den sanne gjennomsnittlege levetida ligg mellom 47,47 og 49,53 timar.

Konfidensintervall for andel $p$

Når vi estimerer ein populasjonsandel $p$ frå ein utvalsandel $\displaystyle \hat{p} = \frac{x}{n}$ (der $x$ er talet på «suksessar» i utvalet), kan vi konstruere eit konfidensintervall.

For store utval er $\hat{p}$ tilnærma normalfordelt med forventning $p$ og standardfeil $\displaystyle \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$ . Sidan $p$ er ukjend, bruker vi $\hat{p}$ i staden.

📜Konfidensintervall for andel

p

Eit

(1-\alpha) \cdot 100\%

konfidensintervall for

p

er:

\hat{p} \pm z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}

Føresetnad: $n\hat{p} \geq 5$ og $n(1-\hat{p}) \geq 5$ (normalapproksimasjon gyldig).

✏️Konfidensintervall for andel

I ei spørjeundersøking svarte 240 av 800 spurde at dei er einige i ein påstand. Finn eit 95 % konfidensintervall for den sanne andelen $p$ som er einig.

Gitt:

x = 240

n = 800

Utvalsandel: $\displaystyle \hat{p} = \frac{240}{800} = 0{,}30$

Sjekk føresetnad: $n\hat{p} = 240 \geq 5$ og $n(1-\hat{p}) = 560 \geq 5$ ✓

Standardfeil:
$\text{SE} = \sqrt{\frac{0{,}30 \cdot 0{,}70}{800}} = \sqrt{\frac{0{,}21}{800}} = \sqrt{0{,}0002625} \approx 0{,}0162$

Feilmargin: $E = 1{,}960 \cdot 0{,}0162 \approx 0{,}032$

Konfidensintervall:
$0{,}30 \pm 0{,}032 = [0{,}268 \,,\, 0{,}332]$

Vi er 95 % sikre på at den sanne andelen ligg mellom 26,8 % og 33,2 %.

Tolking av konfidensintervall

Eit 95 % konfidensintervall betyr ikkje at det er 95 % sannsynlegheit for at $\mu$ ligg i dette bestemte intervallet. Den sanne $\mu$ er ein fast (ukjend) verdi, ikkje ein stokastisk variabel.

Korrekt tolking: Dersom vi gjentek forsøket mange gonger og reknar ut eit 95 % konfidensintervall kvar gong, vil omtrent 95 % av alle intervalla innehalde den sanne verdien $\mu$ .

Enklare formulering: Vi er 95 % sikre på at metoden gir eit intervall som fangar den sanne parameterverdien. Med andre ord: i det lange løp tek vi feil i omtrent 5 % av tilfella.

Feilmargin og utvalsstorleik

Feilmarginen er halvparten av breidda til konfidensintervallet:
$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \quad \text{(for } \mu \text{)}$

Feilmarginen minkar når:
- Utvalsstorleiken $n$ aukar (kvadratrotssamanhengen)
- Konfidensnivået blir redusert (lågare $z_{\alpha/2}$ )
- Standardavviket $\sigma$ er lite

Nødvendig utvalsstorleik for å oppnå ein ønskt feilmargin $E$ ved estimering av $\mu$ :
$n \geq \left(\frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E}\right)^2$

For estimering av andel $p$ med ønskt feilmargin $E$ :
$n \geq \frac{z_{\alpha/2}^2 \cdot p(1-p)}{E^2}$

Dersom $p$ er heilt ukjend, bruker vi $p = 0{,}5$ (gir størst mogleg $n$ , konservativt estimat).

✏️Nødvendig utvalsstorleik

Ein forskar ønskjer å estimere gjennomsnittsscoren på ein test med feilmargin $E = 2$ poeng og 95 % konfidens. Tidlegare studiar tyder på at $\sigma \approx 12$ . Kor stort utval trengst?

Gitt:

E = 2

\sigma = 12

z_{0{,}025} = 1{,}960

$n \geq \left(\frac{1{,}960 \cdot 12}{2}\right)^2 = \left(\frac{23{,}52}{2}\right)^2 = 11{,}76^2 = 138{,}3$

Vi rundar opp: $n \geq 139$ .

Forskaren treng minst 139 deltakarar i utvalet.

✏️Utvalsstorleik for andel

Eit politisk parti ønskjer å estimere oppslutninga si med feilmargin $E = 0{,}03$ (3 prosentpoeng) og 95 % konfidens. Ingen førehandsinformasjon om andelen. Kor mange må spørjast?

Gitt:

E = 0{,}03

p = 0{,}5

(verst tenkjeleg),

z_{0{,}025} = 1{,}960

$n \geq \frac{1{,}960^2 \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}5}{0{,}03^2} = \frac{3{,}8416 \cdot 0{,}25}{0{,}0009} = \frac{0{,}9604}{0{,}0009} \approx 1067{,}1$

Vi rundar opp: $n \geq 1068$ .

Partiet treng minst 1068 respondentar.

📝Oppgave 1

Løys oppgåvene:

Eit utval på $n = 100$ gir $\bar{x} = 52$ og $s = 8$ . Finn punktestimatet for $\mu$ .

I eit utval på 200 personar svarar 70 ja. Kva er punktestimatet for andelen?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 2

Løys oppgåvene:

Finn standardfeilen til gjennomsnittet dersom $s = 10$ og $n = 25$ .

Kva blir standardfeilen dersom $n$ firedoblast til 100?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 3

Løys oppgåvene:

Finn $z_{\alpha/2}$ for eit 90 % konfidensintervall.

Finn $z_{\alpha/2}$ for eit 99 % konfidensintervall.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 4

Løys oppgåvene:

Eit utval på $n = 36$ gir $\bar{x} = 120$ og $s = 18$ . Finn eit 95 % konfidensintervall for $\mu$ .

📝Oppgave 5

Løys oppgåvene:

I ei undersøking svarte 180 av 600 at dei bruker kollektivtransport dagleg. Finn eit 95 % konfidensintervall for den sanne andelen.

📝Oppgave 6

Løys oppgåvene:

Gjennomsnittleg ventetid ved ei legevakt vart målt for 49 pasientar. $\bar{x} = 42$ minutt og $s = 14$ minutt. Finn eit 99 % konfidensintervall for gjennomsnittleg ventetid.

📝Oppgave 7

Løys oppgåvene:

Eit 95 % konfidensintervall er $[34{,}2 \,,\, 37{,}8]$ . Kva er punktestimatet og feilmarginen?

📝Oppgave 8

Løys oppgåvene:

Samanlikn breidda på eit 90 %, 95 % og 99 % konfidensintervall for $\mu$ med $\bar{x} = 50$ , $s = 10$ og $n = 100$ .

📝Oppgave 9

Løys oppgåvene:

Forklar skilnaden mellom eit punktestimat og eit konfidensintervall. Kvifor føretrekkjer vi ofte konfidensintervall?

📝Oppgave 10

Løys oppgåvene:

Kva er den korrekte tolkinga av eit 95 % konfidensintervall?

📝Oppgave 11

Løys oppgåvene:

Kor stort utval treng vi for å estimere eit gjennomsnitt med feilmargin $E = 3$ og 95 % konfidens dersom $\sigma \approx 15$ ?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 12

Løys oppgåvene:

Eit politisk parti ønskjer å estimere oppslutninga si med feilmargin $E = 0{,}02$ og 95 % konfidens. Dei antek $p \approx 0{,}25$ . Finn nødvendig utvalsstorleik.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 13

Løys oppgåvene:

Vekta av pakkar frå ein fabrikk vart målt: $n = 80$ , $\bar{x} = 502{,}3$ g, $s = 6{,}4$ g. Finn 90 %, 95 % og 99 % konfidensintervall for gjennomsnittsvekta.

📝Oppgave 14

Løys oppgåvene:

Dersom vi doblar utvalsstorleiken, kva skjer med feilmarginen? Forklar algebraisk.

📝Oppgave 15

Løys oppgåvene:

Eit firma hevdar at produktet veg 500 g i gjennomsnitt. Du testar $n = 50$ og finn $\bar{x} = 497{,}2$ g, $s = 8{,}5$ g. Finn eit 95 % konfidensintervall. Støttar resultatet påstanden til firmaet?

📝Oppgave 16

Løys oppgåvene:

I ei valundersøking svarar 320 av 1200 at dei stemmer parti A. Finn eit 99 % konfidensintervall for oppslutninga til partiet. Kan partiet ha over 30 % oppslutning?

Oppsummering

Læringspunkt:
- Eit punktestimat er éin talverdi for ein ukjend parameter: $\bar{x}$ estimerer $\mu$ , og $\displaystyle \hat{p} = \frac{x}{n}$ estimerer $p$ .
- Standardfeilen $\displaystyle \text{SE} = \frac{s}{\sqrt{n}}$ måler usikkerheita i gjennomsnittet — den blir halvert når $n$ firedoblast.
- Eit konfidensintervall angir eit intervall som med gitt konfidensnivå fangar den sanne parameteren: $\displaystyle \bar{x} \pm z_{\alpha/2} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}$ .
- Vanlege kritiske verdiar: $z = 1{,}645$ (90 %), $z = 1{,}96$ (95 %), $z = 2{,}576$ (99 %).
- Rett tolking: ved mange gjentekne utval vil ca. 95 % av 95 %-intervalla innehalde den sanne verdien.

Nøkkelomgrep	Forklaring
Punktestimat	Beste enkeltverdi for parameteren ( $\bar{x}$ , $\hat{p}$ )
Standardfeil	$\displaystyle \frac{s}{\sqrt{n}}$ — spreiinga til estimatoren
Konfidensintervall	Intervall med gitt dekningsgrad for parameteren
Feilmargin	Halve breidda av intervallet: $E = z_{\alpha/2}\cdot\text{SE}$
Konfidensnivå	Andelen intervall som treffer ved gjentekne utval

Viktige formlar:

\text{KI for } \mu: \ \bar{x} \pm z_{\alpha/2}\frac{s}{\sqrt{n}}, \qquad \text{KI for } p: \ \hat{p} \pm z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}

n = \left(\frac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}\right)^2 \ (\text{rund opp})

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Frå utval til populasjon

Konfidensintervall for forventningsverdi μ\muμ

Konfidensintervall for andel ppp

Tolking av konfidensintervall

Feilmargin og utvalsstorleik

Oppsummering

Konfidensintervall for forventningsverdi $\mu$

Konfidensintervall for andel $p$