5.1 Estimering

Å si noe om alle ved å spørre noen

Før hvert valg fyller meningsmålingene nyhetsbildet: «Partiet får 30 prosent oppslutning.» Men ingen har spurt alle velgerne — bare kanskje 800 av flere millioner. Hvordan kan man si noe om en hel populasjon ut fra et lite utvalg? Og hvor sikre kan man være?

Dette er estimering: å bruke utvalgsobservasjoner til å anslå ukjente populasjonsparametre. Vi skiller mellom to nivåer av svar. Et punktestimat er ett enkelt tall som beste gjetning: utvalgsgjennomsnittet $\bar{x}$ estimerer populasjonsgjennomsnittet $\mu$, utvalgsandelen $\hat{p}$ estimerer populasjonsandelen $p$, og utvalgsstandardavviket $s$ estimerer $\sigma$. (Formelt kalles $\bar{X}$ en estimator, mens den konkrete tallverdien er estimatet.) En intervallestimering gir i tillegg et intervall som med stor sannsynlighet inneholder den sanne parameteren — og dermed et ærlig mål på usikkerheten.

Forskjellen er viktig. Måler vi søvnen til 50 elever og finner $\bar{x} = 7{,}2$ timer med $s = 1{,}1$, er punktestimatet for gjennomsnittssøvnen 7,2 timer. Men det ene tallet røper ingenting om hvor usikkert det er — kunne sannheten like gjerne vært 6,8 eller 7,6?

Nøkkelen til usikkerheten er sentralgrensesetningen: for store utvalg ($n \geq 30$) er $\bar{X}$ tilnærmet normalfordelt rundt $\mu$ med standardfeil $\displaystyle \text{SE} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ (vi bruker $s$ når $\sigma$ er ukjent). Standardfeilen er estimatorens eget standardavvik — og legg merke til kvadratroten: den halveres først når utvalget firedobles.

Batteritesten: konfidensintervall for gjennomsnitt

En produsent tester $n = 64$ batterier og finner gjennomsnittlig levetid $\bar{x} = 48{,}5$ timer med standardavvik $s = 4{,}2$. Hva kan de si om den sanne gjennomsnittslevetiden $\mu$?

Et $(1-\alpha) \cdot 100\%$ konfidensintervall for $\mu$ ved stor $n$ er $$\bar{x} \pm z_{\alpha/2} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}$$ der $z_{\alpha/2}$ er den kritiske verdien fra standardnormalfordelingen. De tre verdiene du møter igjen og igjen: $z = 1{,}645$ for 90 %, $z = 1{,}960$ for 95 % og $z = 2{,}576$ for 99 %.

For batteriene, med 95 % konfidens: feilmarginen er $\displaystyle E = 1{,}960 \cdot \frac{4{,}2}{\sqrt{64}} = 1{,}960 \cdot 0{,}525 \approx 1{,}03$, så intervallet blir $48{,}5 \pm 1{,}03 = [47{,}47,\ 49{,}53]$. Produsenten er «95 % sikker» på at den sanne levetiden ligger mellom 47,5 og 49,5 timer.

Men hva betyr egentlig «95 % sikker»? Her snubler selv forskere. Det betyr ikke at det er 95 % sannsynlighet for at $\mu$ ligger i akkurat dette intervallet — $\mu$ er en fast, ukjent verdi, ikke en stokastisk variabel; enten ligger den der, eller så gjør den det ikke. Den korrekte tolkningen handler om metoden: hvis vi gjentar forsøket mange ganger og beregner et 95 %-intervall hver gang, vil omtrent 95 % av intervallene fange den sanne verdien. Vi er altså 95 % sikre på at metoden har truffet denne gangen — i det lange løp bommer vi i 5 % av tilfellene.

Legg også merke til hva som gjør intervallet smalere: større utvalg (men bare med $\sqrt{n}$-effekt), lavere konfidensnivå (mindre $z$) og mindre spredning i dataene.

Meningsmålingen: konfidensintervall for andel

Tilbake til valgkampen. I en undersøkelse svarer 240 av 800 spurte at de er enige i en påstand. Utvalgsandelen er $\displaystyle \hat{p} = \frac{240}{800} = 0{,}30$ — men hva er den sanne andelen $p$ i befolkningen?

For store utvalg er $\hat{p}$ tilnærmet normalfordelt rundt $p$ med standardfeil $\displaystyle \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$, og siden $p$ er ukjent, setter vi inn $\hat{p}$. Konfidensintervallet blir $$\hat{p} \pm z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$$ med forutsetningen $n\hat{p} \geq 5$ og $n(1-\hat{p}) \geq 5$ for at normalapproksimasjonen skal være gyldig.

For undersøkelsen: forutsetningene er trygt oppfylt ($240$ og $560$). Standardfeilen er $\displaystyle \sqrt{\frac{0{,}30 \cdot 0{,}70}{800}} = \sqrt{0{,}0002625} \approx 0{,}0162$, feilmarginen $E = 1{,}960 \cdot 0{,}0162 \approx 0{,}032$, og 95 %-intervallet blir $0{,}30 \pm 0{,}032 = [0{,}268,\ 0{,}332]$. Den sanne andelen ligger altså (med 95 % konfidens) mellom 26,8 % og 33,2 % — det er disse $\pm 3$ prosentpoengene mediene omtaler som målingens «feilmargin».

Feilmarginen $E$ er nettopp halvparten av intervallbredden, og den styres av tre faktorer: utvalgsstørrelsen $n$ (større utvalg gir mindre $E$, men bare via $\sqrt{n}$), konfidensnivået (høyere konfidens krever bredere intervall) og spredningen ($\sigma$, eller $p(1-p)$ for andeler — størst når $p = 0{,}5$).

Dette kan snus til planlegging: hvor stort utvalg trengs for en ønsket feilmargin? For gjennomsnitt: $\displaystyle n \geq \left(\frac{z_{\alpha/2}\sigma}{E}\right)^2$. For andeler: $\displaystyle n \geq \frac{z_{\alpha/2}^2\, p(1-p)}{E^2}$ — og er $p$ helt ukjent, bruker vi det konservative $p = 0{,}5$, som gir størst mulig $n$.

Å planlegge undersøkelsen

Estimering brukes ikke bare til å analysere data som alt er samlet inn — formlene forteller også hvor mye data du må samle inn. To planleggingsoppgaver viser hvordan.

Først en forsker som vil estimere gjennomsnittsscoren på en test med feilmargin $E = 2$ poeng og 95 % konfidens. Tidligere studier antyder $\sigma \approx 12$. Formelen gir $$n \geq \left(\frac{1{,}960 \cdot 12}{2}\right)^2 = 11{,}76^2 = 138{,}3$$ og siden vi alltid runder opp, trengs minst 139 deltakere.

Så et politisk parti som vil måle sin egen oppslutning med feilmargin $E = 0{,}03$ (3 prosentpoeng) og 95 % konfidens, uten forhåndskunnskap om andelen. Med det konservative $p = 0{,}5$: $$n \geq \frac{1{,}960^2 \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}5}{0{,}03^2} = \frac{0{,}9604}{0{,}0009} \approx 1067{,}1$$ altså minst 1068 respondenter. Nå vet du hvorfor de nasjonale meningsmålingene typisk spør rundt tusen personer: det er nøyaktig hva 95 % konfidens og 3 prosentpoengs feilmargin koster.

Legg merke til hvordan kostnadene skalerer. Vil partiet ned fra 3 til 1,5 prosentpoengs feilmargin, må utvalget firedobles til over 4200. Presisjon vokser bare med kvadratroten av innsatsen — en tommelfingerregel som styrer all praktisk undersøkelsesdesign, fra valgmålinger til medisinske studier. Og husk at alt dette forutsetter et tilfeldig utvalg; ingen formel redder en undersøkelse der utvalget er skjevt.

Oppsummering: fra utvalg til kunnskap

Meningsmålingen og batteritesten viste estimeringens to nivåer. Punktestimatet er beste enkeltverdi: $\bar{x}$ for $\mu$ og $\displaystyle \hat{p} = \frac{x}{n}$ for $p$. Men først med konfidensintervallet blir usikkerheten synlig: $\displaystyle \bar{x} \pm z_{\alpha/2}\frac{s}{\sqrt{n}}$ for gjennomsnitt og $\displaystyle \hat{p} \pm z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$ for andeler (med kravene $n\hat{p} \geq 5$ og $n(1-\hat{p}) \geq 5$). De kritiske verdiene $1{,}645$, $1{,}96$ og $2{,}576$ hører til 90, 95 og 99 % konfidens.

Motoren i alt er standardfeilen $\displaystyle \text{SE} = \frac{s}{\sqrt{n}}$ — estimatorens eget standardavvik — og feilmarginen $E = z_{\alpha/2} \cdot \text{SE}$, halve intervallbredden. Kvadratrotloven styrer økonomien: firedobling av utvalget halverer bare feilmarginen, og planleggingsformlene $\displaystyle n \geq \left(\frac{z\sigma}{E}\right)^2$ og $\displaystyle n \geq \frac{z^2 p(1-p)}{E^2}$ (med konservativt $p = 0{,}5$) forteller hva presisjonen koster — det er derfor meningsmålinger spør rundt tusen personer.

Og den vanskeligste lærdommen er språklig: et 95 %-intervall betyr ikke at $\mu$ ligger der med 95 % sannsynlighet. Den sanne verdien er fast; det er intervallene som varierer. Ved mange gjentatte utvalg fanger omtrent 95 % av intervallene sannheten — vi stoler på metoden, ikke på det enkelte intervallet. Med det er grunnlaget lagt for neste steg: å bruke utvalg ikke bare til å anslå, men til å teste påstander om verden.