2.4 Modellering med differensiallikningar | Matematikk S2

Bruke differensiallikningar til å modellere vekst og nedgang.

60 min

17 oppgaver

Eksponentiell vekstLogistisk vekstPopulasjonsmodellarNedbryting

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 17 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

1.2Bestemte integraler

Brukes videre i

8.4Konsument- og produsentoverskudd

Fordjuping (utanfor læreplanen)

Differensiallikningane i dette delkapitlet høyrer ikkje til læreplanen i matematikk S2 (MAT04-02). Dei høyrer heime i R2. Sjølve modellane — eksponentiell vekst og nedgang, halveringstid, doblingstid og logistisk vekst — er S2-stoff, og oppgåver der du reknar med modellane, høyrer til S2. Oppgåver som krev at du set opp eller løyser ei differensiallikning, er merkte (Fordjuping). Du treng dei ikkje til S2-eksamen.

Modellering med differensiallikningar

Differensiallikningar er kraftige verktøy for å modellere prosessar der endringsraten avheng av noverande tilstand:
- Befolkningsdynamikk
- Epidemimodellar
- Økonomiske modellar
- Fysiske prosessar

Eksponentiell vekst/nedgang

\frac{dN}{dt} = kN

Logistisk vekst

\frac{dN}{dt} = rN\left(1 - \frac{N}{K}\right)

✏️Befolkningsmodell

Ein by har 100 000 innbyggjarar og veks med kontinuerleg vekstrate $0{,}02$ per år, altså $\displaystyle \frac{dP}{dt} = 0{,}02P$ . Modeller befolkninga og finn når ho når 150 000.

Modell:

\displaystyle \frac{dP}{dt} = 0{,}02P

Løysing: $P(t) = 100000 \cdot e^{0{,}02t}$

Når $P = 150000$ :
$150000 = 100000 \cdot e^{0{,}02t}$
$1{,}5 = e^{0{,}02t}$
$t = \frac{\ln 1{,}5}{0{,}02} \approx 20{,}3 \text{ år}$

Svar: Byen når 150 000 innbyggjarar etter om lag $20{,}3$ år.

Merk: Veks byen med $2\,\%$ per år (vekstfaktor $1{,}02$ ), er modellen $P(t) = 100\,000 \cdot 1{,}02^t$ , og då blir $\displaystyle t = \frac{\ln 1{,}5}{\ln 1{,}02} \approx 20{,}5$ år.

Gjør dette i GeoGebra

Utforsk: Logistisk vekst

Den logistiske modellen

\displaystyle y = \frac{100}{1 + 9e^{-0{,}5x}}

veks raskt i starten og flatar ut mot bereevna

K = 100

(stipla linje). Endre talet 9 (startvilkåret) og veksthastigheita

0{,}5

Skriv inn én linje om gangen i inntastingsfeltet:

f(x) = 100 / (1 + 9 * e^(-0.5x))
g: y = 100
SetLineStyle(g, 2)
SetColor(f, "Blue")
SetColor(g, "Red")

Med språket satt til norsk forstår GeoGebra kommandonavnene både på norsk og engelsk.

Åpne GeoGebra

📝Oppgave 1

Løys oppgåvene:

Ein kultur med 500 bakteriar doblar seg kvar time. Set opp modellen og finn talet etter 5 timar.

Løs oppgaven

📝Oppgave 2

Løys oppgåvene:

Eit radioaktivt stoff har halveringstid 10 dagar. Finn nedbrytingskonstanten $k$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 3

Løys oppgåvene:

Doblingstida for ei investering er 12 år. Finn årleg rente (kontinuerleg).

Løs oppgaven

📝Oppgave 4

(Fordjuping) Løys oppgåvene:

Ein kaffikopp (80°C) kjølest ned i eit rom (20°C). Etter 10 min er han 60°C. Finn temp etter 20 min.

Løs oppgaven

📝Oppgave 5

Løys oppgåvene:

Ei befolkning på 1000 veks logistisk med $r = 0{,}1$ og $K = 5000$ . Finn $N(10)$ .

📝Oppgave 6

Løys oppgåvene:

Karbon-14 har halveringstid 5730 år. Ein prøve har 75% av opphavleg C-14. Kor gammal er han?

Løs oppgaven

📝Oppgave 7

Løys oppgåvene:

Ved logistisk vekst, når veks befolkninga raskast?

Løs oppgaven

📝Oppgave 8

(Fordjuping) Løys oppgåvene:

Eit lån på 500000 kr forrentast med 5% årleg, og ein betaler ned 30000 kr/år. Set opp modell og finn når lånet er nedbetalt.

Løs oppgaven

📝Oppgave 9

(Fordjuping) Løys oppgåvene:

I ein epidemimodell spreier sjukdom seg med rate $\displaystyle \frac{dI}{dt} = kI(N-I)$ der $N$ er total befolkning. Forklar modellen.

📝Oppgave 10

(Fordjuping) Løys oppgåvene:

To populasjonar samhandlar: $\displaystyle \frac{dx}{dt} = 2x - xy$ , $\displaystyle \frac{dy}{dt} = -y + xy$ . Kva representerer dette?

📝Oppgave 11

Løys oppgåvene:

Eit medisinpreparat blir eliminert frå kroppen med rate proporsjonal med mengda. Etter 4 timar er halvparten borte. Etter kor lang tid er 90% borte?

Løs oppgaven

📝Oppgave 12

Løys oppgåvene:

Samanlikn eksponentiell og logistisk vekst. Når er logistisk modell meir realistisk?

Oppsummering

Læringspunkt:
- Eksponentiell modell $y' = ky$ passar når veksten er proporsjonal med mengda: $y = y_0e^{kt}$ .
- Halveringstid og doblingstid er konstante i eksponentielle modellar: $\displaystyle T = \frac{\ln 2}{|k|}$ .
- Logistisk modell $\displaystyle N' = rN\big(1 - \frac{N}{K}\big)$ skildrar vekst med bereevne $K$ ; veksten er raskast når $\displaystyle N = \frac{K}{2}$ .
- Newtons avkjølingslov og lån/sparing med faste beløp er lineære modellar med likevektsløysingar.
- Modellval: eksponentiell modell for tidlege fasar med rikeleg ressurstilgang, logistisk når begrensingar bremsar veksten.

Nøkkelomgrep	Forklaring
Eksponentiell modell	$y = y_0e^{kt}$ — konstant relativ vekst
Logistisk modell	Vekst som flatar ut mot bereevna $K$
Bereevne $K$	Største populasjon miljøet kan bere
Halveringstid	$\displaystyle T_{1/2} = \frac{\ln 2}{k}$
Likevekt	Tilstand der $y' = 0$

Viktige formlar:

y' = ky \implies y = y_0e^{kt}, \qquad N' = rN\Big(1 - \frac{N}{K}\Big)

\text{Raskast logistisk vekst ved } N = \frac{K}{2}

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.