2.3 Lineære differensiallikninger | Matematikk S2

Lineære første ordens differensiallikningar

Ei lineær første ordens differensiallikning har forma:
$y' + p(x)y = q(x)$

der $p(x)$ og $q(x)$ er kjende funksjonar.

📜Løysingsmetode

For å løyse

y' + p(x)y = q(x)

1. Finn integrerande faktor: $\mu(x) = e^{\int p(x)\,dx}$

2. Multipliser likninga med $\mu(x)$ :
$\mu y' + \mu p y = \mu q$
$\frac{d}{dx}(\mu y) = \mu q$

3. Integrer: $\mu y = \int \mu q \, dx + C$

4. Løys for $y$ : $\displaystyle y = \frac{1}{\mu}\int \mu q \, dx + \frac{C}{\mu}$

✏️Lineær differensiallikning

Løys $y' + 2y = 4$ .

Her er

p(x) = 2

q(x) = 4

Integrerande faktor:
$\mu = e^{\int 2\,dx} = e^{2x}$

Multipliser:
$e^{2x}y' + 2e^{2x}y = 4e^{2x}$
$\frac{d}{dx}(e^{2x}y) = 4e^{2x}$

Integrer:
$e^{2x}y = 2e^{2x} + C$

Løys for $y$ :
$y = 2 + Ce^{-2x}$

📝Oppgave 1

Løys oppgåvene:

Løys $y' + y = 2$ .

📝Oppgave 2

Løys oppgåvene:

Løys $y' - y = 0$ .

📝Oppgave 3

Løys oppgåvene:

Løys $y' + 3y = 6$ med $y(0) = 0$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 4

Løys oppgåvene:

Løys $y' + y = e^x$ .

📝Oppgave 5

Løys oppgåvene:

Løys $y' - 2y = 4x$ .

📝Oppgave 6

Løys oppgåvene:

Løys $xy' + y = x^2$ for $x > 0$ .

📝Oppgave 7

Løys oppgåvene:

Eit innskot veks med rente $r$ og får årlege innskot $A$ : $\displaystyle \frac{dP}{dt} = rP + A$ . Løys med $P(0) = P_0$ .

📝Oppgave 8

Løys oppgåvene:

Løys $y' + 2xy = x$ .

📝Oppgave 9

Løys oppgåvene:

Ein tank med 100 L vatn får tilført saltløysing (20 g/L) med 5 L/min. Blanding renn ut med 5 L/min. Finn saltmengda $S(t)$ viss $S(0) = 0$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 10

Løys oppgåvene:

Løys $\displaystyle y' + \frac{2y}{x} = \frac{1}{x^2}$ for $x > 0$ med $y(1) = 0$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 11

Løys oppgåvene:

Finn likevektsløysinga til $y' + 2y = 6$ og skildr åtferda til andre løysingar.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 12

Løys oppgåvene:

Løys $y' + y\tan x = \sec x$ for $\displaystyle -\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$ .

Oppsummering

Læringspunkt:
- Ei lineær førsteordens differensiallikning har forma $y' + p(x)y = q(x)$ .
- Ho blir løyst med integrerande faktor $e^{P(x)}$ der $P(x) = \int p(x)\,dx$ : venstresida blir då $\big(y \cdot e^{P(x)}\big)'$ .
- Med konstante koeffisientar $y' + ay = b$ er løysinga $\displaystyle y = \frac{b}{a} + Ce^{-ax}$ .
- Likevektsløysinga $\displaystyle y = \frac{b}{a}$ er den konstante løysinga; for $a > 0$ nærmar alle løysingar seg denne når $x \to \infty$ .
- Mange økonomiske og fysiske modellar (kontoar med innskot, blandingsproblem) er lineære.

Nøkkelomgrep	Forklaring
Lineær likning	$y' + p(x)y = q(x)$
Integrerande faktor	$e^{P(x)}$ som gjer venstresida til ein produktderivert
Likevektsløysing	Konstant løysing der $y' = 0$
Stabilitet	Om løysingar nærmar seg eller fjernar seg frå likevekta

Viktige formlar:

y' + ay = b \implies y = \frac{b}{a} + Ce^{-ax}

\big(y \cdot e^{P(x)}\big)' = e^{P(x)}\big(y' + p(x)y\big)

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver